帶有動量效應的在線動態移動平均反轉策略

吳金明 劉 釗

1(上海工程技術大學數理與統計學院 上海 201620) 2(滄州師范學院計算機科學與工程學院 河北 滄州 061001)

0 引 言

隨著經濟的發展,投資越來越引起國家和消費者們的重視,故成為了經濟發展和生活的一部分。而基于Markowitz均值方差理論[1]的經典投資組合選擇方法,存在著需要假設分布和事后預測的問題,故無法適應現在投資市場瞬息萬變的發展形勢和大數據時代數據的快速更迭。而源自Kelly[2]投資理論的在線投資組合選擇方法,具有不假設數據分布、迭代更新的優勢,可以更好地適應當下金融市場的發展趨勢。

經過幾十年的發展,在線投資組合選擇策略體系基本形成,大體可分為五大類,分別為:基準類策略、跟隨贏家類策略、跟隨輸家類策略、模型匹配類策略、元學習類策略[3]。其中最具有代表性的一類策略就是跟隨輸家策略,體現的是一種“追跌殺漲”的投資理念,又因為其通過捕捉并利用投資市場中的反轉現象而獲取收益,也被稱為反轉類策略[4]。此外,學者們對策略相關的交易成本[5-6]、邊信息[7]、集成方法[8]等問題也進行了廣泛研究。

現有的反轉類策略[9-13]在一些公開數據集上取得了較好的表現,但是仍然存在一些不足。主要體現在以下兩個方面:(1) 多數策略使用了靜態模型,沒有充分考慮金融市場的非平穩特征[14-15];(2) 多數策略僅利用了市場的反轉效應,卻很少結合動量效應來挖掘市場的潛力。

針對這兩個問題,本文將動態移動平均模型與PA算法、動量效應相結合,提出帶有動量效應的在線動態移動平均反轉(Online Dynamic Moving Average Reversion with Momentum Effect,M-ODMAR)策略。為了驗證策略的改進效果,本文在四個公開的經典數據集上,對包含本文策略在內的十種策略實施數值實驗,并給出分析結果。實證結果顯示本文提出的帶有動量效應的在線動態移動平均反轉策略可以獲得更高的累積收益。

1 相關工作

反轉效應與動量效應都是金融異象的具體表現形式,二者的存在是對市場的有效性假設的巨大沖擊。其中,對于反轉效應的探索是在線投資組合選擇領域研究的重點之一,并且學者們取得了一系列優異的研究成果。下面簡單介紹相關領域的研究現狀,詳情可參考文獻[4,9-12,15-20]。

1.1 反轉類策略研究現狀

Borodin等[9]提出了反相關(Anti-Correlation,Anticor)策略,為了利用均值回歸特性,其關注于正滯后交叉相關和負自相關的一致性,也就是使用相關系數來描述反轉效應,與同期的其他策略相比,其在數值實驗中的表現提高明顯,同時開啟了反轉類策略的研究大門。Li等[10]提出了被動主動均值反轉(Passive Aggressive Mean Reversion,PAMR)策略,其損失函數的設計思想是:如果根據上期相對價格所計算出來的收益比閾值大,那么損失函數值就會以線性的速度增加;否則損失為零。Li等[11]提出了置信加權均值反轉(Confidence Weighted Mean Reversion,CWMR)策略,假設每期的投資組合向量都服從某個多元高斯分布,每次迭代,先要重新估計其均值向量和協方差矩陣,然后從分布中獲得投資組合權重。Li等[12]提出了在線移動平均反轉(OnLine Moving Average Reversion,OLMAR)策略,使用了簡單移動平均和指數平滑兩種方法預測價格,實際上是針對PAMR策略的多周期改進,是一種多周期的均值反轉策略。Huang等[13]提出了魯棒中位數反轉(Robust Median Reversion,RMR)策略,通過魯棒的L1中位數估計器去處理噪聲和異常值,該策略表現出較好的魯棒性,解決了數據中包含異常值的問題。郁順昌等[4]提出了在線自回歸移動平均反轉(OnLine Autoregressive moving average Reversion,OLAR)策略,構建了ARIMA模型來預測價格并且使用在線算法對其求解,為處理異常值和非平穩性問題給出了新的解決方式。

1.2 動量效應研究現狀

已有反轉類策略在累積收益上的表現得到了顯著的提升,但很少有文獻將動量效應對反轉策略的影響納入到考慮范圍。動量效應是指股票未來的價格走向與歷史趨勢存在正相關的現象,在有些文獻中也被稱為價格慣性。對于動量效應與趨勢效應的關系,有研究表明,價格慣性和價格反轉往往同時存在于金融市場之中,并且二者有著互為因果、相互融合的關系[16]。

