具有復發的SEILR謠言傳播模型的動力學分析

趙勇勝,侯 強,張 磊

(中北大學 理學院, 太原 030051)

0 引言

近年來,隨著互聯網和社交媒體的發展,謠言的傳播變得更加迅速和廣泛[1]。謠言常常伴隨著一些重要的事件出現,廣泛的傳播會給人們的生活帶來負面影響,如果不及時加以控制,可能會危害公共財產安全,引起社會動蕩,影響社會發展。例如,隨著新冠肺炎的爆發,諸如飛絮能加速新冠病毒的傳播、益生菌能防治新冠病毒、接種新冠疫苗導致婦女患上不孕癥等謠言被廣泛傳播,引起人們恐慌,影響社會穩定。因此研究謠言的傳播機制,減少謠言傳播帶來的負面影響是十分有必要的。

對于謠言傳播的研究,最早可以追溯到20世紀60年代,Daley等[2]提出了經典的DK謠言傳播模型,將人群分為3類:沒聽過謠言的人、積極傳播謠言的人和不再傳播謠言的人。后來,Maki等[3]進一步將DK模型改進為MK模型,他們假設傳播者與傳播者接觸后,會停止傳播謠言。在此基礎上,許多學者對謠言傳播模型進行了更深入的研究,得到了一些有價值的結論[4-8]。Dong等[9]研究了在社交網絡上具有不同總人口規模的SEIR謠言傳播模型,基于現實世界中的Facebook社交媒體軟件,對在線用戶進行仿真實驗,結果表明,隨著用戶總數的變化,SEIR謠言傳播模型可以準確反映謠言在Facebook軟件中的傳播特征。Wang等[10]研究了在多語言環境下具有交叉傳播機制的謠言傳播模型,在多語言環境下提出了一種新的SIR謠言傳播模型并研究了模型的全局動力學特征。Xia等[11]在文獻[10]的基礎上,建立了在多語言環境下具有一般非線性傳播率的謠言傳播模型,并研究了非線性傳播率對模型全局動力學的影響。Yao等[12]研究了復發機制對謠言傳播的影響,復發是指傳播謠言的人發現謠言是捏造的時,他們會暫時停止傳播成為潛伏者,在遇到一些事件后可能會再次傳播謠言。但Yao等沒有考慮謠言傳播者對暫時潛伏者的影響,在他們研究的基礎上,考慮潛伏者被傳播者影響而再次傳播謠言這一因素,進一步研究復發機制對謠言傳播動力學的影響。

1 模型的建立

這里將參與謠言傳播的全體分為5個倉室:易感者S(t)表示從未聽說過謠言,但易受謠言影響的人;猶豫者E(t)表示知道謠言后猶豫是否傳播的人;傳播者I(t)表示積極傳播謠言的人;潛伏者L(t)表示由于某些因素目前停止傳播謠言但可能再次傳播謠言的人;恢復者R(t)表示知道謠言但不感興趣的人。在媒介因素導致謠言復發的基礎上,考慮暫時潛伏者與傳播者的接觸再傳播,建立如下模型:

(1)

其中:A表示易感者的輸入率;β表示易感者與傳播者接觸后轉化為猶豫者的接觸傳播率;μ表示自然衰減率;σ表示猶豫者到傳播者的轉移率;φ1表示猶豫者到恢復者的轉移率;δ表示傳播者到潛伏者的轉移率;θ表示潛伏者和傳播者接觸后轉化為傳播者的接觸傳播率;γ表示潛伏者到傳播者的轉移率;φ2表示潛伏者到恢復者的轉移率。模型中所有的變量是非負的,參數是正的。

由于模型(1)的前4個方程與R不直接相關,因此只需考慮模型的前4個方程,即模型(1)可化簡為:

(2)

2 基本再生數和無謠言平衡點的穩定性

定理1若R0<1,則模型(2)的無謠言平衡點E0局部漸近穩定;若R0>1,則E0不穩定。

定理1的證明可參考文獻[12],在此省略此定理的證明。

證明這里容易驗證R1>R0。

構造一個Lyapunov函數:

計算V(t)沿著模型(2)解的全導數,得到

3 正平衡點的存在性和后向分支

設正(謠言盛行)平衡點E*=(S*,E*,I*,L*),則E*滿足

(3)

通過計算得

且I*滿足

f(I*) =B0I*2+B1I*+B2=0

(4)

