從數學錯題中獲得的教學啟示

俞鴻雁

【摘? 要】學生在數學作業中出現錯誤是一個不可避免的現實，教師不但要理解學生的錯題具有提高學生學習數學的興趣、加深對知識的理解、提高學習能力的價值，更要從中獲得針對基礎知識不牢、受思維定勢的影響、對問題理解的片面性及解題思路不廣，缺乏靈活應變能力等錯誤原因產生的教學啟示，達到物盡所用的目的。

【關鍵詞】數學錯題；錯題原因；教學啟示

一、問題的提出

學生作業是學生吸收和消化新知識的一個重要環節，是學生對已學知識掌握程度反饋給教師的一條主渠道。小學生是以形象思維為主，而數學又恰恰是一門邏輯性很強的學科，這就使他們在學習數學時感到困難。因此，在學習數學的過程中，出錯是難免的。教師要求學生一學就會，一做就對是不現實的，從某種意義上來講出錯是學生的“權利”。

可在現實中，并不是每一位數學教師都抱著這種心態看學生的錯誤。有的教師見不得學生作業中出錯，這種恨鐵不成鋼的心情是可以理解的。但在學生出錯后去苛責，為了節約時間直接給學生提供正確答案，以為正確的答案就會代替學生原先錯誤的認識是不可取的。或者在學生出錯后，教師通過不斷地練習，反復地鞏固等機械練習的方式加以重復訓練，這樣只能使學生知其然，而無法知其所以然，下次遇到同類型的題目還會出錯。

教師對學生作業中的錯誤的不正確的態度，在一定程度上造成了部分學生害怕出錯，稍有錯誤就會懊悔不已，生怕因為自己的錯誤而使自己好學生的形象在老師心目中大打折扣。比如當班級學生正在集體做數學作業，教師巡視課堂時，突然停在了一位同學身邊，這位同學可能前一分鐘還思路清晰，當意識到老師在看他答題時，會慌張得無從下筆，直到老師離開，才漸漸恢復正常的思維。

面對這樣的現實，教師要善待作業中出現錯誤的學生，如果處理不當，就會挫傷學生學習數學的積極性和自信心。教師保護學生的自信、培養學生的自信，要花費很大力氣，下很大功夫，而挫傷他們的自信心只在瞬間。因而教師對待學生的錯誤不能大驚小怪、不能生氣急躁，一定要少責備多鼓勵、少埋怨多幫助，避免學生對學習數學產生焦慮的心理。

二、數學錯題的價值

盡管學生在作業中出錯說明學生在掌握、理解或運用所學數學知識解決新問題的過程中存在著偏差，但教師也要善于看到學生作業中錯題的價值。

（一）錯題可提高學生學習數學的興趣

維果斯基的“最近發展區”理論告訴我們：“跳一跳，夠得著”的學習目標最有吸引力。當學生遇到的題目簡單到人人都會做，題題都全對時，他們會覺得這樣的題目毫無挑戰性，即使全做對了也沒有成就感。這就是為什么學生普遍不喜歡做計算題的原因，他們覺得計算題沒有太多思維上的挑戰，即便因粗心做錯了也能自行改正。相反，如果遇到有一定難度、但能通過自己的思考嘗試解決的題目，學生會以高度的熱情追尋答案。當看到通過自己的思考得出的答案居然做錯時，學生會有尋根究底的心理，此刻對這道題的求解方法會表現出極大的學習興趣。因此，要想調動學生學習數學的積極性，不是通過全對的題目，也不是難得無從下手的題，“跳一跳，夠得著”的錯題最有吸引力。所以，當學生數學作業中出現錯誤后，教師不要一味地責怪、批評，而應加以引導，讓學生從思想上覺得這道題是自己“跳一跳，夠得著”的。這樣學生就不會出現怕出錯的負面情緒及挫折感，相反學生學習數學的興趣會得到很大的提高，在這樣和諧的師生關系下，進一步提升了學生學習數學的興趣。

