基于擴張狀態觀測器的磁懸浮軸承控制策略

孫建東，陳雨琴，于大永，王兆杰

（瑞納智能設備股份有限公司，安徽合肥，230000）

0 引言

磁懸浮軸承是一種通過電磁力使定轉子之間無機械接觸的新型軸承，與普通機械軸承相比，磁懸浮軸承具有無摩擦、無油污、噪音小和使用壽命長等優點，因此廣泛應用于航空航天、真空超凈、高速機床、儲能飛輪等領域[1-2]。由于PID 控制器具有結構簡單、參數調節相對簡單且具有一定的魯棒性等優點，因此目前大多數的軸承控制器還是以PID 作為控制策略[3]。

PID 控制是以經典控制理論為基礎，經過工程應用形成的一種實用控制方法，其基本原理是依據誤差反饋策略來調節適當的控制力對系統進行控制[4]。在工業應用初期可以滿足控制需求，然而隨著科技發展，工程應用對控制精度和響應速度的需求都有了較大的提高，而PID 控制日漸凸顯其局限性：

（1）P 和I 和D 線性組合架構下的最優有待商榷；

（2）存在快速性與平滑精確性之間的矛盾；

（3）當控制對象變化時，由于積分作用的存在，導致系統反應遲鈍、易引發系統超調，控制精度變差；

（4）一些應用場合由于缺少合適的微分器，只能采用P 和I 組合，限制了PID 的控制能力。

韓京清教授針對PID存在的問題提出了自抗擾控制（active disturbance rejection control,ADRC）[5]，ADRC 主要由非線性跟蹤微分器（TD）、擴張狀態觀測器（ESO）和非線性狀態誤差反饋律（NLSEF）組成，在進行系統擾動補償時，ESO 將擾動擴張成一個全新的狀態變量，并采用特殊的反饋結構構造能夠觀測被擴張的狀態，即擾動擴張狀態觀測器，它不依賴確定的擾動數學模型也不需要直接測量擾動，因此它具有很強實用性和通用性[6]。

經過多年的研究，國內外在ADRC 的理論研究和應用研究上取得了諸多進展[7-8]。在電機控制領域，很多學者將ADRC 應用于永磁同步電機的擾動補償控制中[9]，另外在電力電子變換系統、機器人控制以及飛行控制器等諸多領域也有很多應用研究。由于ADRC 需要調節的參數很多且參數整定過程復雜，給ADRC 的工程應用帶來很多不便，文獻[10-11]提出了線性自控自擾控制(LADRC)，該控制策略將系統內外動態特征和外部擾動都當作系統擾動，通過實時估計擾動作用并進行補償，將ESO 與狀態誤差反饋率改為線性形式，將繁瑣的參數整定問題簡化，便于在實際工程中大規模應用。本文提出了基于線性擴張狀態觀測器的五自由度磁懸浮軸承控制策略，根據單自由度磁懸浮轉子運動模型設計了線性擴張狀態觀測器，并在傳統PID 控制中進行擾動補償，對設計的控制器進行仿真驗證，仿真結果表明添加擾動補償后的磁懸浮軸承控制系統具有抗干擾能力強的優點。

1 磁懸浮軸承系統模型

■1.1 磁懸浮軸承基本工作原理

簡化的單自由度徑向磁懸浮系統如圖1 所示，包括磁懸浮軸承控制器、位移傳感器、功率放大器、磁力線圈以及轉子五大部分。磁懸浮系統的工作原理是利用電磁力實現轉子在平衡位置的懸浮，轉子在懸浮過程中，通過傳感器實時獲取轉子的位置信號，此位置信號經過傳感器的調理電路進入磁懸浮軸承控制器，作為控制器的輸入信號經過控制器計算出所需要的控制量并送入到下一環控制環節中，在下一環中控制信號經功率放大器轉變為控制電流進入相應的磁力線圈在轉子上產生電磁力實現對轉子的實時控制，從而使轉子懸浮在平衡位置。

圖1 磁懸浮軸承工作原理

■1.2 轉子鐵芯力學關系

以轉子在x 方向運動為例，分析圖2 中轉子鐵心在外力綜合作用下磁懸浮轉子力-電流-位移函數關系。在分析電磁鐵的磁路時，通常考慮的是理想情況，即假設除氣隙外，磁通全部無漏磁地穿過鐵心。