其中

B0=-βμθ(μ+φ1+σ)<0

B1=Aβσθ+(μ+φ1+σ)(θδμ-γδβ)-

(δ+μ)(μ+φ1+σ)(μθ+βγ+βμ+βφ2)

B2=(R0-1)μ(μ+φ1+σ)·

(δφ2+δμ+μγ+μφ2+μ2)

通過分析,有下面定理:

定理31) 當R0>1時,模型(2)有一個正平衡點;

2) 當R0=1時:(i)當B1≤0時,模型(2)沒有正平衡點;(ii)當B1>0時,模型(2)有一個正平衡點;

由定理3可知,當R0<1時,模型(2)可能存在正平衡點。這意味著,模型可能發生后向分支。下面應用文獻[15]中的方法,分析后向分支的存在性。

證明選擇β=β*作為分支參數,當R0=1時,有

定義S=x1,E=x2,I=x3,L=x4。模型(2)變為:

模型在無謠言平衡點的雅可比矩陣為:

J(E0,β*)=

特征方程為:

λ(λ+μ)(λ2+b1λ+b2)=0

(5)

其中

b1=σ+φ1+μ+δ+μ+γ+φ2+μ>0

b2=(σ+φ1+μ)(γ+φ2+μ)+

(δφ2+δμ+μγ+μφ2+μ2)>0

式(5)中λ1=-μ,λ2=0。λ3和λ4滿足λ3λ4>0,λ3+λ4<0,即λ3、λ4均小于0。

零特征根對應的右特征向量為w=(w1,w2,w3,w4)Τ,其中

零特征根對應的左特征向量v=(v1,v2,v3,v4),其中

計算f2、f3、f4在(E0,β*)處的各項偏導數,結果為:

其余偏導數都為零,由此可得

2(v2w1w3β*+v3w3w4θ+v4w3w4(-θ))=

4 退化模型正平衡點的全局漸近穩定性

當θ=0時,根據文獻[12]可知,當R0>1時,模型存在唯一的正平衡點,且是局部漸近穩定的,但文獻[12]沒有給出全局漸近穩定性的證明。在此,給出正平衡點全局漸近穩定性的證明。

定理5當R0>1且θ=0時,模型(2)的正平衡點是全局漸近穩定的。

計算J1(t)、J2(t)、J3(t)沿著模型(2)解的全導數,得到

構造Lyapunov函數V1(t)=J1(t)+J2(t)+J3(t),計算V1(t)沿著模型(2)解的全導數,得到

5 數值模擬

本節通過數值模擬觀察隨著基本再生數R0的變化,模型動力學性態的變化情況。取參數值為A=0.6,μ=0.032,σ=0.5,δ=2.2,θ=0.4,φ1=0.02,φ2=0.05,γ=0.1。此時R*=1.131,由圖1可以看出,模型發生后向分支,當R0<1時,模型可能存在2個正平衡點,并且出現一個Hopf分支點。當R0≥1時,模型存在唯一的正平衡點。取參數A=0.52,此時R*=0.98,由圖2可以看出,模型發生前向分支。

圖1 當R*>1時,變量I隨R0變化的分支圖

圖2 當R*<1時,變量I隨R0變化的分支圖

下面分析Hopf分支和極限環的存在性,由圖3可以看出,模型會出現退化的Hopf分支GH點和B-T分支點,其中GH點的第二Lyapunov系數為6.733 590 1×106,因此正平衡點附近會出現2個極限環,其中大極限環不穩定,小極限環穩定。

圖3 余維2分支圖

6 結論

基于謠言傳播的特點,考慮人際因素導致謠言復發這一因素,建立SEILR謠言傳播模型來研究人際因素對謠言傳播的影響。首先,通過下一代生成矩陣的方法,計算了基本再生數R0,得到了無謠言平衡點的局部漸近穩定性。其次,討論了正平衡點的存在情況,給出了后向分支存在的參數條件。然后,證明了當θ=0時,模型正平衡點的全局漸近穩定性,對文獻[12]中正平衡點的全局漸近穩定性證明給予補充。最后,通過數值模擬發現模型會發生退化的Hopf分支,在正平衡點附近存在2個極限環,其中,大極限環不穩定,小極限環穩定。研究結果表明人際因素導致謠言復發這一因素會改變謠言傳播的動力學性態。