基于TTLS 算法的超聲斷層成像方法研究

王小婷，王浩全，張瑛

（中北大學 信息與通信工程學院，山西太原，030051）

0 引言

醫學影像技術在最近20 年來得到迅速發展，目前超聲成像[1]、X射線成像[2]、X射線斷層掃描（CT）[3]和核磁共振成像（MRI）[4]等醫學成像技術較為常用，成像方法各具特色。

超聲波可作為一種攜帶信息的載體，具有方向性好、穿透能力強和對人體無害等特點，在生物醫學領域得到了廣泛的應用[5~6]。超聲成像根據已知入射波和測得的散射波能夠精確重建生物組織聲學參量分布[7~8]。由于所檢測生物介質的非均勻分布，導致超聲散射波函數與生物組織的聲學特征函數之間存在非線性關系，需要用迭代近似等方法進行求解[9]，而影響重建效果的另一重要因素為迭代的過程中涉及到的不適定問題的求解，這是此類重建算法的重難點[10~11]。

針對不適定問題導致圖像重建質量較差的問題,Pengpeng Xie 等人對比了嚴重和中度不適定問題下的正則化最小二乘法方法，表明正則化方法具有更好的重建效果[12]。Shaoning Zeng 等人對正則化參數的選取和收斂性進行了研究，用于解決不適定問題[13]。劉超等人提出了進行TTLS正則化的圖像重建模型，該方法在圖像重建中能夠有效去除條形偽影并保護圖像細節,同時具有較好的重建質量[14]。劉玉等人運用空間域的TTLS 正則化方法，反演出較高的對比度圖像[15]。

本文基于以上研究現狀，對TTLS 正則化方法進行改進，通過選取合適的截斷參數值k，劃分系數矩陣的奇異值，主要部分為較大的和較小的奇異值，引入Tikhonov-Gaussian 方法中的濾波因子為主要思想，對較小奇異值部分進行校正，抑制較小奇異值對正則化解的影響，并將其應用于超聲斷層成像中，以期獲得滿意的重建效果。

1 超聲成像數學模型建立

超聲層析成像通過圓環形換能器對物體散射場信息較為完整的收集，重構物體的內部結構。在已知散射場情況下對描述物體內部特性未知函數進行求解。當散射源與接收器之間為超聲波穿過均勻介質時的聲場時，方程如下：

式中?2表示拉布拉斯算子，k0表示介質內的平均波數，為常數，表示入射場。

當發射器與接收器之間有不均勻介質存在產生的聲場時，方程如下：

表示所求未知函數。

超聲波穿過非均勻介質時產生的壓力→場（全場）可以分解為為入射場與散射場

借助格林函數，可把散射場看作為散射點的陣列集合，則超聲波入射時的散射場可表示為：

此時物體內部的全場方程可以表示為：

2 TTLS 正則化方法

TTLS 方法是在完全最小二乘法（total least square，TLS）基礎上引入截斷思想的一種直接正則化方法，可以用于求解逆問題的不適定性。當系數矩陣與數據項誤差同時存在的情況下，可以得到兩個誤差的Frobenius 范數最小值。

在Ax=b法方程的基礎上，假設系數矩陣A和右端數據項b都存在誤差時，精確的左側系數矩陣用表示，誤差范圍下的用A表示，同樣，精確的右側數據項用表示，誤差范圍內的數據項用表示。單考慮只有右側數據項存在誤差，則最小二乘問題可以表示為：

其中x為成像域散射值矩陣ΔO；A為由未知函數形成的系數矩陣D[[P(t)]]；b為測量得到的散射值 ΔP(s)。

當左側系數矩陣和右側數據項同時存在誤差時，最小二乘問題可以表示為：

式中||?||F表示Frobenius 范數，為系數矩陣精確值，為數據項精確值。方程式（6）表示為完全最小二乘問題（TLS）。當系數矩陣A和數據項b同時存在誤差時，原問題的解可以用增廣矩陣(A,b)的奇異值分解表示。

完全最小二乘方法的具體思想如下：

（1）系數矩陣A的增廣矩陣(A,b) 可以用奇異值分解

表示為：

其中σi為奇異值，vi為右奇異向量，且相互正交，σ1≥σ2≥ …≥σn≥0，Σ=diag(σ1,σ2,… ,σn)；ui為左奇異向量，且相互正交V=(v1,v2,…,vn)∈Rn×n，V TV=In；U=(u1,u2,…,um)∈Rm×m，U TU=In。

（2）選擇截斷參數（記為k）k≤min(n,rank(A,b))且滿足：

（3）記q=n-k+ 1，對矩陣V進行分塊處理：

且滿足：V11∈Rn×k，V12∈Rn×q，V21∈Rl×k，V22∈Rl×q。

（4）完全最小二乘問題（TLS）的解表示為：

完全最小二乘問題的范數和殘差可以表示為如下：

由方程式(12)及(13)可得，最小二乘解的范數隨著k的增大而增大；而隨著k的增大，殘差的范數卻減小了。將截斷的思想引入完全最小二乘算法，得到較好擬合效果的TTLS 方法。

