運用通過耦合偏微分方程建立的高效熱動力學模型（ETK-model）評估剎車系統中壓力點的變化

袁博

（山西科騰環保新材料股份有限公司，山西 太原 030032）

1 簡介

在火車剎車時，由于摩擦力作用于剎車片和剎車盤之間，剎車片將產生磨損，這種磨損是非對稱的。在剎車過程中動能將轉化為熱能，熱負荷會造成剎車盤的形變。非對稱的磨損導致了摩擦力的變化以及摩擦面上壓力點的變化，由于磨損造成的剎車片形變以及熱負荷造成的剎車盤形變，等效壓力點的位置將一直變化。

1.1 理論背景

剎車片是剎車系統中最為主要的部分，一般是由高摩擦力材料制成。摩擦力分為兩部分：靜摩擦力和滑動摩擦力。剎車片和剎車盤的材料特性影響著剎車系統中的磨損率。材料特性的變化會使磨損率產生很大的變化。材料磨損、工作性能以及壽命也都取決于材料特性。

剎車片由于其磨損問題需要定期更換，有些剎車系統會通過機車界面交互系統提醒駕駛員及時更換剎車片。為了解釋非對稱磨損，本論文將引入滑動磨損模型[1]。

通過引入阿查德磨損定律：

式（1）中：S為滑動距離；K為磨損系數；F為負載力；H為材料硬度。

磨損體積計算公式為：

剎車片內外部的滑動距離計算公式為：

當剎車片與剎車盤摩擦時將會在摩擦盤的內圈及外圈產生熱負荷差，熱力學模型將分為3 種情況討論：內外圈熱負荷差為零，外圈熱負荷大于內圈熱負荷，外圈熱負荷小于內圈熱負荷。這3 種情況的分析將借助軟件ANSYS 來實現。

1.2 剎車盤和剎車片介紹

剎車盤、剎車片材料參數分別如表1 和表2 所示。

表1 剎車盤材料參數

表2 剎車片材料參數

2 高效熱動力學方程數學模型的建立

高效熱動力學模型（以下簡稱“ETK 模型”）的建立是本文的重點部分，本部分將介紹2 種基礎ETK模型，在ETK 模型中有許多變量，需要通過定量研究法對這些變量進行分類。首先將懸掛現象分離，使用相對基礎的模型進行模擬，然后剎車片兩側壓力以及磨損百分比的曲線圖要通過軟件MATLAB 進行繪制，最后得出壓力中心點的變化曲線。

2.1 基礎ETK 模型構建

基礎ETK 模型（剎車片側視圖）如圖1 所示，通過骨架的構建，近似模擬剎車片在剎車時的磨損情況，Fv作用于懸掛系統與剎車片的連接處，產生壓力，壓力傳導于剎車片的兩側。由于內外側的半徑不同，所產生的角速度不同，固滑動距離不同，產生不同程度的磨損[2-3]。

圖1 基礎ETK 模型（剎車片側視圖）

基礎模型中提到了2 個作用效果：磨損效果和懸掛效果。在磨損模型構建中，角度α是最為重要的變量，角度α的變化率影響了磨損模型的所有應變量。同時在剎車盤上產生了熱形變效果，在后面的內容里會進行詳細說明，熱形變產生的偏轉角度為β，求β角的過程同樣要用到偏微分方程。α角和β角同時發生變化，在剎車系統中被耦合，當α角變化的時候β角同時產生變化，下面將詳細闡述這2 個角度發生變化時ETK 模型的變化。

2.2 不同情形下ETK 模型的構建

根據實際情況，本部分列出了6 種真實情形對應的ETK 模型。α角度的正負遵循以下規則：剎車片外側磨損大于內側，角度為正；反之，角度為負。β角度的正負遵循以下規則：剎車盤內側面形變大于外側形變時，角度為正；反之，角度為負。

