數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)要重視理論分析
——對“45°時(shí)滾得最遠(yuǎn)”這一實(shí)驗(yàn)結(jié)論的思考

李 榮

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的常用方式。用于開展實(shí)驗(yàn)的工具、環(huán)境以及操作過程中出現(xiàn)的誤差等都會(huì)對實(shí)驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生影響，因而通過實(shí)驗(yàn)獲得的結(jié)論在沒有理論依據(jù)的情況下只能作為猜想存在。蘇教版四上《怎樣滾得遠(yuǎn)》一課的教學(xué)，旨在引導(dǎo)學(xué)生觀察生活現(xiàn)象，用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方式探索“斜面與地面成什么角度時(shí)，物體滾得遠(yuǎn)一些”這一數(shù)學(xué)問題。通過課堂觀察和文獻(xiàn)研究，筆者發(fā)現(xiàn)，不少教師在教學(xué)過程中都會(huì)著力于“滾得最遠(yuǎn)”角度的探索，似乎不給學(xué)生一個(gè)明確的答案，本課中所有的實(shí)驗(yàn)探究都會(huì)變得沒有意義。于是，“物體從同一斜坡的相同高度（簡稱‘同等條件’）滾落，斜坡與地面的夾角為45°時(shí)滾得最遠(yuǎn)”這一結(jié)論便成了一種共識(shí)。然而，斜坡與地面的夾角為45°時(shí)，物體真的滾得最遠(yuǎn)嗎？針對這個(gè)問題，筆者展開了如下思考與探究。

一、究竟是不是“45度時(shí)滾得最遠(yuǎn)”？

1.學(xué)理：理論性思辨

如果“45°時(shí)滾得最遠(yuǎn)”的結(jié)論合理存在，那么根據(jù)物體滾動(dòng)距離繪制的折線圖圖像將會(huì)是一條拋物線。這種可能只需簡單分析就可擊破：若斜坡材質(zhì)較粗糙，坡度很小的時(shí)候，如1°、2°時(shí)，物體很可能不會(huì)從斜坡上滾落；而坡度為89°、88°時(shí)，物體必定會(huì)滾落并產(chǎn)生滾動(dòng)距離。上述分析說明：根據(jù)物體滾動(dòng)距離繪制的折線圖圖像不是一條拋物線，也就意味著滾動(dòng)距離所成的圖像左右兩邊是不對稱的。坡度為45°時(shí)，物體可能會(huì)滾得最遠(yuǎn)，但也有可能此時(shí)物體滾出的距離并不是極值。

2.建模：科學(xué)性分析

為了進(jìn)一步論證究竟是不是“45°時(shí)滾得最遠(yuǎn)”，一位高中物理教師運(yùn)用物理建模的方式（如圖1 所示，假設(shè)坡面光滑，物體重量為0，只 從 力 學(xué)的角度進(jìn)行分析）研究得出：在理想狀態(tài) 下，tanθ=，即 θ ≈35.3°時(shí)，物體滾得最遠(yuǎn)。

（圖1）

3.實(shí)證：客觀性探究

理論與事實(shí)可能會(huì)存在一定偏差，為了尊重事實(shí)，我校數(shù)學(xué)研究團(tuán)隊(duì)進(jìn)行了多輪次的對比實(shí)驗(yàn)：同材質(zhì)同坡度進(jìn)行同物體滾落實(shí)驗(yàn)；不同材質(zhì)同坡度進(jìn)行同物體滾落實(shí)驗(yàn)；同材質(zhì)不同坡度進(jìn)行不同物體滾落實(shí)驗(yàn)……發(fā)現(xiàn)：影響物體滾動(dòng)距離的因素有很多；實(shí)驗(yàn)會(huì)產(chǎn)生誤差，坡度為44°時(shí)物體滾動(dòng)的距離很難與45°時(shí)作出準(zhǔn)確的比較……其他學(xué)校的教師也對“怎樣滾得遠(yuǎn)”做過實(shí)驗(yàn)研究，得到的結(jié)果各不相同。例如，有教師實(shí)驗(yàn)得出：當(dāng)斜坡與底面呈40°角時(shí)物體滾得最遠(yuǎn)。也有教師得出：當(dāng)斜坡與底面夾角在40°～45°之間時(shí)，滾動(dòng)距離最遠(yuǎn)。