（二）錯題可加深學生對知識的理解

錯題其實是暴露了學生學習中的問題，如果大部分學生在作業中出現某道題同時出錯，就說明這一題可能涉及知識上的難點或極易混淆的內容，教師需要深入地講解讓學生對這一知識的深刻理解。如果只是少數同學出錯，就說明這些同學對這一知識還沒理解，需要教師對他們進行單獨輔導，讓他們及時補上知識的“漏洞”。如果學生作業中的錯題能挖掘到教學資源，此時需要教師適當引導，讓錯題成為學生知識的生長點，從而讓學生進一步意識到問題的本質，成為新知識的起點。如果某位學生作業中出錯的地方不是因為不理解，只是看錯題、算錯等粗心問題，那么被批改出“錯誤”的經歷會給這位學生留下“難忘”的印象，所謂“一朝被蛇咬，十年怕井繩”，以后做題他會小心翼翼地避免再出現同樣的問題，在一次次錯題中積累的答題習慣會讓學生印象深刻、受益終身。

（三）錯題可提高學生的學習能力

如果學生錯題的原因是基礎知識不足或頓悟思維受阻，這些錯誤的出現反映了學生的學習能力還有待提高，教師要有意識地運用學生的錯誤培養學生相應的能力。如當學生在作業出現錯誤后，給學生創設一個自主探究問題的情境，讓學生能夠在自主探究的過程中發現自己某些方面的不足或知識的欠缺，從而去探索解決問題的正確途徑，這是提高學生自主糾錯及獨立思考能力的重要途徑。其次錯誤一般會發生在事物的轉折處，會起著舉足輕重的作用，學生的錯題也是如此。他們每遇到一道錯題就會增加一次打破和超越自己的機會。如果學生能攻克錯題，并能在下次遇到類似情況時也能用同樣的思維方式解決它，學生的思維就會呈現螺旋上升的狀態。另外，善用學生的錯誤還能培養學生的反思能力。因為學生的錯誤不可能單獨依靠正面的示范和反復練習得到糾正，它必須是一個自我否定、自我完善和改正的過程，即學生在意識到自己的錯誤之后，進行自我反省，內心深處將正反兩個答案進行比較、篩選、辨認出正確答案。如果能從本質上肯定正確答案，否定錯誤答案，這就說明學生對自己的思維進行了周密而又批判性的反思。

三、學生的數學錯題原因及教學啟示

對學生的錯題有了正確認識的基礎上，就要認真分析學生的這些錯題屬于哪種類型，知道學生錯題的原因才能有的放矢，尋找教學的著力點，從而達到物盡所用。

（一）基礎知識掌握不牢

認知心理學認為：人在獲得知識的過程中，既會受到個人先天傾向的影響，也會受到個人已獲得知識的影響。小學生的數學學習也不例外。學生的數學認知結構就是他們通過不斷的數學學習在大腦中形成一個知識網絡。如果學生掌握的知識不夠牢固，那么他們就不能把所學的知識與題目聯系起來，也就無法運用所學的知識解決問題，從而導致錯誤。

教學啟示：重視基礎知識的教學，幫助學生在頭腦中形成“點”“鏈”和“網”的知識結構。數學知識具有連續性，但由于課時安排的時間限制，只能以知識點的形式分散到每一節課進行教學。但教師要努力將新舊知識聯系起來，使學生頭腦中形成“點”“鏈”和“網”的知識結構。比如學習“分數的基本性質——分子和分母同時乘或除以一個相同的數（0除外），分數的大小不變”時，可以與之前學習的“除法中商不變的規律——被除數和除數同時乘或除以一個相同的數（0除外），商不變”比較，同時啟發學生思考根據分數的基本性質，可以怎樣化簡分數。這樣的教學才能使學生不但知其然，而且知其所以然。