圖2 磁懸浮系統磁路示意圖

假設磁通全部通過Afe的鐵芯截面，并假設鐵心截面等于氣隙面積Aair，則磁通Φ 為：

由于Afe=Aair=A，則有：Bfe=Bair=B，其中Bfe為磁芯的磁感應強度；Bair為氣隙中的磁感應強度。

根據“安培環路定律”可得：

式中，線圈匝數為N；線圈電流為I；氣隙間距為x；鐵芯回路的平均長度為lfe；磁芯磁場強度為Hfe；氣隙磁場強度為Hair。忽略鐵芯的磁化作用，則有：

根據(3)式可得：

式中，μ0為真空磁導率；μr為鐵芯相對磁導率。由于μr≥ 1，因此式(4)可簡化為：

根據麥克斯韋吸引力公式，可求得作用在轉子上的吸引力為：

將式(5)代入到式(6)中，得：

由式（7）可知，當氣隙面積和線圈匝數都不變的情況下，電磁吸引力的大小主要由線圈電流和氣隙間距決定，且它們之間為非線性關系。

根據牛頓第二定律可知，轉子鐵芯的受力關系為：

式中，p(t) 為在x 方向的外部擾動，為時間的函數；F為磁力軸承產生的電磁力，它是位移與電流的函數；mg為轉子重力。

將式（7）磁力軸承電磁力公式帶入到式（8）中，整理得：

從式(9)可知，磁力軸承數學模型為二次非線性微分方程，無論從理論還是時間中，危險性控制還沒有得到很好地解決，常用的方法是在一定條件下將非線性模型轉換成線性模型。為方便設計和分析，有必要對磁力軸承電磁力公式進行線性化。

■1.3 磁力軸承電磁力的線性化

磁力軸承的電磁力是線圈電流與氣隙間距的函數，因此，可將式(7)寫成如下形式：

為了將上式進行線性化，將該式在平衡點y0=f(x0)處進行泰勒展開：

當系統的狀態在平衡點很小的范圍內變化時，取其線性項所產生的誤差可以忽略不計，得到：

對上式求偏導得：

式中，ki為磁力軸承的電流系數；kx為磁力軸承的位移系數，當結構參數確定后，定子線圈的靜態工作點確定，式中ki和kx為常數。

將式(13)和式(14)代入到式(10)中，得到：

將式(15)代入到式(9)中，得到：

在設計時如果參數選取合適，使F(I0,x0)等于轉子重力mg，且令Δi=I-I0=i，Δx=x-x0=x，則式（16）可簡寫成：

2 磁懸浮軸承擾動補償控制器設計

■2.1 擴張狀態觀測器

擴張狀態觀測器（ESO）是一種比較有效地實現擾動觀測的觀測器，能夠將被控對象的擾動擴張成一個新的狀態變量，擴張狀態觀測器有線性擴張狀態觀測器和非線性擴張狀態觀測器之分，為了便于系統分析，本文應用線性擴張狀態觀測器（LESO）。

假設一個二階系統的狀態空間方程如下：

式中f(x1,x2,ω,t)為未知量，設b0 為b的估計值，令x3=f(x1,x2,ω,t) + (b-b0)u，并令x˙3=ω(t)，那么式(18)可以轉換成：

x3為擴張的狀態，其值表示系統的未知擾動。對式(19)建立線性擴張狀觀測器：

式中，z1為狀態變量x1的估計值，z2為狀態變量x2的估計值，z3為擾動變量x3的估計值， 1β、 2β、 3β為觀測器系數，如果選取合適的觀測器參數，觀測器就能很好地估計系統的狀態變量及擾動。

■2.2 擾動補償控制模型

本文基于傳統的PID 控制下的磁懸浮軸承運行過程中存在擾動引起的位移波動等問題，在PID 控制的基礎上，采用線性擴張狀態觀測器用于觀測系統擾動并對擾動進行補償，補償模型如圖3 所示。

圖3 單自由度磁軸承擾動補償控制框圖

圖4 抗擾動控制仿真框圖

從圖3 可知，本文提出的擾動補償控制策略主要由位移環、電流環、擾動補償環三個環路組成。其中x*為參考位移，x為實際位移反饋值，e為實際位移與參考位移的誤差，i0為位置環PID 計算得到的電磁繞組電流環的控制電流，i*為經過線性擴張觀測器（LESO）補償后的電流給定值，i為實際輸出電流值，p(t)為外部擾動，z3為LESO 實時觀測的擾動量，b為擾動補償系數。

由式(17)可知單自由度磁力軸承電磁力線性化模型可得到運動狀態方程為：

式中，x1為位移，x2為速度，在式(21)的基礎上擴張狀態變量x3，其中x3=p(t)m，為擾動產生的加速度，并令x˙3=ω(t)，可得到擴張狀態之后的運動狀態方程為：