綜上所述，“斜坡與地面的夾角為45°時(shí)物體滾得最遠(yuǎn)”這一結(jié)論缺少理論依據(jù)，也沒有足夠的事實(shí)支撐。

二、“幾度時(shí)滾得最遠(yuǎn)”的應(yīng)然追尋

1.求真：從“結(jié)果本位”到“學(xué)生本位”

仔細(xì)研讀教材，可以發(fā)現(xiàn)，《怎樣滾得遠(yuǎn)》一課的教學(xué)目標(biāo)是：使學(xué)生經(jīng)歷探索斜面與地面成怎樣的角度時(shí)物體滾得比較遠(yuǎn)的活動(dòng)過程，進(jìn)一步體會(huì)在實(shí)驗(yàn)中收集數(shù)據(jù)，并對數(shù)據(jù)進(jìn)行比較和分析，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力，以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力；使學(xué)生通過實(shí)踐活動(dòng)，獲得一些數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)與生活的廣泛聯(lián)系，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值；讓學(xué)生感受做實(shí)驗(yàn)是研究事物的一種方法，培養(yǎng)實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度。重點(diǎn)是讓學(xué)生經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)活動(dòng)過程，參與在實(shí)驗(yàn)過程中所進(jìn)行的角的測量、數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)、平均數(shù)的計(jì)算等數(shù)學(xué)活動(dòng)，而不是找到最終的結(jié)論。

2.革故：從“結(jié)論至上”到“實(shí)驗(yàn)至上”

在《怎樣滾得遠(yuǎn)》一課的教學(xué)中，教師應(yīng)力避“結(jié)論至上”的追求，回歸數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的本來價(jià)值，著力于讓學(xué)生感受到引入實(shí)驗(yàn)的必要性，教給學(xué)生實(shí)驗(yàn)的方法。如，怎樣測量與調(diào)整斜坡與地面的夾角、怎樣把物體放在斜坡的頂部使其自動(dòng)滾落、怎樣測量物體的滾動(dòng)距離、為什么要多次重復(fù)實(shí)驗(yàn)后用算出的平均數(shù)來表示實(shí)驗(yàn)的結(jié)果等。在學(xué)生小組合作進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的過程中，要指導(dǎo)學(xué)生合理分工，明確職責(zé)，使每一位學(xué)生都有機(jī)會(huì)參與活動(dòng)全過程；要對學(xué)生的活動(dòng)進(jìn)行必要的指導(dǎo)，及時(shí)發(fā)現(xiàn)并糾正學(xué)生出現(xiàn)的不規(guī)范操作；要注意引導(dǎo)學(xué)生在回顧反思中內(nèi)化解決問題的策略與方法，增強(qiáng)數(shù)據(jù)分析觀念、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)。

3.化人：從“定勢思維”到“數(shù)學(xué)精神”

數(shù)學(xué)精神是數(shù)學(xué)教育的應(yīng)然追求，數(shù)學(xué)教育應(yīng)追求數(shù)學(xué)精神。受到思維定勢影響，一些教師試圖努力尋找能使物體滾得最遠(yuǎn)的角度，不少學(xué)生也期望得到一個(gè)確切的結(jié)果。但是，教學(xué)活動(dòng)尤其是實(shí)驗(yàn)活動(dòng)是復(fù)雜的，實(shí)驗(yàn)對象、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容、實(shí)驗(yàn)環(huán)境等都是多變的，不可能被完全納入任一固定的模式，因而需要教師辯證地理解理論分析與教學(xué)實(shí)踐之間的關(guān)系。影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果的因素有很多，實(shí)驗(yàn)只能說給出了一個(gè)相對準(zhǔn)確的范圍。教師也許可以引導(dǎo)學(xué)生得出如下結(jié)論：“在目前環(huán)境下，在已有的實(shí)驗(yàn)角度中，斜坡與地面的夾角為45°時(shí)滾得比較遠(yuǎn)。”

三、實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)學(xué)結(jié)論的關(guān)系處理

