轉(zhuǎn)化：構(gòu)造全等求解問題

鄒揚

在學習有關中心對稱圖形的知識過程中，我知道了利用中心對稱圖形的性質(zhì)，可以將復雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題。比如，在一個正方形中探究兩條線段的數(shù)量或位置關系時，我們可以使用轉(zhuǎn)化法構(gòu)造全等模型，將原問題轉(zhuǎn)化為基本圖形問題來解決。我們一起來看下面的例題。

例題 如圖1，在正方形ABCD中，F(xiàn)為邊BC上的定點，E、G分別是AB、CD邊上的動點，AF和EG交于點H。有2個選項：①AF⊥EG，②AF=EG。請從2個選項中任意選擇一個作為條件，余下一個作為結(jié)論，得到一個真命題，并證明。

我選擇①作為條件，②作為結(jié)論。

證明：作DP∥GE，如圖2。

∵AF⊥EG，∴AF⊥DP。

∴∠ADP+∠DAF=90°。

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠DAP=∠ABF=90°。

∴∠BAF+∠DAF=90°。

∴∠BAF=∠ADP。

∵AD=AB，∴△ABF≌△DAP（ASA）。

∴AF=DP。

∵AB∥CD，DP∥GE，

∴四邊形PEGD是平行四邊形。

∴PD=EG。∴AF=EG。

本題我們還可以選擇②作為條件，①作為結(jié)論。根據(jù)已知條件AF=GE，我們無法直接證明，此時需要構(gòu)造△DAP與△ABF全等，借助角的數(shù)量關系來說明線段的位置關系，從而證明DP⊥AF，進一步證明AF⊥EG。

在解決這類題目時，我們可以通過構(gòu)造最基本的全等模型，將原本無法直接求解出來的圖形問題轉(zhuǎn)化為熟悉的基本圖形問題求解。

教師點評

在本章的學習中，同學們時常會遇到一些新圖形問題。將新圖形問題轉(zhuǎn)化為基本圖形問題是一種重要的解題策略。小作者能夠把握正方形背景下的三角形全等模型，通過添加輔助線，實現(xiàn)轉(zhuǎn)化證明，值得大家學習。

（指導教師：蔡支梅）