脈動流致振動寬頻雙穩態俘能技術

李曄，高宇，沈超明，姜文安，陳立群

(1.江蘇科技大學 船舶與海洋工程學院，江蘇 鎮江 212003；2.江蘇大學 土木工程與力學學院，江蘇 鎮江 212013；3.上海大學 力學與工程科學學院，上海 200444)

0 引言

目前俘能器的主要研究方向包括線性多模態[1]、自調諧頻率[2]、三次非線性[3]、雙穩態、三穩態、多穩態[6]、相干共振和非線性相互作用。

流致振動俘能作為一種新型的清潔可再生能源，成為一個研究熱點。流致振動俘能技術主要有風致振動能量和水致振動能量，其中風致振動俘能主要有渦激振動[9– 10]、顫振[11– 13]、馳振[14– 15]、抖振[16– 17]。而水流致振動俘取得了許多有意義的成果[18– 20]。脈動流誘發的振動在海洋工程中廣泛存在，具有重要的研究價值。因此，本文設計一個脈動流致振動雙穩態俘能器，考察該俘能器在水下脈動流致振動時的性能。

1 采集器模型

如圖1 所示，該俘能器結構系統由2 個傾斜的彈簧、阻尼器和圓柱體組成。電路系統由銅線圈、電阻和磁鐵組成。

圖1 脈動流致振動雙穩態俘能器Fig.1 Bistable energy harvesting induced by oscillating flow

利用法拉第電磁感應定律，可以推導系統的機電耦合運動方程為：

其中：X為系統的位移；為俘能器的輸出電流；m為圓柱體的質量；ρ為流體密度；A為圓柱體的截面面積；c為阻尼系數；k為彈簧的剛度；L為2 根傾斜彈簧的原始長度；l為傾斜彈簧固定框架端到2 彈簧中心的距離；Cl為粘性流體附加質量系數；Cm為慣性系數；CD為粘性曳力系數；U=U0+U1sin(ΩT)，為脈動流速；U0為非零均值定常流速；U1為脈動流的幅值；Ω為脈動流的頻率；Lind為電感；Lcoil為銅線圈的長度；B為磁感應強度；R為電阻。

為了簡化計算，式(1)和式(2)可以無量綱化為

系統的勢能為：

對應的恢復力為：

系統勢能和恢復力變化的曲線圖如圖2 所示。由圖2(a)可知，系統的勢能在3 組不同參數下，具有雙勢阱特征，且雙勢阱在勢壘的左右兩側對稱的分布。由圖2(b)可知，系統的恢復力有3 個解，即1 個零解，2 個關于零對稱的解，相應的靜平衡解見表1。因此，該系統(1)和(2)，具有雙穩態的特性。

表1 系統的靜平衡值及泰勒系數Tab.1 The static equilibrium value and Taylor coefficient of the system

圖2 系統的勢能和恢復力曲線Fig.2 Potential energy and restoring force curves of the system

2 波速遠大于速度的小幅振動

2.1 諧波分析

式(3)為非線性微分方程，沒有精確解析解。若波浪流速的幅值遠大于系統最大速度[35]，則

同時，當系統做小幅振動時，無理非線性剛度可以在靜平衡點展開為多項式非線性形式，忽略三次以上高階非線性和二次以上激勵項，則系統的機電耦合方程可以重新簡化為：

假設系統的一階諧波解為：

代入電路方程，可得解耦后的電流為：

把式(8)和式(9)代入式6)，可得一階諧波解滿足如下關系：

式(10)和式(11)是非線性的代數方程組，沒有解析解，可以利用數值方法進行求解計算。

進一步根據式(9)，可以得到輸出電流幅值與位移響應幅值的關系為：

功率方程：

基于式(10)～式(12)，圖3 給出為不同激勵下系統的幅頻響應曲線。其中ζ=0.02，χ=0.016，κ=0.16，λ=0.002，β=-0.209。可知，系統的幅頻響應曲線具有向左彎曲的軟特性，且隨著激勵幅值的增加，響應的頻率帶寬增加，具有寬頻的采集特性。

圖3 不同激勵幅值下的幅頻響應曲線Fig.3 Amplitude-frequency response curves under different excitation amplitudes

2.2 參數影響

圖4 所示為3 組不同傾斜角余弦時的響應曲線隨著外激勵頻率的變化趨勢。可以看出，隨著傾斜角余弦的減小，系統的位移和電量響應增加，且采集頻率的帶寬也增大。因此，小的傾斜角余弦能同時采集更多的電量和擁有寬頻的帶寬。

圖4 不同傾斜角下的幅頻響應曲線Fig.4 Amplitude-frequency response curves at different inclination angles

