關注知識生成 滲透數學思想
——以“平均變化率”的課堂教學為例

江蘇省興化市楚水實驗學校 (225700) 鄒勇泉 袁小強

數學概念教學在數學教學中處于核心地位,概念學習過程是一個探究的過程.近期筆者有幸參加了江蘇省第十七屆“藍天杯”課堂教學展評課,展示了一節“平均變化率”教學課,授課對象是普通高中高二學生,本文結合蘇教版普通高中教科書《數學》選修(2-2)第一章“導數及其應用”第一課時“平均變化率”的教學設計談談關注知識生成,滲透數學思想,幫助學生構建探究一般數學概念的方法.

本課時的內容是平均變化率,變化率包括平均變化率和瞬時變化率,平均變化率是研究瞬時變化率和導數的基礎,經歷位移的變化、速度的變化、曲線的上升與下降等具體想象,抽象出研究函數的改變量和變化率等數學理論.通過實際背景和應用實例引導學生經歷由平均變化率到瞬時變化率的過程,從而認識和理解導數的概念和本質.

一、課堂教學實錄

1.創設情境,問題導入

世界充滿著變化,有些變化幾乎不被人們所察覺,而有些變化卻讓人們發出感嘆與驚呼.

情境1播放歌曲《可可托海的牧羊人》,《Mojito》.感受這兩首春晚熱門歌曲旋律節奏有何不同?

(初步感受節奏變化不一樣,第一首節奏變化慢,第二首節奏變化快)

情境2某市4月20日最高氣溫為33.4℃,而4月19日和4月18日的最高氣溫分別為24.4℃和18.6℃,短短兩天時間,氣溫陡增14.8℃,悶熱中的人們無不感嘆:“天氣熱得太快了!”

時間4月18日4月19日4月20日日最高氣溫18.6℃24.4℃33.4℃

該市3月18日到4月18日的日最高氣溫變化曲線,如圖1:

圖1

設計意圖:通過圖片、音樂、文字、表格、圖象展示,讓學生感受到生活中存在大量“變化快慢的量”,激發學生的學習興趣,體現數學教學的美育價值.

2.新課探究,學生活動

問題1 你能說出圖1中A、B、C三點的坐標所表示意義嗎?

問題2 你可以分別計算AB、BC段溫差嗎?可以用數學語言解釋一下“天氣熱得太快了”嗎?(從數與形兩方面)

小結:氣溫差不能反映氣溫變化的快慢程度.

問題3 如何“量化”(數學化)曲線AB、BC的陡峭程度呢?(小組合作討論)

生:不好直接研究曲線AB、BC的陡峭程度,只能“大致”研究.

追問:怎么“大致”研究呢?

生:只能研究線段AB、BC的陡峭程度.

追問:如圖2,如何研究線段AB、BC的陡峭程度呢?我們前面研究過如何刻畫線段或者直線的陡峭程度嗎?

圖2

問題4你能用數學的語言來表達一下:曲線上升的陡峭程度嗎?(從數與形兩方面)

設計意圖:通過問題串的設置,在自主探究、小組合作、師生互動中, 抓住學生有價值的知識生成,展開教學.通過問題2引起學生的認知沖突,通過討論,讓學生得到結論:氣溫差不能反映氣溫變化的快慢程度.通過問題3的討論,找出研究“陡峭程度”的數學方法,會用數學語言來表達世界,為得出函數平均變化率概念提供了案例基礎.

3.數學建構,形成概念

我們通過分析氣溫的變化的圖象,研究了氣溫的變化情況,思考:

問題5已知函數y=f(x),從x1到x2的平均變化率如何計算?由此,你能總結出求函數平均變化率的一般步驟嗎?

問題6函數平均變化率的幾何意義是什么?

如圖3,平均變化率是曲線陡峭程度的“數量化”,曲線的陡峭程度是平均變化率的“視覺化”.用平均變化率量化一段曲線的陡峭程度是“粗糙不精確的”,但應注意當x2-x1很小時,這種量化便由“粗糙”逼近“精確”.

