顯式結構拓撲優化方法在聲子晶體中的應用研究*

張亞茹 郭 輝 孫玲莉 汪熙婷 程 乾

（上海工程技術大學機械與汽車工程學院 上海 201620）

1 引言

聲子晶體由人工復合材料周期性排布而成，具有獨特的阻擋某一特殊頻段波傳播的能力［1～5］。這一特殊頻段稱之為帶隙。帶隙特性與組成聲子晶體的材料參數，結構幾何尺寸和元胞拓撲有密不可分的關系。為了最大程度挖掘帶隙特性，科研人員開展了一系列聲子晶體拓撲優化研究［6～10］。

目前關于聲子晶體元胞拓撲優化的研究工作主要集中于離散像素單元策略，即將聲子晶體元胞離散成為N*N 個像素單元，通過優化算法（遺傳算法［6～7］，雙向進化結構演化算法［8］等）確定各像素單元的材料屬性，進而確定元胞拓撲結構。在像素型結構優化工作中，易出現以下幾個問題：1）優化過程中易出現棋盤格模式和孤島現象，導致優化過程失穩或優化結構不具備實際意義；2）像素單元尺寸過大導致優化結構邊界粗糙，單元尺寸過小則會顯著降低優化效率，且微觀結構不易制備；3）基于離散單元策略的優化結構，因其隱式參數特性，無法直接獲取聲子晶體元胞拓撲參數，難以在CAD 軟件中建模和分析。

為了解決上述問題，本文開展了基于可移動形變組件法［11～14］的聲子晶體顯式結構拓撲優化研究。基于若干個可自由移動伸縮變化的組件，組成元胞拓撲，以實現利用構件幾何位置傾角參數顯式表征元胞拓撲參數的目的。將元胞拓撲轉化為數值表達后，結合移動漸近線法對構件幾何位置參數進行優化。針對面內模式和面外模式，開展了元胞拓撲優化工作。顯式表征結構拓撲，有利于聲子晶體建模分析以及加工制備，對于促進聲子晶體的工程應用具有一定的意義和價值。

2 優化模型的建立

2.1 能帶結構的計算

當彈性波在均質板中傳播時，其波動方程如下所示：

式中，ρ為介質密度，u為位移向量，λ和μ是材料拉梅常數，r是位置矢量。

由于結構的周期性，結構位移可以用以下公式來描述：

其中k是布洛赫波矢，為便于計算其在第一布里淵區的取值，uk(r)是具有與結構同等周期的位移函數。

采用有限元法進行能帶結構計算，對于任意離散單元可以得到如下動力學方程：

其中，是結構全局剛度矩陣，是結構全局質量矩陣，u是結構位移幅值矩陣。

將布洛赫波矢k繞不可約布里淵區邊界掃掠，則可以得到各布洛赫波矢下對應的結構共振頻率，即得到能帶結構圖。

2.2 可移動形變組件法

可移動形變組件法中元胞拓撲結構將由以下公式確定：

其中φs(x)是構件的拓撲描述方程，D為結構的設計域，Ωs為結構內部，?Ωs為結構內部邊界。其中，φs(x)=max(φ1(x)，…，φn(x))，φi(x)為第i 個構件的拓撲描述方程。拓撲描述函數是利用水平集算法的思想，用數個關鍵的參數來表達構件拓撲形狀的函數。在本文中，構件的拓撲描述函數為

其中，x0和y0為構件中心點的坐標，L 和t 為構件的寬度和高度，θ為構件的軸線與水平線的夾角。m 是一個自定義參數，在本文中m 值為6。在本文中，采用矩形構件建模，于是采用可移動形變組件法來實現聲子晶體帶隙優化可以被表示為

