一類非線性橢圓問題解的正則性

黃苗苗,趙雪漪,馮賀平

(1.漢江師范學院 數學與計算機科學學院,湖北 十堰 442000;2.湖北大學 應用數學湖北省重點實驗室,湖北 武漢 430062;3.河北軟件職業技術學院 智能工程系,河北 保定 071002)

設Ω為Rn(n≥2)中的有界開子集.考慮橢圓型方程的邊值問題

(1)

其中,a(x,s,ξ):Ω×R×Rn→Rn和f(x,s,ξ):Ω×R×Rn→R為Carathéodory函數,對幾乎所有的x∈R和所有的(s,ξ)∈R×Rn,有

a(x,s,ξ)·ξ≥α|ξ|p-k1(x)-γ1|s|θp,

(2)

|a(x,s,ξ)|≤β|ξ|p-1+k2(x)+γ2|s|n(p-1)/(n-p),

(3)

|f(x,s,ξ)|≤γ3|ξ|p-1+k3(x)+γ4|s|θ(p-1),

(4)

其中,1

k1(x)∈LT(Ω),k2(x)∈Lp′(Ω),k3(x)∈Lm(Ω),m>(p*)′,

T=[1-(1-(p*)′/m)p′/(p*)′]-1,(p*)′=(np/(n-p))′=np/(np-n+p).

(5)

為了得到橢圓型邊值問題(1)在條件(2)、(3)、(4)下解的正則性,需要Marcinkiewicz空間Mγ(Ω)(也稱弱Lebesgue空間)的定義,它是調和分析中的一個重要的空間,在偏微分方程解的正則性理論中應用廣泛.Marcinkiewicz空間Mγ(Ω)的性質見文獻[1].

定義1設γ>0,Marcinkiewicz空間Mγ(Ω)由所有滿足下列條件的可測函數g:Ω→R組成:存在常數c1>0使得

g*(t)=meas{|g|>t}≤c1/tγ,?t>0.

(6)

g∈Mγ(Ω)的范數定義為

顯然,當γ>1,0<ε≤γ-1時,有

Lγ(Ω)?Mγ(Ω)?Lγ-ε(Ω).

(7)

注意到,在條件(3)和(4)下,式(7)中的積分是有限的.

非線性橢圓型方程解的正則性問題已經得到了廣泛的研究,見文獻[2-12],但多數考慮的橢圓型問題(1)的右端函數f只與x有關.本文考慮更復雜的一種情況,橢圓型問題(1)的右端函數f不僅與x有關,還與u(x)及Du(x)有關[13].在這種情況下,經典的Stampacchia引理[14-16]不能再使用,為了克服這個困難,需要使用推廣的Stampacchia引理[17],Gao等[18]給出了稍微不同的結果,形式更為簡單.

引理1設c2,α,β,k0為正常數,0≤θ<1.設函數φ:[k0,+∞)→[0,+∞)非增,且對任意k0≤k

φ(h)≤c2kθα[φ(k)]β/(h-k)α.

(8)

i) 若β>1,則存在k*>0,使得φ(k*)=0;

ii) 若β=1,則對任意k≥k0,有φ(k)≤φ(k0)exp{1-[(k-k0)/τ]1-θ},其中τ=max{k0,c2e2θα(1-θ)α};

iii)若0<β<1,則對任意k≥k0,有

下面給出本文的主要結果.

i) 若m>n/p,則u∈L∞(Ω);

ii) 若m=n/p,則存在正常數λ,使得eλ|u|1-θ∈L1(Ω);

iii) 若(p*)′

(9)

其中,Ak={x∈Ω:|u(x)|>k}.

對于式(9)的左邊,由式(2)得

(10)

對于式(9)的右邊,由式(4)得

(11)

綜合式(10)、(11)得

(12)

下面計算I1、I2、I3.

和Young不等式ab≤εap+c(ε)bp′,a,b≥0,p-1+(p′)-1=1,可得

(13)

利用H?lder不等式、Sobolev不等式和Young不等式,以及式(5)中T的定義可得

(14)

下面估計|I3|,由Young不等式,Sobolev不等式和Young不等式,可得

(15)

將式(13)、(14)、(15)代入式(12)可得

(16)

由式(16)移項可得

(17)

其中,c3是個常數,與n,p,α,γ1,γ3,γ4,‖k1(x)‖LT(Ω),‖k2(x)‖Lm(Ω)有關.

取k0

(18)

將式(18)代入式(17)可得

|Ah|≤c4/[(h-k)p*][|Ak|(1/(p*)′-1/m)np′/(n-p)+kθp*|Ak|n/(n-p)],

(19)

|Ah|≤c4kθp*|Ak|β/(h-k)p*,

(20)

其中,β=min{(1/(p*)′-1/m)np′/(n-p),n/(n-p)}.

于是式(8)對φ(k)=|Ak|,α=p*,c2=c4成立.利用引理1可得:

1)若m>n/p,此時β>1,則存在一個常數k*使得φ(k*)=|Ak*|=0,即|u(x)|≤k*在Ω上幾乎處處成立,此即u(x)有界.

2)若m=n/p,此時β=1,則對任意的k≥k0(k0為正常數), 有

|{|u|>k}|≤|{|u|>k0}|exp{1-[(k-k0)/τ](1-θ)}≤

|Ω|exp{1+(k0/τ)(1-θ)}exp{-(k/τ)(1-θ)}=c5e-2λk(1-θ),

(21)

|{eλ|u|1-θ>eλk1-θ}|≤|{|u|>k}|≤c5e-2λk1-θ.

3)若m