一道面積問題的巧解和啟示

朱秀蘭

長方形ABCD中，AB=12厘米，BC=8厘米，E是AB的中點，F是BC的中點，連接AC、DE、DF，把長方形分成六部分（圖1）。陰影部分的總面積是多少呢？

能不能不求每一個三角形的面積，而求出它們的面積之和呢？

分析與解

從圖1中可以看出：陰影部分是三個三角形。

要求三角形的面積，就要知道它的底和高，但如何求出每個三角形的底和高呢？如果你想來想去，也想不出辦法，那么，就換換思路吧！

解題思路

如圖2，添加輔助線BM、BN，設陰影部分的面積為S1，S2，S3。考查△AME和△BME，因為E是AB的中點，所以AE＝ BE，而這兩個三角形在AE、BE邊上的高也是相等的，所以它們的面積也相等，即△BME的面積也是S2。同樣，△BNF的面積也是S3，△BMN的面積也是S1。由此，我們可以得到下面的等式：

S1+2（S2+S3）=△ABC的面積=21×12×8=48（平方厘米）

即S1+2（S2+S3）=48……①

2S1+S2+S3=長方形面積-△AED面積-△CFD面積=12×8-12×8×6-×12×4=48（平方厘米）

即2S1+S2+S3=48……②

①＋②得：3（S1+S2+S3）=96

所以：S1+S2+S3=32

由此可知，陰影部分的總面積是32平方厘米。

用添加輔助線和等量代換的辦法求出了陰影部分的面積。可見，求圖形面積的方法是多種多樣的。只要我們多動腦筋，勤于積累，就能在學習過程中提煉、發現一些新的方法。