對于動量效應的探索主要分為兩種角度。(1) 根據動量效應的特點來構建投資組合選擇策略,跟隨贏家類策略[17-19]即為此視角。該類策略直接利用上一期的價格進行投資組合選擇,隱含性地假設了本期價格與上一期的價格相同,但沒有對動量效應進行顯式的表述。由于該類策略在實驗效果上普遍差于反轉類策略,也不是本文的研究重點,故這里不作介紹。(2) 顯式的量化動量效應。Hyndman等[20]提出使用二次指數移動平均方法預測時間序列可以同時保留平滑后的值與趨勢,而一次指數平滑卻無法包含趨勢信息。丁成[21]借鑒業內使用趨勢線來衡量走勢的方法,使用線性回歸的斜率值來量化動量效應并與PA算法結合,該方式顯著提升了策略的累積收益。

1.3 問題與解決

綜合上述兩類文獻來看,現存的反轉類策略多使用靜態模型進行價格預測,無法解決金融市場的非平穩性問題,并且很少有反轉策略會深入考慮動量效應對其的影響,而針對動量效應量化問題的探索已有的研究成果也是為數不多。針對這些問題,本文使用在線算法對已有模型進行動態更新以應對非平穩性問題。同時,針對在線投資組合選擇問題提出一種新的動量效應的量化方法,以此提高投資的累積收益。

2 問題定義

3 模型思想

反轉類策略一般分為兩步實現:第一步,預測下一期股票的相對價格;第二步,根據所預測的相對價格選擇投資組合。

3.1 靜態模型的動態更新

OLMAR策略[10]針對比值數據的預測表達式如下:

(1)

3.2 量化動量效應

幾乎所有均值反轉類策略均沒有考慮動量效應對投資的影響。為解決此問題,本文使用L1中位數來提取動量效應,并用于進一步提高已發揮了反轉效應優勢的投資策略的累積收益。該方法的詳細含義如下:

(2)

4 算法與策略設計

本文在OLMAR策略的基礎上引入ONS算法得到了具有動態屬性的ODMAR策略,繼而利用PA算法選取投資組合,最后借助動量效應來進一步優化所選的投資組合,即可得到最終的M-ODMAR策略。

4.1 ONS算法簡介及其在預測中的應用

(3)

第t+1的參數γt+1通過使用ONS算法求解目標函數獲得,公式如下:

(4)

式中:第一項為累積誤差,表示預測的總體誤差;第二項為正則項,主要作用是為了防止過擬合。然后對式(4)進行泰勒展開,并進一步化簡后,參數向量γ的更新公式[22]如下:

(5)

因為這種更新方式可以大大減少矩陣逆的計算時間,其所花費的時間僅為O(n2),其中n為矩陣的階數。ODMAR策略的價格預測過程見算法1。

算法1ODMAR(ω,η)

輸入:窗口大小ω,學習率η,初始矩陣A0=ηIω。

1.FORt=1TOnDO

4.接收實際價格xt并計算損失:lt(γt);

8.ENDFOR

4.2 PA算法在投資組合選擇中的應用

首先,利用PA算法構造投資組合選擇模型[11]:

(6)

然后,利用拉格朗日乘子法對式(6)求解[12]:

綜合上述兩種情況,可得:

(7)

至此,得到了完整的PA算法,具體步驟見算法2。由于我們不考慮賣空的情況,因此要在每次得到投資組合后將其投影到Δm空間,其步驟會在后面的策略中體現。

輸出:當期投資組合bt+1。

4.3 基于動量效應調整投資組合

此時,再考慮到在線投資組合的非負約束問題,為了確保投資組合是非負的,最終要將新得到的投資組合投影到Δm空間中。規則如下:

然后,本文使用上述算法并結合在線投資組合選擇的通用框架,設計了ODMAR和M-ODMAR這兩種投資組合選擇策略。

策略1ODMAR投資組合選擇策略

輸出:累積收益Sn。

2.FORt=1TOnDO

3.獲取股票相對價格:xt;

5.預測下一個相對價格向量:

6.更新投資組合:

7.將投資組合投影到可行域:

8.ENDFOR

策略2M-ODMAR投資組合選擇策略

輸出:累積收益Sn。

2.FORt=1TOnDO

3.獲取股票相對價格:xt;

5.預測下一個相對價格向量:

6.更新投資組合:

7.計算動量效應:

8.調整投資組合:

9.將投資組合投影到可行域:

10.ENDFOR

5 實證研究

本節將通過與八種現有的策略[4,9-13]進行對比,并使用累積收益的高低作為評價標準,從而說明ODMAR策略和M-ODMAR策略在投資選擇決策上的優勢。五個追蹤低收益策略[9-13]在相關工作中已有介紹,三個基準策略[4]具體如下:

Market策略,按照平均的投資權重購買股票,并一直持有到期末,在此期間不做任何調整。最優股票(Best Stock)策略,把所有資產投入到在事后看來最優的那只股票上去,并一直持有到期末。最優定常再調整(Best Constant Rebalanced Portfolio, BCRP)策略,按照事后最優的比重來投資,過程中相對價格的變化會使投資比重發生改變,故每期都要將比重重新調整到最開始的狀態。