（二）受思維定勢的影響

學生在加工處理信息時幾乎不需要關注的加工叫作自動化加工，信息的類型和以往的經驗決定了這種信息需要關注。有時即使某種信息的加工在一開始時需要很多的關注，但練習可以減少所需的關注，對于自動化加工的回憶，不會因為教學和練習的量而有所改進，也不會因為年齡的增長而有所不同。自動化加工信息一般來說對學生的學習是有用的，因為它騰出了一些心理資源解決其他問題，然而當給定的問題像一個典型問題，但卻需要與典型問題截然不同的解法時，自動化過程就會帶來害處。

教學啟示：通過設計變式的題目，學生能透過現象抓住本質。如做這樣一道工程問題：要生產420個零件，甲獨做要4小時，乙獨做要6小時，甲乙兩人同時合做這批零件要幾小時？學生能輕易算出答案是2.4小時。但如果把這道題目改一個條件，把“420個”零件改為“210個”，不少學生會很快得出1.2小時，大多數人是這么想的：工作總量由420個變為210個，減少了一半，時間自然也該減少一半。但實際上這里的工作效率也發生了變化。所以通過這樣的變式練習，可以使學生深刻理解這里的合作時間其實與工作總量無關。

（三）對問題理解的片面性

數學知識既有相互聯系的一面，又有彼此區別的一面，區分不清、張冠李戴，是有些學生在數學學習中經常出現的一種現象。造成這種現象的根本原因，往往是因為概念不清、分辨能力不強，表現出因粗心大意而錯的感覺，其實并非如此。學生出現這些錯誤主要有兩方面的原因，一是學生自身的原因，二是教師在教學中不夠重視的原因。

教學啟示：重視基本概念的深度理解。如這樣一個錯誤：有兩根繩，第一根繩長2米，第二根比第一根繩長，第二根長﹙ ﹚米。這道題的正確答案應該是2.5米，而如此簡單的題目竟然會有不少同學把答案寫成米。原因很簡單，這些學生把長“”看成了長“米”了。這似乎是審題錯誤，沒有看清是否有單位名稱造成的。除了自身注意分配不當的原因，其實大部分同學做錯是由于不理解分數的意義造成的。追根究底是因為教師在教學分數的過程中，只停留在指出：單位“1”可以是一個物體，可以是一個整體，也可以是一個計量單位。如果在建立分數概念時，能進一步將米及時地進行區分和對比，就能避免上述問題的發生。

（四）解題思路不廣，缺乏靈活應變能力

學生在解一些綜合性較強的題目時，有時不僅需要掌握所學的知識，還需要其根據題目實際情況靈活應變。而對一些解題思路不廣、缺乏靈活應變能力的學生來說，往往不善于運用這些方法，因為不能清晰地捕捉到解決問題的相關信息，也就無法答對題目。

教學啟示：激發學生拓寬思維、積極嘗試新方法。如在學習完成圓的面積公式S=πr2后出這樣一道題：圓內最大的正方形的面積是25平方厘米，求出圓的面積。在這題中不少學生覺得無法求出r的值，被難住了。這題應啟發學生連接正方形對角線，從而把正方形分成四個大小相等的小三角形。先求出小三角形的面積，然后用x2求出以半徑為邊長的小正方形的面積，也就是已經求出了r2，此處學生只需根據圓的面積公式，將以上的結果乘以3.14，圓的面積就出來了。但不少學生的思路是利用三角形的面積公式，反過來求三角形的底或高，也就是在他們的頭腦中一定要求出r的值，可這道題中的x2不是完全平方數，r是求不出來的。所以在平時教學中首先要引導學生讀題后選擇有用的信息，排除一些無關緊要信息的干擾；其次要明確哪些信息是有用的，將其適當組合；最后將這些信息與原有認知結構中的數學知識進行比較，判斷可與哪些知識建立聯系，能利用已有知識分析新問題，從而產生解決問題的新思路。

【參考文獻】

[1]李烈.我教小學數學[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]劉華.反思，讓錯題成為智慧的再生資源[J].小學教學研究，2018（10）：77-79