有關(guān)平面直角坐標系的知識點及考點歸納

顧建明

坐標系與其它數(shù)學(xué)知識存在不可分割的聯(lián)系.許多知識在平面直角坐標系中進行研究會更加直觀易懂.所以只有牢固掌握了與直角坐標系有關(guān)的知識點與考點，才能更好地學(xué)習(xí)一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)等相關(guān)知識.

一、平面直角坐標系相關(guān)知識點歸納

1.平面直角坐標系的定義：在平面內(nèi)畫兩條互相垂直、原點重合的數(shù)軸，就組成平面直角坐標系.水平的數(shù)軸稱為x軸或橫軸，豎直的數(shù)軸稱為y軸或縱軸，兩坐標軸的交點為平面直角坐標系的原點.

2.各個象限內(nèi)點的特征：右上為第一象限、左上為第二象限、左下為第三象限、右下為第四象限.坐標在四個象限的特點：點P （ x，y）在第一象限則x>0，y>0；在第二象限則x<0，y>0；在第三象限則x<0，y<0；在第四象限則x>0，y<0.

4.點的對稱：點P（ m，n），關(guān)于x軸的對稱點坐標是（ m，-n），關(guān)于y軸的對稱點坐標是（-m，n），關(guān)于原點的對稱點坐標是（-m，-n）.

5.平行線：平行于x軸的直線上的點的特征：縱坐標相等，如直線PQ，P（m，n）Q （p，n）；平行于y軸的直線上的點的特征：橫坐標相等，如直線PQ、P（m，n）、Q（m，p）.

6.象限角的平分線：第一、三象限角平分線上的點橫、縱坐標相等，可記作：P（m，m）；點P （ a，b ）關(guān)于第一、三象限坐標軸夾角平分線的對稱點坐標是（ b，a ）；第二、四象限角平分線上的點橫縱坐標互為相反數(shù)，可記作： P（m，-m）；點P （ a，b ）關(guān)于第二、四象限坐標軸夾角平分線的對稱點坐標是（- b，- a ）.

7.點的平移：在平面直角坐標系中，將點（ x，y）向右平移a個單位長度，可以得到對應(yīng)點（x + a，y）；向左平移a個單位長度，可以得到對應(yīng)點（x-a，y）；向上平移b個單位長度，可以得到對應(yīng)點（x，y+b）；向下平移b個單位長度，可以得到對應(yīng)點（x，y-b）.

二、平面直角坐標系相關(guān)考點歸納

1.求坐標

求點的坐標的方法是過這個點向x軸作垂線，則垂足對應(yīng)的數(shù)就是該點的橫坐標；過這個點向y軸作垂線，則垂足對應(yīng)的數(shù)就是該點的縱坐標.確定了一個點的橫坐標和縱坐標，就知道這個點的坐標.

例1如圖1，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（3，4），將OA繞坐標原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°至OA′，則點A′的坐標是.

例2在平面直角坐標系中，A（-5，0），B（3，0），點C在y軸上，△ABC的面積為12，求點C的坐標.

解：∵點A（-5，0），B（3，0），都在x軸上，

∴AB=8.

∵△ABC的面積為12，點C在y軸上，

解得OC=3，

若點C在y軸的正半軸上，則點C的坐標為（0，3），若點C在y軸的負半軸上，則點C的坐標為（0，-3），

綜上所述，點C的坐標為（0，3）或（0，-3）.

2.求象限

在平面直角坐標系中，各象限內(nèi)點的符號特點是：第一象限內(nèi)的點，橫坐標和縱坐標都為正；第二象限內(nèi)點的橫坐標為負，縱坐標為正；第三象限內(nèi)點的橫坐標和縱坐標都為負；第四象限內(nèi)點的橫坐標為正，縱坐標為負.確定了點橫坐標及縱坐標的正負，就確定了象限.

例3若點M（x，y）滿足（x+y）2= x2+ y2-2，則點M所在象限是（）.

A.第一象限或第三象限

B.第二象限或第四象限

C.第一象限或第二象限

D.不能確定

解：∵（x+y）2= x2+ y2+2xy，

∴原式可化為xy=-1，

∴x、y異號，

∴點M（x，y）在第二象限或第四象限.

故選B項.

故選B項.

3.求面積

當(dāng)三角形有一邊在x軸上時，則以x軸上的邊為底邊，其長等于x軸上兩個頂點橫坐標差的絕對值，此邊上的高就等于另一個頂點縱坐標的絕對值；當(dāng)三角形的一邊在y軸上時，則以y軸上的邊為底邊，其長等于y軸上兩個頂點縱坐標差的絕對值，此邊上的高就等于另一個頂點橫坐標的絕對值.確定了三角形的底邊和高就能求出面積.

例5如圖3，△ABC的三個頂點坐標分別是A（2，4），B（-2，0），C（3，0），求△ABC的面積.

解：過A作AD⊥x軸，垂足為D，

∵A的坐標是（2，4），

∴AD=4，

例6如圖4，平面直角坐標系中，已知點A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），求三角形ABC的面積.

分析：由于三邊均不平行于坐標軸，所以我們無法直接求邊長，也無法求高，因此得另想辦法.根據(jù)平面直角坐標系的特點，可以將三角形圍在一個梯形或長方形中，這個梯形（長方形）的上下底（長）與其中一個坐標軸平行，高（寬）與另一個坐標軸平行.這樣，梯形（長方形）的面積就容易求出，然后再減去圍在梯形（長方形）內(nèi)邊緣部分的直角三角形的面積，即可求得原三角形的面積.

解：如圖5，過點A、C分別作平行于y軸的直線，與過點B平行于x軸的直線交于點D、E，則四邊形ADEC為梯形.