具有聯(lián)盟結構的Banzhaf值

單而芳, 呂文蓉, 史紀磊,2

(1.上海大學 管理學院,上海 200444; 2.寧波財經學院 基礎學院,浙江 寧波 315175)

0 引言

效用可轉移合作對策[1](簡稱TU-對策)是描述參與者通過聯(lián)盟進行合作并產生收益的一種基本模型。該模型假設任何有限參與者的集合均能形成可行聯(lián)盟進行合作。在這個基本假設下,SHAPLEY[2]提出了如何公平合理地分配合作利益的分配規(guī)則,也就是著名的Shapley值。Shapley值的主要思想是利用公理化方法,根據(jù)參與者對聯(lián)盟的邊際貢獻來決定利益的分配。此外,BANZHAF[3]依據(jù)投票對策的背景,提出了合作對策中另一個重要的分配規(guī)則—Banzhaf值。之后,OWEN將Banzhaf值推廣到一般合作對策中[4]。與Shapley值相比,Banzhaf值也是考慮每個參與者對所有聯(lián)盟邊際貢獻的期望值來決定對這個參與者的支付。不過,這兩個值所考慮的參與者加入每個聯(lián)盟的可能性(概率)是不同的,Banzhaf值假定參與者加入任何規(guī)模的聯(lián)盟的可能性是一樣的,而Shapley值僅假定參與者加入任何相同規(guī)模的聯(lián)盟的可能性是相同的。

然而,在實際中,參與者之間為了達到某種目的可能會結成所謂的優(yōu)先聯(lián)盟。1974年,AUMANN和DRéZE首先研究了具有聯(lián)盟結構的TU-對策模型[5],每個聯(lián)盟結構定義為大聯(lián)盟的一個劃分,劃分中的每個子集稱為一個優(yōu)先聯(lián)盟。而后,OWEN[6]假設任何優(yōu)先聯(lián)盟既可以與其他優(yōu)先聯(lián)盟也可以與其他優(yōu)先聯(lián)盟中的部分參與者形成更大的聯(lián)盟進行合作。以此為前提并借助Shapley值,提出了相應的分配規(guī)則—Owen值。 Owen值是首先將每個優(yōu)先聯(lián)盟作為參與者進行Shapley值分配,然后再在每個優(yōu)先聯(lián)盟內利用Shapley值進行二次分配。Owen值最吸引人的性質之一是它的商對稱性,該性質要求在商對策中扮演對稱角色的兩個聯(lián)盟其獲得的收益是相同的。在這一假設下,OWEN[7]進一步討論了具有聯(lián)盟結構的TU-對策的Banzhaf值,并提出了Banzhaf-Owen值。2009年,KAMIJO[8]考慮了不同于Owen假設的情況,他假設每個優(yōu)先聯(lián)盟的參與者只能作為整體與其他優(yōu)先聯(lián)盟形成更大的聯(lián)盟進行合作。在此假設下,借助Shapley值,提出了該假設下TU-對策的一種新的分配規(guī)則,稱為Ka值。為加以區(qū)別,他將基于Owen假設下的分配規(guī)則統(tǒng)稱為聯(lián)盟值,而該假設下的分配規(guī)則統(tǒng)稱為集體值[9]。關于Banzhaf值和具有優(yōu)先聯(lián)盟結構的其他研究可以參看文獻10～14。

在實際中,經常需要考慮KAMIJO假設下的集體值。例如,某公司舉行股東大會進行決策,由于各個股東的持股數(shù)不同,對應的投票權力也不一樣。一些理念一致或者相近的股東為了達到某種目的會組成所謂的優(yōu)先聯(lián)盟。由此形成的優(yōu)先聯(lián)盟都作為整體來參與決策,以更多股數(shù)的優(yōu)勢提高在決策或談判中的議價能力來獲取更多的收益,然后再在優(yōu)先聯(lián)盟內部分配既得利益。此時可以考慮利用集體值來估計各個股東的權力指數(shù)。為了更好估計這類問題中不同參與者的權力指數(shù),作為起源于投票對策的Banzhaf值,定義KAMIJO假設下的Banzhaf值是十分必要的。本文的目的是在KAMIJO假設下提出具有聯(lián)盟結構TU-對策的Banzhaf值,并給出它的公理化刻畫。