其中，di代表第i 個設計變量di=[xi，yi，Li，ti，θi]，g(d) 為結構優化過程中用來約束設計的約束函數。在這篇論文中，采用四節點等參單元來離散聲子晶體元胞結構。在優化過程中，構件的結合信息作為設計變量一直在變化，不斷的更新網格將會使構造全局矩陣的過程變得更加復雜。因此，采用固定網格法［14］來劃分結構。對于任意一個單元，只要它的四個節點的拓撲描述值是已知的，則這個單元的彈性模量可以被插值為

其中，E 為材料的彈性模量，H 為heaviside 函數，φei為這個單元四個節點上的拓撲描述值，q為常數，在本文中取2。為了縮小誤差以使H函數具有實際意義，H函數為以下公式：

ε是控制歸一化幅值的參數，α是一個極小的數值，來確保整體剛度矩陣的非奇異性。建立了有限元分析模型之后，采用移動漸近線法［16］進行設計變量數值優化運算。為了便于移動漸近線法的使用，目標函數可以被等效替換為

于是，目標函數對于各個設計變量的靈敏度則為

其中：

其中位移矩陣已經經過歸一化處理。經過上述計算后，則可得到各設計變量的靈敏度，結合移動漸近線法，即可實現聲子晶體元胞顯式拓撲優化。

3 結果與討論

在本文中，使用鉛和硅橡膠來設計聲子晶體拓撲結構，具體材料參數如表1 所示。在利用可移動形變組件法進行元胞拓撲顯式優化中，合理選擇初始結構對于優化效果及優化效率具有一定的影響。在優化初始階段，建立如下圖所示的網狀拓撲超材料。

表1 材料參數屬性

圖1 初始元胞拓撲

在面內模式下，由于高對稱點Γ 的存在，導致結構不可能在第一能帶和第二能帶之間打開帶隙。為此，在面內模式下，拓撲優化的目標函設置為第三帶隙相對帶寬：

面外模式下優化目標函數設置為：

經優化后，可得到如下圖所示的最優結構及其能帶結構圖。從最優結構中可以看出，經對稱展開后，該元胞結構中間部分存在一個“日”字形的由鉛組成的散射體，其中左右兩側較粗，上下兩側較細，并且結構中心部分存在一個較小的硅橡膠孔洞。從其能帶結構圖中可以看出，該結構能夠在373.3Hz～807.1Hz 處打開帶隙，相對帶寬為73.5%。由于z 向振動的特殊性，結構能在第一能帶和第二能帶之間打開帶隙。從結構圖中可以看出，所有構件都聚集在設計域的一角。繪制該結構的能帶結構圖，可以看出，該結構在392.74Hz～1643.5Hz處具有帶隙，其相對帶寬122.8%。

圖2 優化結構及其對應能帶結構圖

為了驗證可移動形變組件法優化的有效性，針對面內模式第三帶隙優化結構構建傳輸特性損耗模型。具體模型如圖3所示。

圖3 傳輸特性損耗模型

針對面內模態最優結構模型，在結構左側施加機理，并在模型右側提取加速度值，根據兩者比值繪制傳輸特性譜，所得傳輸特性曲線譜如圖4所示。

圖4 傳輸特性曲線譜

從圖4 中可以看出，傳輸特性譜在對應的帶隙區間內有明顯的下降趨勢，即表明結構在對應的頻段處具有良好的彈性波衰減能力，驗證了優化方法的有效性。

4 結語

本文采用可移動形變組件法，開展了聲子晶體元胞拓撲優化工作。相比于遺傳算法，雙向進化結構優化算法等優化算法，基于靈敏度分析策略的可移動形變組件法能大幅提高優化效率，且優化效果良好。針對聲子晶體元胞面內模態第三帶隙和面外模式第一帶隙開展優化工作，分別獲得了373.3Hz～807.1Hz 和392.74Hz～1643.5Hz 的帶隙，其相對帶寬值分別為73.5%和122.8%。相比于其他優化算法，可移動形變組件法具有優化效率高，顯式拓撲參數，便于建模和分析等優點，具有良好的理論意義和工程應用價值。