5.1 數據集及實驗設置

實驗中采用了四個經典的公開數據集,均來自真實的市場數據,具有很強的可對比性和實際性,即NYSE(O)、NYSE(N)、DJIA和MSCI。具體信息如表1所示。參考已有文獻[4],本文使用了統一的參數ε=10、ω=5,這種參數設置排除了參數的影響,更能體現策略差異在不同環境中的表現情況。

表1 真實市場的基準數據集

5.2 累積收益分析

表2展現了十種不同投資策略在四個數據集上的累積收益。總體來看,與其他八種策略相比,ODMAR策略和M-ODMAR策略都表現出了明顯的優勢,分別在NYSE(O)和NYSE(N)上的表現最為突出。

表2 四個數據集上十種策略的累積收益

具體來看,ODMAR策略在NYSE(O)、DJIA和MSCI上的累積收益高于OLMAR策略,分別提高了203.7%、46.9%和66.1%。該策略提升效果顯著并且在這三個數據集上都得到了所有策略中最優的成績。但在NYSE(N)上表現要差于RMR策略和OLMAR策略。這一現象表明,參數的動態更新在多數數據集上具有很好的提升效果,但在NYSE(N)數據集上的表現卻不夠理想。再來比較本文提出的ODMAR與M-ODMAR兩個策略,相對于ODMAR而言,M-ODMAR策略在NYSE(O)、NYSE(N)和MSCI上的累積收益均得到了提高,分別為11.9%、60.7%和18.9%,其中在NYSE(N)上的提高最明顯。雖然動量效應的加入沒有使DJIA上的累積收益得到提升,但是對于其他三個數據集的累積收益提升確實起到了促進作用,尤其是對NYSE(N)來說。總之,M-ODMAR策略在每個數據集上的累積收益都達到了十種策略中的最高值。這一現象表明,增加對動量效應的考慮,有助于反轉類策略累積收益的增加。更重要的是,動量效應的加入解決了ODMAR策略在一些數據集上表現不佳的問題,二者的結合具有重要的意義。

5.3 交易成本分析

在現實生活中,交易成本是投資者必然要承擔的成本,而在線投資組合選擇由于具有多次投資的特性,故對于交易成本則更為敏感。雖然交易成本的種類多種多樣但是最為主要的形式就是比例成本,故本文將比例交易成本作為研究對象,分析了在不同比例下累積收益的變化情況。圖1到圖4描繪了在四個經典數據集上,六種策略隨著交易成本率的遞增其累積收益的變化情況。

圖1 策略在NYSE(O)數據集上的交易成本分析

圖2 策略在NYSE(N)數據集上的交易成本分析

圖3 策略在DJIA數據集上的交易成本分析

圖4 策略在MSCI數據集上的交易成本分析

首先,在0%至1%的交易成本率之間,ODMAR策略與M-OMDAR策略的累積收益曲線一直位于OLMAR策略與RMR策略之上,這說明ODMAR與M-OMDAR在存在交易成本的情況下仍然有著更高的盈利能力;其次,本文策略的累積收益與其他策略相比差距明顯,這說明本文策略有著較強的交易成本承受能力;然而更有趣的是,ODMAR策略在NYSE(N)數據上0交易成本時的累積收益均低于其他兩個策略,但是隨著交易成本的增加其累積收益快速超過了其他策略并且與M-OMDAR策略一起不斷拉大與其他兩個反轉策略的差距,這說明本文策略受交易成本影響的程度更小。此外,在任意交易成本率下,M-OMDAR比OMDAR獲得更高的累積收益,說明了動量效應對于累積收益的影響在交易成本存在的情況下仍是有效的。

6 結 語

本文提出基于動量效應的動態移動平均反轉的投資組合選擇策略——M-ODMAR策略。首先,在OLMAR的基礎上引入ONS算法,得到具有動態調整特征的ODMAR策略,并取得實際性的效果。然后,在ODMAR的基礎上加入動量效應,同時利用金融市場中的反轉效應和動量效應,使得M-ODMAR策略的累積收益進一步提升。此外,ODMAR和M-ODMAR兩個策略在存在交易成本的市場中,累積收益的相對優勢有擴大的趨勢。上述結果體現了兩點:(1) 利用動態模型可以更好地處理金融數據并有效提高累積收益;(2) 在研究反轉效應的同時加入對動量效應的考慮,可以更好地利用金融市場中的信息,為反轉效應的研究提供一個新的思路和方向。但是,本文研究仍然存在一些不足,例如,對具有非平穩性的金融數據探索仍然不充分,并且學習率也需要事前確定,沒有完全體現策略的動態性。因此,可以借鑒OLAR模型中的差分技術來進行擬合,并且引入參數的動態學習技術來進一步體現動態屬性以應對千變萬化的金融市場,這將是我們今后的研究方向。