本文的下一節(jié)將給出TU-對策的一些基本定義和記號。第三節(jié)提出具有聯(lián)盟結構的Banzhaf值的表示式,并進行公理化刻畫。第四節(jié)以某公司股東大會決策為例,討論了具有聯(lián)盟結構的Banzhaf值的應用,并與Banzhaf-Owen值、對稱聯(lián)盟Banzhaf值等做了比較分析。最后,總結了本文所做的工作。

1 預備知識

1.1 TU-對策

效用可轉移合作對策可由二元組(N,v)表示,其中N={1,2,…,n}表示參與者的集合,v是定義在2N→R上的一個映射,稱為特征函數(shù),且規(guī)定v(?)=0。N被稱為大聯(lián)盟,N的每個非空子集S被稱為一個聯(lián)盟,而v(S)表示聯(lián)盟S中成員進行合作所獲得的效用。記所有N上的TU-對策集合為VN。為方便起見,通常將v({i,j,…,k})簡記為v(i,j,…,k),相應的也將S∪{i}和N{i}分別簡記為S∪i和Ni。

另一個被廣泛應用的單值解是Banzhaf值Ba(N,v),它起源于投票對策,其定義為:

1.2 具有聯(lián)盟結構的TU-對策

三元組(N,v,C)表示具有聯(lián)盟結構的TU-對策,其中(N,v)表示TU-對策,(N,C)表示聯(lián)盟結構。記所有具有聯(lián)盟結構的TU-對策集合為U(N)。對于任意(N,v,C)∈U(N),且C={Cr|r∈M={1,2,…,m}},其商博弈定義為(M,vC),其中M是參與者集,且對任意的R?M,有vC(R)=v(∪r∈RCr)。

若對任意(N,v,C)∈U(N)都有唯一的支付向量f(N,v,C),則稱f為具有聯(lián)盟結構的TU-對策的一個解或者值。

對任意(N,v,C)∈U(N),Owen值Φ定義為:

[v(Q∪S∪i)-v(Q∪S)]

(2)

其中i∈Ch∈C,Q=∪r∈RCr。

Banzhaf-Owen值Ψ以及對稱聯(lián)盟Banzhaf值分別定義為:

(v(Q∪T∪i)-v(Q∪T))

(3)

(v(Q∪T∪i)-v(Q∪T))

(4)

其中Q=∪r∈RCr。

KAMIJO[8]假設只有完整優(yōu)先聯(lián)盟之間才能進行充分合作而產生聯(lián)盟效用。具體地,對于任意的S?Ck∈C和Cs∈C,且k≠s,優(yōu)先聯(lián)盟Ck與Cs中所有成員參與合作時,可獲得收益v(Ck∪Cs);而當S與Cs合作時,僅能獲得收益和v(S)+v(Cs)。在這個基礎之上,對任意的分割C={Cr|r∈M={1,2,…,m}},以及任意的聯(lián)盟S?N且S≠?,KAMIJO定義S/C={∪{r∈M|S∩Cr=Cr}Cr}∪{S∪Cr|S∪Cr≠Cr,r∈M}。對任意的(N,v,C)∈U(N),由聯(lián)盟結構C導出的分割限制對策(N,v|C)的特征函數(shù)定義為:對任意的S?N,

(5)

對任意的(N,v,C)∈U(N),Ka值定義為:Ka(N,v,C)=Sh(N,v|C)。

2 具有聯(lián)盟結構的Banzhaf值及其公理化刻畫

2.1 具有聯(lián)盟結構的Banzhaf值

根據(jù)上述理論, 結合式(1)和式(5),本文定義一種新的具有聯(lián)盟結構的Banzhaf值,簡稱為C-Banzhaf值。

定義1(C-Banzhaf值) 對于任意的(N,v,C)∈U(N),C-Banzhaf值ξ可定義如下:對任意的i∈N,

ξi(N,v,C):=Bai(N,v|C)