通過對《怎樣滾得遠(yuǎn)》中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)學(xué)結(jié)論進(jìn)行反思，筆者認(rèn)為，在用實(shí)驗(yàn)的方式探索學(xué)習(xí)的過程中，實(shí)踐+歸納的科學(xué)態(tài)度、實(shí)踐+演繹的理性思考都有助于實(shí)驗(yàn)結(jié)果更好地向數(shù)學(xué)結(jié)論演化。

1.實(shí)踐+歸納：開放式推理探究

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中很多數(shù)學(xué)方法、結(jié)論、規(guī)律等都可以通過不完全歸納獲得。筆者在教學(xué)本課時(shí)，學(xué)生按要求完成30°、45°、60°三個(gè)坡度的滾物實(shí)驗(yàn)后，通過分析得到的數(shù)據(jù)，一致得出“同等條件下，這三個(gè)角度中，斜坡與地面的夾角為45°時(shí)滾得最遠(yuǎn)”的結(jié)論。與此同時(shí)，學(xué)生憑借以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，心中自然會(huì)產(chǎn)生“這個(gè)結(jié)論是否具有普適性”的猜測。多數(shù)學(xué)生認(rèn)為還需要進(jìn)一步實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，少數(shù)學(xué)生則認(rèn)為無需進(jìn)一步驗(yàn)證。于是，筆者引導(dǎo)學(xué)生展開如下探究。

師：是不是所有角度中都是45°時(shí)滾得最遠(yuǎn)呢？

生1：是的。

生2：不一定。

師：為什么說不一定？

生2：因?yàn)槲覀冎粚θ齻€(gè)角度進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，這三個(gè)角度無法代表所有的情況。

生3：我也覺得不一定，還需要繼續(xù)實(shí)驗(yàn)來證明。

師：說得真好！同學(xué)們都是具有科學(xué)精神的孩子！我們是完成了一些實(shí)驗(yàn)，也獲得了結(jié)論，但這個(gè)結(jié)論只代表有限范圍內(nèi)的情況，這個(gè)結(jié)論可不一定具有一般性。按照大家的意思，我們得繼續(xù)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，你們接下來準(zhǔn)備對哪些角度進(jìn)行實(shí)驗(yàn)?zāi)兀?/p>

生1：我覺得還得對20°、70°這些比30°更小或比60°更大的角度進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，看看夾角為45°這個(gè)中間值時(shí)物體是不是真的滾得最遠(yuǎn)。

生2：我覺得要對35°、40°、50°、55°這些角度進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。45°在這些角度的中間，與它們離得更近，更有利于對比。

師：大家說得都很有道理！你們是想證明，角度從0°→45°時(shí)，滾動(dòng)距離是一個(gè)逐漸增加的過程；45°→90°時(shí)，滾動(dòng)距離是一個(gè)逐漸減少的過程。是這樣的意思嗎？

生：是的。

師：老師覺得，我們最應(yīng)該證明的是44°和46°時(shí)滾動(dòng)的距離都比45°時(shí)小，其余角度的驗(yàn)證則更多是“錦上添花”。你們認(rèn)為呢？

生：是的，我們哪怕證實(shí)了40°、50°時(shí)沒有45°時(shí)滾得遠(yuǎn)，也沒法證明45°滾得最遠(yuǎn)。萬一44°時(shí)滾得最遠(yuǎn)呢？

要證明同等條件下45°時(shí)滾得最遠(yuǎn)，44°和46°是必須實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的兩個(gè)角度，再配以其他一些角度的佐證，才能從極限思想的角度將其歸納為數(shù)學(xué)結(jié)論。事實(shí)證明，44°和46°這兩個(gè)角度是沒法從實(shí)驗(yàn)的角度佐證45°是滾得最遠(yuǎn)的。教師提供足夠豐富且具有代表性的樣本，能在不斷豐富學(xué)生學(xué)習(xí)體驗(yàn)的同時(shí)，讓他們感受到獲得結(jié)論的過程的科學(xué)性。

