絕對值的化簡求值問題的幾種類型及解法解析

聶玉成

絕對值在化簡求值問題、解方程或不等式問題中都會涉及.解答含絕對值問題的關鍵就在于去掉絕對值符號.一般遵循的原則是：先判斷絕對值符號中式子的正負，再根據法則去掉絕對值符號.單個絕對值的問題一般比較簡單，但是有的題目會同時出現多個絕對值或多重絕對值，這樣就使題目變得復雜了.下面介紹幾類有關絕對值的化簡求值問題，供大家參考.

一、含單個絕對值問題

一個題目中只含有一個絕對值是最基礎的題目，此時只需考慮去絕對值符號的條件，即對于任意數|a|：（1）當a>0時，|a|=a；（2）當a= 0時|a|=0；（3）當a<0時；|a|=-a.同學們在解題時應根據題設條件或挖掘隱含條件，確定絕對值符號里代數式的正負.若題目對含絕對值代數式的字母沒有限制條件，須運用分類討論的方法來解答.

例1若|x|=3，|y|=2，且|x-y|=y-x，求x+y的值.

分析：此題中| x |=3，可知x =±3；| y |=2可知y =±2 .由題中| x-y |= y-x可知y≥x .由此可以推斷，當y = 2時，x可以為±3，此時x+y =-1或5；當y = -2時，x只能為-3，此時x+y =-5.最后綜合所有情況即可得解.

解：∵| x |=3，∴x =±3；

同理可得y =±2，

∵| x-y |= y-x，

∴y≥x，

①當y =2時，x =-3，

x+y =-1.

②當y =-2時，x =-3，

則x+y =-5.

綜合①②得x+y的值可能是-1、-5.

評注：求解此題是利用| x-y |≥0挖掘了隱含條件y≥x，然后確定x和y的可能值，簡化了分類討論的種類.同學們在求解過程中一定要仔細觀察，充分挖掘題目中的隱含條件.

二、含多個絕對值問題

有些含有絕對值的題目中往往不止一個含絕對值的代數式，可能是兩個、三個甚至是更多個含絕對值的代數式，通過“+”“-”“×”“÷”等運算符號連接.此時，去絕對值符號就需要先找出每個絕對值的零點值，再把全體實數分段，然后在每一實數段中化去絕對值符號，最后分類討論去絕對值的結果.

例2化簡：| 3x +1|+| 2x-1|.

三、含多重絕對值問題

有些較為復雜的問題中含有多重絕對值符號，即絕對值符號中還有絕對值符號，我們稱這種形式為多重絕對值.在求解多重絕對值問題時，需要依據“由內而外”的順序逐一去絕對值符號，逐步減少絕對值的嵌套層數，來解答問題.

例3已知x<-3，化簡：|3+|2-|1+ x |||.

分析：這是一個含有多重絕對值符號的問題，在求解時需要根據“由內而外”的原則逐層去絕對值.首先根據x的范圍判斷出1+x< 0，所以最里層絕對值|1+ x |= -（1+ x）.第二層|2-|1+ x||可以轉化為|2-[-（1+ x）]|=|3+ x|因為x<-3，所以3+ x< 0，即|2-|1+ x ||=-（3+ x）.最外層|3+|2-|1+ x |||可轉化為|3+[-（3+ x）]|=|- x |.這樣根據x的取值范圍一步步利用絕對值的代數意義即可化簡.

解：①最內層：

∵x<-3，∴1+ x<- 2 < 0，

∴|1+ x |= -（1+ x），

②第二層：

|2-|1+x||=|2-[-（1+x）]|=|2+（1+x）|=|3+x|，

∵x<-3，

∴3+ x< 0，

∴|3+ x|=-（3+ x），

∴|2-|1+ x||=-（3+ x），

③最外層：

|3+|2-|1+ x |||=|3+[ -（3+ x）]|=| -x |，

∵x<-3，∴-x >3>0，

∴| -x |= -x，

∴|3+|2-|1+ x |||= -x，

綜合①②③可得|3+|2-|1+ x |||化簡后為-x .

評注：此題數值比較簡單，但含有多重絕對值符號.在去絕對值符號時要由內而外逐層將3個層次的絕對值符號內部的數或式同“0”作比較，大于等于“0”的直接去絕對值；小于“0”的一定要添加“-”.

絕對值是中學數學中的一個重要概念常與其他知識結合起來考查.同學們只要牢牢掌握去絕對值的基本方法，結合“由內而外”的運算順序和“分類討論”的思想方法，解題就會變得非常容易.