(6)

2.2 C-Banzhaf值的公理化刻畫

分割內合并性(Pairwise Merging of Partition)。對任意的(N,v,C)∈U(N),i,j∈Ck∈C,f∈Rn,若分配規(guī)則滿足

fi(N,v,C)+fj(N,v,C)=fp(Nij,vij,Cij)

則稱f具有分割內合并性,其中具有聯(lián)盟結構的對策(Nij,vij,Cij)定義為:參與者集合Nij是指用p代替參與者i,j,即:Nij=(N{i,j})∪{p};聯(lián)盟結構Cij定義為:若i,j∈Ck,令Ck′=(Ck{i,j})∪{p},則Cij=(CCk)∪Ck′。

對任意的T?Nij,

這個性質是指:同屬一個優(yōu)先聯(lián)盟內的任意兩個參與者合并后的收益,與這兩個參與者的收益之和相等。與Banzhaf值的2-有效性不同之處在于2-有效性一次合并僅能發(fā)生在一對參與者之間,而聯(lián)盟結構使得不同優(yōu)先聯(lián)盟內的合并互不干擾,即:當任意k∈M,都有|Ck|≥2時,一次合并最多可發(fā)生在m對參與者之間。

例1考慮具有聯(lián)盟結構的對策(N,v,C)∈U(N),其中參與者集合為n={1,2,…,6},聯(lián)盟結構為C={{1},{2,4},{3,5,6}},收益為1時的最小聯(lián)盟為:{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3,4,5,6}。

根據(jù)式和式可計算得:ξ1(N,v,C)=10/25,ξ2(N,v,C)=ξ4(N,v,C)=8/25,ξ3(N,v,C)=ξ5(N,v,C)=ξ6(N,v,C)=4/25。現(xiàn)同時合并2,4為p1,合并3,5為p2,可得新聯(lián)盟結構C′為:C′={{1},{p1},{p2,6}},同理可計算得:ξp1(N,v,C)=1/2=ξ2(N,v,C)+ξ4(N,v,C),ξp2(N,v,C)=1/4=ξ3(N,v,C)+ξ5(N,v,C)。顯然,不同優(yōu)先聯(lián)盟內合并互不干擾。且對于該對策,一個合并最多可發(fā)生在兩對參與者之間。

為了給出C-Banzhaf值ξ的公理化刻畫,我們引入下列新的性質。

這個性質是指:對由單獨參與者或者兩個參與者形成的優(yōu)先聯(lián)盟,給其中參與者的支付等于這個參與者獨自的效用加上分割限制對策下該參與者所在優(yōu)先聯(lián)盟對其他所有普通聯(lián)盟的邊際貢獻再減去優(yōu)先聯(lián)盟中參與者的效用和的期望值。特別地,當大聯(lián)盟N={i}時,則有fi(N,v,C)=v(i)。而當大聯(lián)盟N={i1,i2}并且優(yōu)先聯(lián)盟為C={N}時,則有fi1(N,v,C)=v(i1)+1/2[v(i1,i2)-v(i1)-v(i2)]和fi2(N,v,C)=v(i2)+1/2[v(i1,i2)-v(i1)-v(i2)]。

接下來給出本文的主要結論。

引理1對任意的(N,v,C)∈U(N),C-Banzhaf值ξ(N,v,C)滿足標準性。

定理1對任意的(N,v,C)∈U(N),C-Banzhaf值ξ(N,v,C)可由分割內合并性和標準性所唯一確定。

3 應用算例

股東大會是股份公司的最高權力機關,它由全體股東組成,對公司重大事項進行決策,有權選任和解除董事,并對公司的經營管理有廣泛的決定權。本節(jié)以某公司舉行股東大會進行決策為背景,利用C-Banzhaf值給出各個股東的權力指數(shù),并與其他指數(shù)進行對比分析。

