公理系統視角下的亞里士多德三段論論

【摘要】 亞里士多德是古希臘哲學的集大成者，在當時幾乎所有的學科都有所建樹，從而也在自己豐富的哲學、認識論和幾何學等知識的基礎上形成了獨特的演繹構建學科的觀點，并在這一觀念的指導下提出了他的三段論學說。他以謂述和條件句的方式將三段論表示出來，以中詞在結構中的位置將三段論劃分為三個格，并在證明第二三格的式的有效性中將第二三格的式化歸為第一格的式，這實際上形成了一個有公理和定理的古典演繹體系。這個體系有一種強烈的公理化思想，亞里士多德的這一創舉在哲學和邏輯學上對于后世學者的研究都具有極其深遠的意義。

【關鍵詞】 亞里士多德；三段論；化歸；公理系統

【中圖分類號】B81-0? ? ? ? ? ?【文獻標識碼】A? ? ? ? ? ?【文章編號】2096-8264（2023）14-0072-03

【DOI】10.20024/j.cnki.CN42-1911/I.2023.14.022

眾所周知，與邏輯學最相關的一個詞可能就是推理，那么亞里士多德的邏輯學說中與這一部分相對應的就是他最成熟的三段論學說。“三段論是一種談論方式，在其中某些事物被斷定，某些不同于它們的事物就可以由它們是如此確定的論斷而必然推出。”[1]61亞里士多德對三段論這樣的定義，從三段論的形式方面對人們頭腦中的由此及彼的推理作了細致的研究。亞里士多德最終建立了完整的、成體系的三段論學說，這一創舉是基于什么樣的背景和基礎、具體過程怎樣，以及有何意義，這些問題都是值得我們探討的。

一、亞里士多德建立公理系統的知識背景

（一）哲學背景

在哲學觀點上，我們不能簡單地把亞里士多德劃入唯心主義或者唯物主義，因為這樣做是不確切的。不過亞里士多德的老師柏拉圖卻顯然可以歸入“唯心主義者”，因為在他的思想中認為理念是實物的原型并且可以獨立存在。那么亞里士多德反對柏拉圖的理念論，并且認為世界乃是由各種本身的形式與質料和諧一致的事物所組成的，這些思想就已經包含了一些唯物主義的因素。但是他又認為每一自然現象都有其發展的原初的內在的目的，承認宇宙間應該總有一個原動者，它自己不動，卻能使一切其他對象處于動變狀態。可見亞里士多德的本體論世界觀中摻雜了唯物主義和唯心主義，或者說他本人是一個不徹底的唯物主義者。當然在亞里士多德那個時代也沒有唯物主義和唯心主義的說法，但這一點唯心主義的雜質對于亞里士多德邏輯體系的創建也是發揮了十分重要的作用。

亞里士多德的認識論同他的不徹底的唯物主義的哲學觀點是密切相連的，在古希臘哲學史上占有重要的地位。他承認客觀存在的自然界中的事物是認識的直接對象，是經驗、感覺發生的根源。認識開始于接觸個別事物，形成感覺、經驗，但感覺提供的只是個別事物的知識，在有關個別事物的知識的基礎上，經過總結、概括，理論思維的加工，獲得關于個別事物的一般的、本質的知識，而科學的任務正在于認識一般。人們從對個別對象的經驗到對一類事物的一般判斷，同時也是科學產生的過程。亞里士多德既重視感性認識，也重視理性認識的思想，表現出一種折中和調和的特點。

亞里士多德的邏輯學和其中最重要的三段論學說是與他這種樸素的唯物主義哲學和認識論的觀點分不開的。他也正是在這一基礎上建立了一種類型的邏輯體系，從而博得了古典形式邏輯創始人的榮譽。