2.實(shí)踐+演繹：內(nèi)聚型抽象推理

每一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論的產(chǎn)生都離不開數(shù)學(xué)公理的演繹。正因如此，才有一代代數(shù)學(xué)家前赴后繼地去試圖揭開“哥德巴赫猜想”的神秘面紗，因?yàn)楦绲掳秃盏陌l(fā)現(xiàn)在被證明之前只能稱為“猜想”。教師必須明白這一點(diǎn)，這是實(shí)驗(yàn)結(jié)果轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)結(jié)論的必經(jīng)之路。

在實(shí)驗(yàn)過程中，教師不斷提醒學(xué)生要注意實(shí)驗(yàn)的規(guī)范性和科學(xué)性，不要受猜測的影響，不要為了證明而證明。

師：同學(xué)們，你們的實(shí)驗(yàn)有結(jié)果了嗎？

生：44°和46°太難做了！

師：什么意思？

生1：坡度為44°時(shí)滾出的距離有時(shí)比45°時(shí)滾得近，有時(shí)比45°時(shí)滾得遠(yuǎn)，哪怕算它們的平均數(shù)，好像也蠻難下結(jié)論的。

生2：46°也是這樣。

師：孩子們，通過這一輪實(shí)驗(yàn)，你們有什么想說的嗎？

生1：我想說，45°時(shí)物體滾得遠(yuǎn)是與30°、60°等角度比較得來的結(jié)果，但不能說明45°時(shí)是滾得最遠(yuǎn)的。

生2：我覺得，因?yàn)椴僮鬟^程中會(huì)產(chǎn)生誤差，的確很難比較。但我還是認(rèn)為45°時(shí)是滾得最遠(yuǎn)的。

師：孩子們，科學(xué)家通過構(gòu)建模型的方法，對這個(gè)問題進(jìn)行了研究……（學(xué)生對科學(xué)家的研究結(jié)果表示無法理解）

師：科學(xué)家的研究結(jié)果是在理想狀態(tài)下獲得的，與我們的實(shí)際操作有一定偏差。但科學(xué)家的研究結(jié)果也告訴我們，坡度為多少時(shí)物體滾得最遠(yuǎn)受到各方面因素的影響，我們千萬不能草率、武斷地說“45°時(shí)是滾得最遠(yuǎn)的”。在“怎樣滾得遠(yuǎn)”的實(shí)驗(yàn)研究過程中，大家思考能力、實(shí)踐能力的提高遠(yuǎn)比獲得一個(gè)確定的結(jié)論更有意義。在實(shí)際生活中，設(shè)計(jì)斜坡不能只考慮“滾得遠(yuǎn)”，還要考慮其他因素，如安全、美觀、材料的多少等。

學(xué)生運(yùn)用不完全歸納法進(jìn)行合情推理獲得結(jié)論的經(jīng)驗(yàn)比較豐富，他們會(huì)根據(jù)需求去設(shè)計(jì)接下來的實(shí)驗(yàn)。然而，這次實(shí)驗(yàn)要驗(yàn)證的猜測與以前都不同，以前的猜測往往都是單向變化，此次要驗(yàn)證的是雙向變化的極值問題，極值在什么角度出現(xiàn)都是一個(gè)難以確認(rèn)的問題，選擇具有代表性的角度開展實(shí)驗(yàn)非常重要。只有讓學(xué)生真正認(rèn)識(shí)到“45°時(shí)滾得最遠(yuǎn)”這個(gè)猜測本身就存在問題，才能使“45°時(shí)滾得最遠(yuǎn)”的結(jié)論不再成為他們的“信仰”，從而讓他們意識(shí)到本課學(xué)習(xí)的真正意義。

數(shù)學(xué)家高斯說過：“許多定理都是靠歸納法發(fā)現(xiàn)的，證明只是補(bǔ)行的手續(xù)。”這句話既強(qiáng)調(diào)歸納是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理的有效手段，也說明證明的必要性。從《怎樣滾得遠(yuǎn)》一課教學(xué)所產(chǎn)生的影響來看，片面追求結(jié)果的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)往往會(huì)對數(shù)學(xué)結(jié)論形成過程中的科學(xué)性有所忽視。總之，在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，教師要重視理論分析，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度理解數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，從而促進(jìn)他們逐步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界。