圖3

圖4

設計意圖:從實例探究抽象出一般性函數問題,通過問題5抽象概括出函數平均變化率的一般定義,問題6通過分析函數和圖象兩個角度理解平均變化率的意義.

4.數學運用,深化概念

課堂練習1:某嬰兒從出生到第12個月的體重變化如圖5所示,試分別計算從出生到第3個月與第6個月到第12個月該嬰兒體重的平均變化率,由此你能得到什么結論?

圖5

例1 如圖6,水經過虹吸管從容器甲中流向容器乙,ts后容器甲中水的體積V(t)=5e-0.1t(單位:cm3),試計算第一個10s內V的平均變化率.

圖6

課堂練習2:已知函數f(x)=x2,分別計算函數f(x)在區間[1,3],[1,2],[1,1.1],[1,1.001]上的平均變化率.

例2已知函數f(x)=2x+1,g(x)=-2x,分別計算函數f(x)及g(x)在區間[-3,-1],[0,5]上的平均變化率.

思考:從上例中,你能發現一次函數y=kx+b在區間[m,n]上的平均變化率有什么特點嗎?

設計意圖:練習1和練習2是函數平均變化率的簡單應用,檢驗學生在不同情境中對平均變化率的理解,例1通過在新情境下,幫助學生理解平均變化率的實際意義,例2和思考,通過由特殊到一般的數學歸納的思想方法,從而進一步幫助學生理解平均變化率的幾何意義.

5.課堂小結,總結提升

本節課你學到了什么?你可以從基本知識,基本技能,基本數學思想方法等不同的角度談談.

設計意圖: 關注學生在課堂中的學習體驗中學到了哪些,讓學生從基本活動經驗的學習過程中有所收獲,有所得,可以從基本知識,基本技能,基本數學思想方法等不同的角度談談自己的收獲.

二、教學思考

1.問題驅動,促進概念生成

數學是各類科學中最抽象的科學,張奠宙教授提出:知識的基本形態分為知識的科學形態和知識的教育形態,也就是知識的發生形式和知識的呈現形式.問題是數學的心臟,因此教學中需要把知識發生形式的過程轉化為一系列帶有探究性的問題,使學生學會思考,使概念學習變為學生內在需求.同時問題的設計要充分了解學生的認知水平和心理發展特點,注意選擇新穎有趣的活動作為刺激模式,激發學生主動觀察、思考、歸納、總結,積極開展探究活動.通過情境1兩首不同的歌曲刺激學生思考它們的不同屬性,情境2通過“溫度變化曲線圖”感受氣溫變化的快慢,教師適時提出一系列的探究問題,讓學生借助這些“腳手架”討論如何研究變量變化的快慢,再結合前面所學的直線斜率相關知識形成“平均變化率”的概念.

2.五育并舉,自然融入課堂

良好的審美素養影響人對社會、對他人、對事物積極的人生態度,同時良好的審美素養對培養人的創造能力也十分重要.開頭過山車的圖片,情境1的音樂設置,使學生學會用數學的眼光度欣賞美,讓學生開闊視野,感悟實際中的美,數學中的美,激發學生培養藝術素養,培養數學學科素養,從而讓學生會用數學的眼光欣賞世界的美,會用數學的思維思考世界的美,會用數學的語言表達世界的美.

3.數形結合,滲透數學思想

認知心理學家羅斯認為,記憶中的概念是以這些概念的具體實例來表示的,而不是以某種抽象的規律或一系列相關特征來表示的.本課的實例“氣溫變化曲線圖”在學生的知識形成過程中起著重要的作用,“氣溫變化曲線圖”也就是學生 “平均變化率”的意象表征或心理表征,于是學生在生成“平均變化率”概念過程中,自然滲透了數學結合、轉化與化歸等重要的數學思想,以形解數,以數助數,形成研究數學問題可以從數形兩個角度尋求兩者之間的內在聯系,使得兩者在認識結構中共存,以后在適當時機發揮重要的作用,在概念形成過程中滲透數學思想,潤物細無聲.