（二）幾何學背景

在亞里士多德的著作中，我們可以發現他在論述時會像他的老師柏拉圖一樣經常以蘇格拉底為例。這當然是可以理解的，因為蘇格拉底畢竟是他老師的老師，蘇格拉底的思想是他思想的源泉。然而，在《前分析篇》中“幾何學”一詞出現的次數卻與“蘇格拉底”一詞的出現次數令人驚奇的接近，可見“幾何學”對于亞里士多德的重要程度足以與他的思想源泉相提并論。我們知道幾何學是演繹證明的代表，亞里士多德如此重視“幾何學”，體現了他深藏于心的演繹構建學科的科學觀。

在《幾何原本》中，歐幾里得首先規定了某些公理，然后從中推導出其他的定理，亞里士多德就十分肯定幾何學的這種演繹性質和公理化特征。亞里士多德在肯定幾何學所提供的演繹方法的同時，也指出一切科學都應該像幾何學一樣表現為一種公理演繹系統的形式。他的邏輯學就是按照幾何學這種演繹模式建構的，而三段論作為演繹體系就是這種科學觀的一個典型代表。他提出三段論的完善的格和不完善的格的劃分，以及所有不完善的格都可化歸為完善的格，就是企圖使三段論體系像古希臘幾何學那樣建立為一個被證明了的科學系統。

二、古典公理系統的具體構建

（一）三段論的描述方式

傳統邏輯把三段論表述為“所有M是P，所有S是M，所以，所有S是P”（Barbara）。而亞里士多德對三段論的表述則不同。“比如他對Barbara的表述是：如果P屬于每個M并且M屬于每個S，那么P必然屬于每個S。”[2]70。這里，我們可以看到區別是很明顯的：（1）表述判斷時，傳統邏輯使用了系詞“是”，但是亞里士多德卻沒有這樣使用。（2）在前提和結論的連接上，傳統邏輯在結論前使用“所以”，亞里士多德卻是用“如果……那么……”來表述。

我們先看第一種區別，這種表述方式在古希臘的自然語言中是較為少見的，這是亞里士多德致力于建構清楚、嚴謹的三段論系統才特別使用的獨特的技術語言，亞里士多德使用它并且貫徹始終。至于第二種區別，我們可以看到他是用由“如果……那么……”形成的條件句來表述三段論的，即：如果有前提之一，并且有前提之二，那么就有某結論。他之所以更傾向于采用公理系統中表述公理和定理的常用方法：“如果……那么……”，正是因為這樣的描述方式更便于他構建三段論公理系統。

（二）三段論的證明方法

亞里士多德從48種可能的前提組合中，排除了34個不符合規則的式，那么就還余下14種，他把這14個式看作有效的式。這14個式依據中詞在結構中位置的不同又分為三個格，他稱第一格的式（AAA、EAE、AII、EIO）為完善式，而后兩格的式（第二格：EAE、AEE、EIO、AOO；第三格：AAI、EAO、IAI、AII、EIO、OAO）均為不完善的。亞里士多德的完善的三段論，就是前提和結論之間的聯系是自明的，而不完善三段論則缺乏這種自明性，它們需借助這些前提中必然推引出的卻又并非充當前提的另一些命題，才能使前提和結論間具有明顯的正確性。所有不完善三段論的不顯然邏輯有效性可以借助第一格而變得顯然，這是一種推理證明過程，這個過程可以通過換位法、歸謬法、顯示法來完成。

1.換位法

換位法是使用最普遍也是最簡單的方法，大部分的式都可以用換位法來證明。具體來說就是借助A、E、I這三個命題的換位規則，將要證明的式的一個前提換位，就能得到一個第一格的三段論。這個證明用P、M、S這三個符號可以表述如下（以第二格的EAE式為例）：

MEP? ? ? ? ? ?→? ? ? ? ? ?PEM（E命題換位）

MAS? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?MAS

PES? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?PES

（第二格的EAE式）? （第一格的EAE式）

不過換位法并不能使所有第二格和第三格的式都成為完善的，由于O命題不能換位，因此第二格的AOO式和第三格的OAO式就無法用換位法證明，因此還需要其他的辦法。

2.歸謬法

亞里士多德第一次運用歸謬法是在證明第二格的AOO式時，首先假定A00式的結論POS是錯的，那么POS的矛盾命題PAS就是正確的，并且根據其中一前提MAP，得到第一格的AAA式：

