談談?chuàng)Q元法在解題中的妙用

林正坤

在解答比較復雜的代數(shù)問題時，我們通常會采用換元法來幫助我們理清題目中的數(shù)量關系，使問題化難為易、化繁為簡，然后順利獲解.運用換元法解題首先要根據(jù)問題的特征或數(shù)量關系引進新的輔助元來替換原問題中的數(shù)、字母、式子等，然后求出新元的值，再將求得的值帶回所設的換元式，帶入替換關系中，求出原來的未知量或變量，最后對解出的答案進行檢驗.本文主要介紹換元法在因式分解、解方程以及整式運算中的應用.

一、換元法在因式分解中的妙用

當我們在進行因式分解時，如果一個多項式的項數(shù)、字母較多，次數(shù)較高或含有代數(shù)式乘積的項時，可對多項式中某些相同的部分設輔助元進行代換，讓整個題干的因式項數(shù)減少或因數(shù)次數(shù)降低，從而方便解題.

評注：用換元法分解因式時，不必將原式中的元都用新元代換，根據(jù)題目需要，引入必要的新元，原式中的變元和新的變元可以一起變形.換元法的本質(zhì)就是簡化多項式.

二、換元法在解方程中的妙用

當我們遇到分式方程、無理方程、高次方程等直接求解比較困難的方程問題時，可考慮運用換元法，把方程中的某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，通過變量代換實現(xiàn)降次、無理式轉化為有理式、分式轉化為整式的目的，從而使較繁難的問題變?yōu)檩^簡易的問題.

評注：如果用開平方的方式解答無理方程，會導致整個方程的次方數(shù)過高，使解題過程更加困難.因此我們可以根據(jù)題目的要求和代數(shù)式的特性，利用換元法把無理方程巧妙地轉化為有理方程.

三、換元法在整式運算中的妙用

在整式運算中，對一些較為復雜的題目，直接求解顯然不易入手時，同學們可以考慮整體換元.整體換元的關鍵是要構造元和設元，就是要將已知式中結構相同的某個部分看作一個整體，用一個新的變量去替代它，然后再結合題目形式進行變形求值，從而使問題得以簡化.

例3求（1+2+3+…+998）（2+3+4+…+ 999）-（1+2+3+…+999）（2+3+4+…+998）的值.

分析：從整式的整體上來看，我們需要找尋其中的共同點，將這些共同點利用新元進行代替，讓整個式子得以簡化.通過觀察我們可以將第一個式子（1+2+3+…+998）設為x，將（1+2+3+…+999）設為y，然后就可以將其帶入后面兩個式子中將整式進行簡化.

解：設1+2+3+…+998=x；

1+2+3+…+999=y.

將x，y代入原式后可得

x（y-1）-y（x-1）=（xy-x）-（xy-y）

= y-x=999.

評注：本題中每一個代數(shù)式都可以用新元替代原有的式子，但是取不同的代數(shù)式換元后，運算難度會有所不同，所以我們在利用換元法解題的時候需要仔細觀察，尋找規(guī)律，找到最合適設置新元的位置代入換算.