根據之前定義的α角度以及β角度，真實情況下有以下6 種情況：

2.3 計算磨損體積

本部分將介紹如何計算剎車片上的磨損體積，α角通過內外側磨損高度的差額來計算，通過剎車片上方的鋼結構圓棒，壓力傳導于剎車片后，將剎車片分為內外2 部分，F1作用于A1，而F2作用于A2。本部分將通過對2 種形態的剎車片進行面積劃分，得出對于這2 種剎車片α角度的變化量[3]。兩種剎車片形態如圖2、圖3 所示，參數如表3 所示。

圖2 第一種剎車片形態

圖3 第二種剎車片形態

表3 兩種剎車片的參數

對于第一種剎車片形態，α角度的變化量為：

對于第二種剎車片形態，α角度的變化量為：

2.4 構建磨損角度及力矩的關系

由于剎車片內外側磨損的不對稱性，將在上表面和XY面產生一個角度。懸掛系統將限制由于摩擦不均衡而產生的角度，目的在于控制剎車片內外側的磨損差額不至于過大。懸架模型將導入到軟件ANSYS 中，通過分析數據得到磨損角度和力矩的關系[4]。

根據ANSYS 中的分析結果，設定力矩由0 Nm 逐步增加到5 600 Nm，每個步長增加800 Nm。收集每個步長下角度的變化值，從而得到磨損角度與力矩的關系。

通過MATLAB 中擬合函數工具對所得數據的分析，得到以下公式[4]：

2.5 熱形變角度的構建

本部分將主要描述如何通過公式構建出由熱形變導致的角度β。剎車盤外部平面與內部平面產生熱負荷差額，通過內外部熱負荷梯度可以計算得到角度β。當內外側熱負荷相等時，剎車盤同樣會產生熱形變。所以對角度β的計算包含2 個部分：第一部分是關于熱負荷梯度的，第二部分是當熱負荷梯度為0 時，剎車盤的熱形變量。通過下面的公式[5]得出角度β：

式（2）—（7）中：Φ為機械能轉化為熱能的轉化效率；η為剎車片上的熱分部；μ為摩擦系數。

這里仍然有2 個未知的系數a1和a2，這2 個系數將借助軟件ANSYS 以及MATLAB 中的擬合函數求得。

剎車盤內外兩側有溫差時在ANSYS 軟件中的分析結果如圖4 所示。第一次模擬代表了等式中熱負荷梯度的部分。第二次模擬中熱負荷梯度為0。因為在模擬中求得的是熱偏轉角度和溫度的關系，但在MATLAB 編程中熱偏轉角度是與2 個接觸面的摩擦力有關的，換言之是與熱能相關的，所以還需要得出熱能與溫度的關系。

圖4 剎車盤內外兩側有溫差時的分析圖

外部盤的溫度變化由100 ℃升高到900 ℃，內部盤溫度變化由900 ℃降低到100 ℃。兩邊相加和為1 000 ℃。每步長為100 ℃。圖中圓孔的位置在模擬時將被固定。通過MATLAB 中擬合函數模塊得到[4]：

式（8）中：β為圓錐角角度；TGrad為溫度梯度。

公式中包含常數部分，當剎車盤內外兩側溫度均為500 ℃時，等式前半部分為0，偏轉角為0.038 4 rad（弧度制）。

剎車盤內外兩側溫度相等時在ANSYS 中的分析結果如圖5 所示。通過此分析結果可以得出內外側溫度相等時溫度和等式常數部分的關系。

圖5 剎車盤內外兩側溫度相等時的分析圖

外側盤溫度由100 ℃升高到1 000 ℃，內側盤的溫度變化同樣。固整體剎車盤溫度由200 ℃升高到2 000 ℃。通過MATLAB 中擬合函數模塊得到：

式（9）中：T為溫度。

本式中溫度為0 時仍有常數部分，此為環境中溫度影響的形變。

由于圓錐角角度，即文中提到的熱形變角度，在現實中會受到許多因素的影響，本文只是近似地考慮一些影響因素，并通過在ANSYS 軟件和MATLAB 軟件中的模擬得出現象的相似等式，如果需要得到更精確的變化，則要在真實剎車情況下對剎車盤進行大量的數據采集，最后通過熱能和溫度的公式Q=cmT進行計算。

