隨機環境中兩性分枝過程的次指數不等式

高夢嬌， 李 瑞， 鄧 琳

（長沙理工大學，湖南 長沙 410114）

兩性分枝過程的研究是從1968 年Daley[1]首次引入其概念開始的，相對于傳統的分枝過程，兩性分枝過程更加符合生物繁衍的真實情況。1997 年Molina[2，3]研究了兩性分枝過程的規范化后的極限性質。1998年Molina 等人[4-6]研究了兩性分枝過程的收斂問題。在2006 年Ma[7]首次提出了隨機環境中兩性分枝過程概念，在此之后學者們開始研究隨機環境中兩性分枝過程的一些其他性質。對于分支過程Lp- 收斂許多學者做了一定的研究，吳金華等[8]給出了受控分支過程中Lp-收斂的結論；2020 年李應求等[9]給出了兩性分支過程中規范化后的種群數量Lα-（α＞1）收斂的充要條件。

次指數不等式是針對獨立同分布隨機變量部分和序列的偏離程度給出估計，用來描述繁殖過程可能存在的誤差。次指數條件是指鞅差序列具有有界的條件次指數矩，在本文中，我們給出了該情況下的次指數不等式。

1 模型的引入

令ξ=（ξ0，ξ1，ξ2，…）為獨立同分布的環境序列。假設每個定義在N={0，1，2，…}上的ξn對應一個概率分布p（ξn）={p（iξn）∶i∈N}，其中p（iξn）≥0，p（iξn）=1，及pi（ξn）∈（0，∞）.零分布是當原假設為真時檢驗統計量的概率分布。隨機環境中兩性分枝過程（Zn）可以通過下列關系來定義：

給定環境ξ，（fni，mni）（n≥0，i≥1）是獨立同分布的隨機向量，其中ni指的是第n代的第i個配對單元，（fni，mni）表示第n代的第i個配對單元產生的雌性和雌性后代個體數；（Fn，Mn）表示第n代所有的雌性和雄性個體數。p（ξn）是每一個fni，mni的分布。

記rk為配對單元的均值增長率，有：

令F0=F（ξ）=σ（ξ），Fn=Fn（ξ）=σ（ξ；fki，mki，0≤k≤n-1，i=1，2，…），n≥1，因此Zn是Fn可測的。對n≥1，設，標準化種群數量是一個非負下鞅，如果有

在本文中我們考慮μ:=Elogr1（ξ0）＞0，這代表分枝過程（Zn）會以正的概率存活下來。

2 基本結果及證明

為方便起見，我們記

其中σ 為logr1（ξ0）的標準差。

其中Xi=logr1（ξi-1）（i≥1），設X=X1=logr1（ξ0），σ2=E（X-μ）2。我們記

基于以上定義，我們有

為得到定理1，我們給出下面2 個引理。

引理1[11]：對于獨立同分布隨機變量序列（Xi）i≥1，設，假設對α∈（0，1）有＜∞，則

證明：由（2）和（3）式可知

因為ξ 是獨立的，對上式兩邊取期望，我們有

定理1：假設對于α ∈（0，1）有E[（X-μ）2exp{（（X-μ）+）α}]＜∞，則對所有的x＞0 有

其中

由引理1 可知

其中un=nE[（X-μ）2exp{（（X-μ）+）α}]，對于任意X，X+表示X的正部，有X+=max（0，X）。由馬爾可夫不等式及引理2，對所有的我們有

將（16）式、（19）式和（20）式合起來我們可以得到

其中

這就完成了定理1 的證明。