MAP

PAS

MAS

但MAS的結果和欲證AOO式中另一條件MOS矛盾，故而第一格最后的斷定MAS就是錯誤的。但第一格的推理形式是對的，那么問題就出在它的一個假定的前提“POS是錯的”上。由于這一假定錯誤，則由第二格得到的結論POS就是正確的，這樣也就證明該第二格的AOO式是正確的推理形式，它能得到可靠的結論。這里是建立一個第一格的AAA式以證明第二格的AOO式。

所以，歸謬法的思路就是： ①假定欲證的三段論W的結論為假； ②以這個結論與一個前提P結合起來，推出某種東西； ③這個被推出的東西和欲證的三段論W中另外一個條件矛盾，因而是不可能的； ④因此證明W的結論成立。這里的第②步是一個第一格的式。

3.顯示法

除上述提到的兩種證明方法外，還有一種亞里士多德使用較少的“顯示法證明”，這是一種通過引入一個新的詞項來證明原有兩個詞項之間關系的方法。例如用顯示法證明第三格AAI式：如果P和R都適于每一個S，并且如果我們從S類中選擇某一事物，比如說N，那么P和R就都適于 N。因此，P就適于有些R。[1]71由于所有S是P，所有S又是R，因而總會有S的分子既是R又是P，這里N就是那個增加的顯示項，它是S的某一個分子，表明既是R又是P的分子存在，因而也就證明有R是P。“亞里士多德提出的這個顯示項N的作用和后來文恩圖解中表示存在的符號‘+很相似。”[3]93

從上面可以看出，這種方法和換位法、反證法不同，只是一種借以顯示原推論有效的方法，它無須把原三段論化歸為第一格，因而它在證明三段論式時更像是一種直觀的說明，而不是一種演繹的證明。除此之外，亞里士多德在全稱否定命題的換位證明中使用的也是這種方法，這正是我覺得顯示法不可缺少的原因，雖然由顯示法證明的式都可以用換位法或歸謬法證明，但是換位法中需要用到的三條換位規則之一的全稱否定命題的換位規則卻是由顯示法來證明的。

在論述全稱否定命題的換位規則時，亞里士多德說：“如果沒有B是A，也不可能有任何A是B，因為如果有些A（比如C）是B，那么沒有B是A就不會是真的，因為C是A。這里要就借用了詞項C來說明A和B這兩個詞項的關系。”[2]97

亞里士多德將三段論分為三格14式，還提出了完善格與不完善格的區別，為了證明不完善格的有效性，使用了把不完善格化歸為完善格的證明方法，正是在這一過程中亞里士多德建立起了一個的三段論公理系統。

（三）三段論公理系統

由此可見，只要利用歸謬法和換位法，從第二格和第三格就都可化歸到第一格。而且不僅如此，亞里士多德甚至認為，第一格的AII式和EIO式也可以分別化歸為AAA式和EAE式。因而最后的結果是，后12個有效式都能化歸成AAA式和EAE式，亞里士多德就把他系統中的公理減少到了最低限度。亞里士多德最初討論化歸，主要是想說明三段論的其它格以自明的第一格為依據，從而說明三段論推理的正確性，人們依據這些三段論建立的證明是可靠的。但同時這樣就考察了三段論的正確形式之間的關系，確認了這些正確形式是具有整體性的一個系統。這樣來說，兩個最基本的三段論式，在這個系統中就擔任著公理的角色，由這兩個公理出發，就可以演繹出這個系統中給出的其他定理。雖然這個系統不是很嚴格，但大家普遍認為這個系統已經具有公理化意味。也有一些現代學者把亞里士多德三段論系統刻畫為自然推理系統，把第一格的兩個全稱式、換位法、歸謬法等都當作他的系統的推論規則。但是，顯然換位法等與第一格的兩個全稱式在亞氏三段論系統里并不具有相同的地位。[4]26所以亞里士多德三段論系統并不能解釋為自然演繹系統，而是具有典型公理系統特征。