設置線性擴張狀態觀測器如下：

如果采樣周期為T，則上式可離散成如下形式：

式中，β1為位移觀測系數，β2為速度觀測系數、β3為擾動觀測系數，y為磁軸承轉子位移實際值，u為磁軸承控制器輸出的控制電壓，kxz1m為磁懸浮軸承系統位移加速度估計值。由文獻[12]可知，被控對象的加速度包含四個部分：控制器施加力產生的加速度、系統固有加速度、系統不確定加速度以及擾動產生的加速度。其中kxx1m為系統固有加速度，通過在系統中修正kxz1m可消除確知加速度的影響，減少z3的負擔提高LESO 的估算效率。

將磁懸浮軸承的LESO 模型式(23)與運動狀態方程式(22)作差，先取：

則有誤差方程為：

當系統達到穩態時，上述誤差均為0，則有：

由上式可得觀測器誤差為：

由上式可知，當 3β遠大于ω(t) 時，上述誤差就無限趨近于0。那么就實現了線性擴張狀態觀測器中的三個狀態變量可以很好地估算出磁懸浮軸承轉子的位移、速度以及系統擾動祖永亮的加速度。

根據線性自抗擾理論，其核心LESO 可利用實時估計出系統未知擾動，包括磁懸浮建模的不準確性、參數攝動導致的擾動以及系統受到的外界擾動作用，并將實時估計得到的磁懸浮軸承系統的總擾動進行補償[13]，可得到經過補償后的控制器輸出量為：

將補償后的控制變量帶入到轉子運動狀態方程中，則式(21)可化為：

從得到的系統狀態方程由此可知，控制系統可對擾動進行補償，提高系統的動態性能。

■2.3 參數整定分析

由LESO 誤差狀態方程式(26)可得特征方程為：

針對ESO 多參數整定的問題，在文獻[14]中基于帶寬的概念提出了LESO 參數整定的簡便方法。將線性擴張狀態觀測器的三重極點配置-ω0，使得特征方程的形式變為λ(s) = (s+ω0)3，這種形式的系統過渡過程及穩定性較好，那么可得到：

這樣，只需要調節觀測器帶寬參數ω0即可實現對觀測器參數的配置，大大簡化了擴張狀態觀測器參數調節的復雜性。

3 仿真驗證

本文基于MATLAB/Simulink 以磁懸浮軸承轉子徑向x方向為例進行仿真研究，仿真參數為：轉子質量m=0.046lg，電磁鐵線圈電感L=109Hm，電磁鐵線圈電阻R=9.6Ω，線圈匝數N=2024，轉子平衡位置x0=0.25m，轉子平衡位置線圈電流I0=0.8053A，電流剛度系數ki=1.1195N/A，位移剛度系數kx=-43.9797N/m。取ω0=5000，由式(32)可確定線性擴張狀態觀測器系數β1，β2，β3的值。

為了驗證本文提出的的擾動補償控制策略的抗擾能力，本文對階躍擾動、周期性正弦擾動進行仿真分析。

（1）階躍擾動

在實際磁懸浮軸承轉子穩定懸浮時遇到負載突變的情況進行仿真，即添加階躍擾動。在0.2s 時添加浮軸為0.3N的階躍擾動，從圖5 可看出，未添加擾動補償時，轉子產生的最大位移波動有64μm，添加擾動補償后轉子位移波動約為25μm，位移偏移量比未補償前減小了61%，由此可見，添加擾動補償可提升系統的抗干擾能力。

圖5 階躍擾動轉子位移圖

圖6 正弦擾動轉子位移圖

（2）周期性正弦擾動

磁懸浮軸承轉子在懸浮過程中也會受到由于轉子質心與幾何中心不重合導致的一定頻率的正弦擾動，為了驗證擾動補償對正弦擾動的抗干擾能力，在仿真時添加頻率為100Hz，幅值為1N 的正弦擾動。

從仿真結果可知，未添加擾動補償時，轉子位移波動峰峰值15μm，添加擾動補償后，轉子位移波動為7μm，相比于單PID 控制位移波動減小了53%，通過對周期性正弦擾動的仿真結果可知，擾動補償對周期性正弦擾動也表現出較好的抗干擾能力。

4 結論

本文基于LESO 提出了應用于磁懸浮軸承控制系統的擾動補償控制策略，通過對單自由度轉子運動模型的分析，搭建了磁軸承擾動觀測器模型，并基于帶寬的概念對LESO 的觀測器增益進行整定。通過MATLAB/Simulink 仿真對比了添加擾動補償前后系統對節約擾動以及周期性正弦擾動的抗擾性仿真驗證，仿真結果驗證了LESO 應用于磁軸承擾動補償的正確性與可行性，并對比單PID 控制位移波動顯著減小，可有效地提高磁懸浮軸承的抗擾性。