例2假設某公司的股東及各股東的持股數(shù)情況如下:A股東28股,B股東16 股,C股東5股,D股東4股,E股東3股以及F股東3股。當支持某候選董事的股數(shù)大于等于30時該董事的任選,且各股東間存在的優(yōu)先聯(lián)盟情況為:C={{A},{B,D,F},{C,E}}?，F(xiàn)將該公司舉行股東大會推選董事的過程抽象為一具有聯(lián)盟結構的TU-對策作如下分析。

我們可以把上述問題歸結為如下的合作對策(N,v)模型:N表示所有股東的集合,而特征函數(shù)v的取值為0或者1。在對策論中,把此類對策被稱為簡單對策。在簡單對策中,若v(S)=1,則稱聯(lián)盟S為獲勝聯(lián)盟;否則為S失敗聯(lián)盟。若一個獲勝聯(lián)盟的所有真子集都是失敗的,則稱該獲勝聯(lián)盟為極小獲勝聯(lián)盟。簡單對策常用于投票選舉中。在簡單對策中各類值均可視為一種權力指數(shù),用來度量聯(lián)盟內各成員的權力。

由假設可知,在該公司推選董事的過程中,極小獲勝聯(lián)盟為:{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C,D,E,F}。根據(jù)式(1)和式(6),計算可得C-Banzhaf值ξ如表1所示,表中同樣列出了由式(2)、式(3)和式(4)分別計算得到的Owen值(φ)、Banzhaf-Owen值ψ以及對稱聯(lián)盟Banzhaf值Π。

表1 各值計算結果

從表格數(shù)據(jù)可已發(fā)現(xiàn),Owen值與對稱聯(lián)盟Banzhaf值在三個優(yōu)先聯(lián)盟間的分配之和是相等的,這表明三個優(yōu)先聯(lián)盟在決定哪個候選董事任選的過程中,發(fā)揮的作用是相同的事實上,三個優(yōu)先聯(lián)盟發(fā)揮的作用是不對稱的。就A股東所在的優(yōu)先聯(lián)盟而言,該優(yōu)先聯(lián)盟只含A股東,但擁有的股數(shù)卻比其他任何一個優(yōu)先聯(lián)盟中所有股東的股數(shù)之和還要多。所以,該優(yōu)先聯(lián)盟在決定候選董事的過程中發(fā)揮的作用遠大于其他優(yōu)先聯(lián)盟。因而,使用Banzhaf-Owen值或C-Banzhaf值分配更具有現(xiàn)實意義。而對于這兩個值的選擇,則需考慮決策聯(lián)盟中是否存在不可分割的利益共同體以及優(yōu)先聯(lián)盟的風險意識。若優(yōu)先聯(lián)盟更傾向于保守選擇,確保自己有利可得,則優(yōu)先考慮使用Banzhaf-Owen值;相反,若優(yōu)先聯(lián)盟更傾向于以自身強大的議價能力謀求更多的利益,則可優(yōu)先考慮使用C-Banzhaf值。

4 結論

首先,本文定義了一種新的具有聯(lián)盟結構的Banzhaf值(C-Banzhaf值),并通過分割內合并性和標準性給出了C-Banzhaf值的唯一性刻畫,完善了Banzhaf值的相關理論。其次,本文考慮擁有投票權的群體中,可能存在不同性質的優(yōu)先聯(lián)盟結構,討論了C-Banzhaf值的應用,并對比分析了C-Banzhaf值的適用范圍。事實上,股東之間的合作行為不僅受其優(yōu)先聯(lián)盟結構的影響,有時還會受股東之間通訊的影響,這會產生網絡(圖)結構。因此可以進一步研究C-Banzhaf值在圖結構下的形式和相關的公理性刻畫。

致謝: 衷心感謝評審人和分區(qū)主編提出的寶貴建議。