對稱群[S4]的特征標行列式的計算

晉珺

【摘? ?要】? ?特征標的行列式是有限群特征標理論中的一個重要概念。利用對稱群[S4]的特征標表和特征標的性質，計算[S4]的不可約特征標的行列式，進一步得到[S4]的任意特征標行列式的計算公式。

【關鍵詞】? ?特征標；特征標表；特征標的行列式；相似矩陣

Calculation about Determinant of Characters of Symmetric Group [S4]

Jin Jun

（JinZhong University， Jinzhong 030619， China）

【Abstract】? ? Determinant of character is an important definition in character theory of finite groups. Using the character table of[S4]and properties of character， the determinant of the irreducible characters of[S4]is obtained， then the calculation formula of the determinant of any character of[S4]is given .

【Key words】? ? ?character; character table; determinant of character; similar matrices

〔中圖分類號〕? O152.6? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 〔文獻標識碼〕? A ? ? ? ? ? ? ?〔文章編號〕 1674 - 3229（2023）01- 0005 - 03

0? ? ?引言

設[G]為有限群，[?]為復數域，則一個從[G]到一般線性群[GL（n，?）]的同態[X]稱為[G]的一個復表示，其中[n]為自然數。對任意的[g∈G]，[χg=trXg]定義了從[G]到[?]的一個函數[χ]，稱之為[G]的由表示[X]提供的復特征標［1］，并且[χ]為群[G]上的類函數，即[χ]在[G]的同一個共軛類中的元素的取值都相等。顯然，[χ（1）=n]，稱為特征標[χ]的次數，其中[1]為[G]的單位元。而一個特征標稱為不可約的，如果它由不可約模提供。群[G]的所有不可約特征標的全體記為[Irr（G）]，并且群[G]的任意一個特征標[χ]可表示為[G]的所有不可約特征標的不全為零的非負整系數的線性組合。

當[χ（1）=1]時，[χ]稱為群[G]的一個線性特征標。顯然，線性特征標都是不可約的，而且群[G]的所有線性特征標在復函數乘法下構成一個群，稱為[G]的線性特征標群，記為[Lin（G）]。設群[G]的特征標[χ]由表示[X]提供的，令[detχg=detXg]，則[detχ]為[G]的線性特征標，稱之為特征標[χ]的行列式，而[detχ]在群[Lin（G）]中的階稱為特征標[χ]的階。特征標的行列式及其階在特征標的[π]-理論中有著重要的應用，1979年Gajendragadkar利用[χ]的次數和行列式的階定義了[π]-可分群上的[π]-特殊的特征標［2］，隨后的幾十年間Isaacs在[π]-特殊的特征標的基礎上逐步建立了特征標的[π]-理論［3-6］，該理論相關的一些問題已成為目前有限群表示論的熱門課題。例如類似于Isaacs的特征標[π]-理論中的次正規原核和[Bπ]-特征標，Lewis根據正規列構造了新的原核［7］，并給出了該原核的應用［8-9］；Grittini使用原核技術研究了[p]-長度問題［10］；Rizo借助[Bπ]-特征標探討了McKay對應的整除性問題［11］；不可約特征標的頂點問題可參考文獻［12］。

本文利用[S4]的特征標表和特征標的相關知識計算[S4]的任意特征標的行列式。涉及到的矩陣和群論的內容可參考相關文獻［13-16］，特征標的相關術語和符號，可參考Isaacs著作［1］。

3? ? ?結語

在有限群的特征標理論中，特征標的行列式是一個比較抽象的概念。 本文以最常用的群[S4]為例，通過計算不可約特征標對應表示在每個共軛類代表元的相似矩陣，從而得到相應不可約特征標的行列式，最終給出[S4]的任意特征標的行列式的計算公式。 整個計算過程對更好地理解和掌握特征標的行列式的定義和性質有重要的指導作用。 特征標的行列式在Brauer特征標和Isaacs的[π]-特征標理論中有廣泛的應用，本文研究結果對于特征標理論的學習和研究起到了夯實基礎的積極作用。

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