圖5 給出3 組不同頻率時，電壓和功率s 隨電阻變化的規律。可以看出，在不同激勵頻率下，隨著電壓的增加電阻先極速增加再緩慢增加，功率隨著電阻先極速增加再慢慢減小，存在一個最優電阻使得輸出的功率最大。

圖5 不同頻率下的輸出電量隨電阻的變化Fig.5 The output power at different frequencies varies with the resistance

圖6～圖8 為電量參數對輸出響應的影響。可知，隨著磁感線強度和線圈長度的增加，輸出電流響應近似線性的增加，功率呈非線性增加。隨著電感的增加，輸出電流和功率呈非線性遞減。

圖6 不同頻率下的輸出電量隨磁感應強度的變化Fig.6 The variation of output power with magnetic induction intensity at different frequencies

圖7 不同頻率下的輸出電量隨電感的變化Fig.7 The variation of output power with inductance at different frequencies

圖8 不同頻率下的輸出電量隨線圈長度的變化Fig.8 The output power at different frequencies varies with coil length

2.3 線性對比

圖9 為3 組不同傾斜角余弦（α=0.25,0.5,0.75）時的幅頻響應曲線。其中比較的基準選取位移響應為1，電流響應為0.1。可知，線性系統在共振頻率附近有比較大的幅值，但是采集的頻率帶寬只集中在共振頻率附近，而非線性系統具有更寬的采集頻率帶寬。

圖9 與線性采集器幅頻性能對比Fig.9 Compared with the amplitude and frequency performance of linear collector

3 波速與速度不確定的振動

當波浪流速的幅值與系統速度之間的大小關系不確定時，系統式(3)～式(4)是含有絕對值的無理非線性微分方程組，系統的近似響應求解困難。采用四階龍格庫塔數值方法，對系統的響應進行求解。

3.1 不同類型的運動響應

圖10～圖13 給出系統在不同頻率時的動力學行為（ω=0.5,0.75,1.0,1.5）。可知，當ω=0.5 時，系統存在小幅的周期運動；當ω=0.75 時，系統做大幅的周期運動；當ω=1.0 時，系統做混沌運動；當ω=1.5 時，系統做3 倍周期運動。

圖10 ω=0.5 時的小幅周期響應Fig.10 Small periodic response at ω=0.5

圖11 ω=0.75 時的大幅周期響應Fig.11 Small periodic response at ω=0.75

圖12 ω=1.0 時的混沌響應Fig.12 Small periodic response at ω=1.0

圖13 ω=1.5 時的倍周期響應Fig.13 Small periodic response at ω=1.5

3.2 參數影響

采用均方根的統計方法，計算系統的輸出響應。圖14 為3 組激勵幅值下的幅頻響應曲線。圖15 為3 組不同傾斜角余弦時的響應曲線隨著外激勵頻率的變化趨勢。可以看出，隨著激勵幅值的增加，除個別頻率外，系統的位移和電量響應增加，而傾斜角余弦對系統響應的影響差別不大。

圖14 波速與速度不確定時激勵幅值變化的幅頻響應曲線Fig.14 Amplitude-frequency response curve of excitation amplitude variation with uncertain wave velocity and velocity

圖15 波速與速度不確定時不同傾斜角下的幅頻響應曲線Fig.15 Amplitude-frequency response curves at different inclination angles when wave velocity and velocity are uncertain

3.3 線性對比

圖16 為2 組不同幅值（u1=2.5和u1=5）時非線性系統和相應線性系統幅頻相應曲線的對比。可知，非線性線性系統比相應線性系統在多個頻率有更大的響應幅值，具有寬頻的采集特性。

圖16 波速與速度不確定時與線性采集器幅頻性能對比Fig.16 Amplitude and frequency performance comparison with linear collector with uncertain wave velocity and velocity

4 結語

本文設計一個水下雙穩態俘能器，研究系統在脈動流致振動下的采集性能，進行解析分析和數值計算，得出如下主要結論：

1）在波速遠大于速度的小幅振動運動中，通過諧波分析，發現系統的幅頻響應曲線具有向左彎曲的軟特性。通過與線性系統對比，得到系統具有寬頻的采集特性。隨著系統電阻的變化，存在一個最優的電阻，使得輸出電量的功率最大。

2）在波速與速度不確定的振動中，基于數值計算，發現系統存在小幅周期、大幅周期、混沌和倍周期等復雜的非線性動力學行為，且系統比線性系統有更寬的采集頻帶。

3）計算和分析結果可以為波浪能寬頻發電技術提供一定的理論支撐。