上面提到的剎車盤被分為外部圓環和內部圓環2部分。外部圓環的質量為m1，內部圓環的質量為m2；外部圓環上熱能為Q1，內部圓環上熱能為Q2，比熱容c=450 J/（kg·K）。從而得出以下等式[5]：

通過在軟件ANSYS 中對剎車盤進行取值得到剎車盤密度為7 850 kg/m3。外部圓環的體積V1=7.393 8×10-3m3，內部圓環體積V2=2.482 1×10-3m3。通過對公式（8）—（12）的耦合，可以得出最終熱偏轉角度的表達式：

2.6 構建壓力點位置

壓力點產生效果后，壓力被分解為剎車片內外部的等效反作用力點。通過本論文所述部分得到的磨損量產生的角度α以及由于熱形變產生的角度β的等式關系，可以在MATLAB 中通過耦合偏微分方程迭代模擬整體剎車系統的變化趨勢，初始狀態需要在ANSYS中進行模擬后得出。

3 剎車系統在MATLAB 軟件中的模擬結果

在壓力點的研究中，本文選取了2 種剎車片形態，即第一種形態和第二種形態。在MATLAB 軟件的模擬過程中，將時間作為自變量設定。時間設定從0 到60 s，步長設定為0.000 5 s。行駛速度從200 km/h 降低到0。輪子直徑為1.2 m，角速度通過計算為93 rad/s。在磨損角度（α角）的模擬中，系數K設定為1.0×10-7，此數值由實驗室實驗所得。

剎車片一和剎車片二壓力點變化趨勢分別如圖6和圖7 所示。其中，點1 為剎車片外側的壓力中心，點2 為剎車片內側的壓力中心，當總壓力中心為正值時，代表總壓力點位于剎車片內側，反之位于外側。

圖6 剎車片一壓力點（點1）變化趨勢

圖7 剎車片二壓力點（點2）變化趨勢

通過以上各圖可以得出，磨損以及熱形變在2 種不同形態的剎車片上所表現出的差別。對于第一種形態的剎車片來說，內側的壓力百分比總是大于外側，并且差額越來越大。對于第二種形態的剎車片，在大約前3 s 的時間里，內側的壓力百分比較大，但是在3 s 后外側的壓力百分比將超過內側，并且差額越來越大。這種壓力分配的不同現象造成了總壓力中心在2種剎車片上的移動方式也不同。在剎車片一的接觸面上，總壓力中心總是偏向于內側并且一直向更內側移動，而對于剎車片二來說，總壓力點首先位于內側，隨著時間的變化卻逐步向外側移動。

4 結束語

本文主要研究了剎車系統的運作過程。在剎車過程中產生了2 種現象，即非對稱的剎車片磨損現象以及由摩擦產生的剎車盤熱負荷形變現象。通過近似的數學建模，研究了這2 種現象的變化過程以及對剎車系統產生的影響。為了研究此類現象，本文選擇了運用耦合偏微分方程對高效熱動力學模型進行構建。

在本文的第二部分，詳細描述了ETK 模型是如何構建的過程。首先，建立了2 種基礎模型，并對這2種模型進行受力分析以構建出磨損角度α和壓力之間的關系，而后根據分析得到不同的6 種數學模型，并對每一種情況進行等式建立。對磨損過程進行分析后，開始對剎車盤上的熱負荷形變進行模型建立，在此過程中借助了軟件ANSYS 中的一些數據，以及通過MATLAB 擬合函數的運用，得到熱偏轉角β的表達式。而后對2 種現象進行耦合，設定初始值以及步長后，在MATLAB 軟件中進行模擬，得到剎車片一以及剎車片二接觸面上總壓力點的移動圖。