截斷完全最小二乘法（TTLS）可以表示為：

其中濾波因子fi的形式為：

TTLS 方法中的截斷參數k也可以視為正則化參數，該參數的選取直接影響著解的質量。參數k選取較大時，可以實現較好的數據擬合，但對解的范數約束效果較差；k選取較小時，解的約束力效果強，但數據擬合的狀態不太理想。因此，選取合適的截斷參數k尤為重要。

3 改進的TTLS 正則化方法

Tikhonov 方法將每一項均進行適當程度的濾波，得到原問題的近似求解。通過校正較小的奇異值部分控制噪聲的影響，然而對較大奇異值進行校正，會使一定程度的近似解偏離真實的解。

本文采用Gaussian 高通濾波函數作為Tikhonov 正則化的正則化矩陣，Tikhonov-Gaussian 正則化方法的濾波函數可以表示為：

將TTLS 方法和Tikhonov-Gaussian 法相結合對TTLS正則化方法進行改進，在傳統的TTLS 方法中，選定合適的截斷參數k，將系數矩陣的奇異值分為兩部分，較大和較小奇異值，并借助于Tikhonov-Gaussian 方法中的濾波因子，校正較小的奇異值部分，以控制較小奇異值部分對正則化解的影響。改進后的TTLS 正則化方法的方程式可表示為：

因此，本文采用改進的TTLS 算法應用于超聲成像，對實驗數據進行較小奇異值修正，以獲得更穩定的正則化解，得到更好的重建圖像。具體步驟如圖1 所示。

圖1 基于改進TTLS 算法的超聲斷層成像流程圖

4 實驗結果與分析

本文使用圓環形超聲換能器，布置50 個換能器，采用200kHz 的發射波，對35×35pixel的模型圖進行算法測試。將物體區域以λ/10=0.75mm 的采樣間隔進行均勻采樣。

在均方誤差、峰值信噪比、圖像對比度、信噪比和結構相似性方面對兩種算法進行對比分析。本實驗仿真平臺為MATLAB2016a。使用不同正則化參數的TTLS 方法對模型求解，結果如圖2 所示。

圖2 不同正則化參數TTLS 方法重建圖

圖3中k表示TTLS 正則化參數，可以看到，正則化參數為210 時輪廓逐漸清晰，正則化參數為215 時效果最好，迭代次數較少時所求得的解不能很好的擬合數據，而迭代次數較多時，會導致外部Born 迭代方法發散，適當的正則化參數的選取，可以獲得較好的成像效果，解更穩定。

圖3 不同算法重建結果量化的比較

本文使用均方誤差、峰值信噪比、圖像對比度、信噪比和結構相似性5 個指標對算法的性能進行評估。

其中H和W表示圖像高和寬；X(i,j)表示待恢復的模糊圖像；Y(i,j)為清晰的原始圖像；MAX表示圖像點顏色的像素最大數值，為255。

式中Cσ表示圖像均方根對比度，衡量了圖像灰度反差的大小。Iwxh表示寬為w高為h的圖，I(x,y)表示圖像中指定位置的像素點的值，γIwxh表示圖像素平均值。

對兩種算法進行圖像重建，成像效果分析如圖4 所示。

圖4 不同算法重建結果圖

由此可見，本文采用的改進TTLS 算法重構后的圖像能夠幫助恢復更多的細節特征，從圖像對比度和信噪比等方面可以看出，其重建圖像具有良好的成像質量。相同正則化參數k=215 下，相比較于傳統TTLS 算法，改進的算法相對誤差降低了1.16201%，峰值信噪比提高了0.29132%，信噪比提高了3.0269%，結構相似性提高了1.72531%，圖像對比度提高了14.21319%。

表1 仿真正則化參數為215時兩種算法的重構圖像精度對比

5 結論

本文在TTLS 方法的基礎上，通過選取的截斷參數k，劃分系數矩陣的奇異值為較大的奇異值和較小的奇異值，并引入Tikhonov-Gaussian 方法中的濾波因子來校正較小的奇異值部分，抑制較小奇異值對正則化解的影響，對傳統的TTLS 算法進行改進，并將其用于超聲逆散射成像。實驗結果表明，傳統的TTLS 算法成像質量較差，圖像模糊，改進的TTLS 算法重建圖像細節特征更為明顯，相對誤差降低了1.16201%，峰值信噪比提高了0.29132%，信噪比提高了3.0269%，結構相似性提高了1.72531%，圖像對比度提高了14.21319%。