亞里士多德之所以被世人尊為邏輯之父、邏輯的創始人和奠基者，就是因為他建立了完整的、成體系的三段論學說。其中更主要的是他對三段論系統性的、公理化的考察，亞里士多德的三段論證明化歸形成了一個古典的演繹系統，而且這個系統明顯地呈現出一種公理化的特征。那么亞里士多德就是首先進行這種嘗試的學者，并且他的這一系統成為后世學者相關方面研究的典型范例。在這個意義上，亞里士多德不僅使邏輯科學完全脫離了論辯術研究的影響，而且在邏輯的研究中出現了新的方面。亞里士多德的三段論體系，是他的邏輯臻于成熟的體現。

三、亞氏古典公理系統的意義

（一）哲學意義

一方面，根據亞里士多德提出的完善三段論的自明性，也即在他這個古典公理系統中公理的存在，我們可以得出，有一個最開始的東西，是推動其他事物發展的，沒有其他事物能夠推動它。這引發了哲學家們對一些問題的思考，比如上帝是否存在，中世紀安瑟爾謨和托馬斯就用不同的方法證明上帝的存在。以及近代經驗論與唯理論關于認識的來源之爭也與此有關，此后康德提出先天綜合判斷，而弗雷格否定這一觀點，進而開始建立邏輯主義綱領。由此可見，亞里士多德這一理論對于后世研究的影響有多深遠。另一方面，亞里士多德用類似數學的方法構建公理系統，其優點就是論證上的嚴謹，這也促進了后來的哲學家們自覺地嚴密論證自己的哲學思想。

（二）邏輯學意義

亞里士多德的邏輯學說幾乎涉及了傳統邏輯的所有方面，是當之無愧的形式邏輯的創始人，并且奠定了此后邏輯學發展的方向和基調。亞里士多德認為存在完善的三段論，在這里前提和結論之間的聯系是自明的，但亞里士多德并沒有說明他是從什么角度來談這種自明性，也沒有說明這種自明性所顯現的到底是一種什么關系，因此他對三段論完善和不完善的這種區分是一種樸素的觀點。所以可以說，這里體現了亞里士多德的樸素的公理思想，他實際上建立了第一個樸素的或古典的公理系統，即第一格的四個式是這個系統的公理，第二格和第三格的式從這些公理推出，是這個系統的定理。“他構建的三段論系統雖然只有三個格，但在這個系統中已經給出了確定而又清楚的公理，并且給出了一定數量的定理，其他定理可由公理和已給出的定理推出，所以三段論體系作為古典公理系統實際上就構建成功了。”[5]146他使用字母、符號構造了一個初級的演繹的公理化體系，雖然并沒有現代公理系統那么嚴格，但也是對公理化的第一次實踐，也使邏輯學接近典范的數學，對后世的學者產生了極大的影響，是數理邏輯思想的萌芽，后來萊布尼茨的思維演算、布爾代數以及弗雷格和羅素的命題演算系統里都可以看到亞里士多德三段論的影子。

綜上，亞里士多德建立了完整的、成體系的三段論學說，并且是基于其二元論哲學世界觀和幾何學演繹思維基礎的。亞里士多德概括了三段論的有效形式，更主要的是他探討了三段論的有效形式之間的關系，并確認了這些有效形式是具有整體性的一個系統。他所做的這一系列工作既使得邏輯科學自此與論辯術完全分離，又為邏輯的研究開辟了全新的方向，即把推理形式當作和思維無關的純形式來研究。

參考文獻：

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作者簡介：

郭姣姣，女，山西臨汾人，碩士研究生，從事邏輯哲學、歸納邏輯等方面的研究。