數學家的“數學”墓碑（下）

林革

麥克勞林的墓碑

科林·麥克勞林是蘇格蘭數學家（圖13），成就非凡，被譽為18世紀英國最有影響力的數學家之一。

1698年2月，麥克勞林出生于蘇格蘭的基爾莫登，自幼父母雙亡，由叔父撫養成人。他從小便展現出過人的數學天賦。11歲時，麥克勞林考入格拉斯哥大學，研修神學。入校不久，他就對數學產生了濃厚興趣；于是，在一年后，便轉攻數學。17歲時，麥克勞林取得碩士學位，并為自己關于重力做功的論文進行了精彩的公開答辯。

19歲時，他被聘為阿伯丁大學的數學教授，并主持該校馬里歇爾學院有關數學學科的工作。兩年后，麥克勞林被選為英國皇家學會會員。1722—1726年，他在巴黎從事研究工作。1724年，麥克勞林因物體碰撞的杰出論文而榮獲法國科學院資金獎勵。回國后，麥克勞林任愛丁堡大學教授。

1719年，年僅21歲的麥克勞林在訪問倫敦時見到了牛頓，從此成為牛頓晚年的得意門生。1724年，由于牛頓的全力推薦，麥克勞林繼續獲得教授席位。

麥克勞林在21歲時發表了第一本重要著作《構造幾何》，書中描述了作圓錐曲線的一些新的巧妙方法，精辟地討論了圓錐曲線及高次平面曲線的種種性質。麥克勞林于1742年撰寫的《流數論》以泰勒級數作為基本工具，是第一本對牛頓的流數術給出符合邏輯的、系統解釋的著作。他得到數學分析中著名的麥克勞林級數展開式：若函數f（x）在包含0的某個閉區間[a，b]中具有n階導數，且在開區間（a，b）中具有n+1階導數，則對閉區間[a，b]中的任意一點，下式成立：

他同時用待定系數法給予證明，這成為高等數學中無論如何也繞不過去的一個公式。由此可見，這位英國數學家非同凡響的創造力和影響力。

此外，麥克勞林在代數學領域也有杰出貢獻。在于1748出版的遺著《代數論》中，他創立了用行列式方法求解多個未知數聯立線性方程組，后來，由數學家克萊默重新完善，成為現今的克萊默法則。

麥克勞林的成長經歷堪稱“神童—奇才”般水到渠成。也正是由于牛頓對其研究工作的無私支持和幫助，麥克勞林得以在幾何學和應用數學上取得重大成就。因此，他終生感激牛頓對自己的栽培和提攜，并致力于繼承、捍衛、發展牛頓的學說。他曾打算寫一本名為《關于伊薩克·牛頓爵士的發現說明》的書，但未能完成便去世了。麥克勞林的墓碑上刻有“曾蒙牛頓推薦”（圖14），以表達對牛頓的感激之情。

高斯的墓碑

高斯是歷史上最偉大的數學家之一（圖15），被世人稱為“數學王子”，其貢獻遍及基礎數學和應用數學的各個領域，對現代數學的發展產生了深刻影響，其成就足以與阿基米德、牛頓比肩。

有關高斯天縱之才的神奇傳說，可以說在全球范圍內廣為流傳。除了婦孺皆知的10歲小高斯巧算1+2+3+4+5+…+99+100的故事，最為數學愛好者耳熟能詳的，當數1795年進入哥廷根大學的19歲高斯，一夜之間完成兩千年來連阿基米德和牛頓也沒能解決的世界級難題：用圓規和一把沒有刻度的直尺畫出一個正十七邊形。盡管高斯日后取得了更大的成就，但他本人對此念念不忘，并在臨終前留下遺言：“我死后，什么東西都不想要，只希望在我的墓碑上做一個正十七邊形。”

正三角形和正五邊形早已為人熟知，而正257邊形、正65537邊形由于過于復雜，迄今為止尚無人能有所進展。因此，正十七邊形自然成為高斯傳說中的最佳數學背景。

高斯去世后，哥廷根大學為之建造的墓碑上（圖16）并沒有什么正十七邊形的圖案，不過，這并不影響高斯的偉大和非凡。有德國慕尼黑博物館中的紀念文字為證：“他的思想深入數學、空間、大自然的奧秘，他測量了星星的路徑、地球的形狀和自然力，他推動了數學的進展，直到下個世紀?！?p>

笛卡爾的墓碑

笛卡爾是著名的法國數學家、物理學家、哲學家（圖17），“我思故我在”便是他的名言。他對現代數學的發展做出過重要貢獻，因將幾何坐標體系公式化，而被認為是“解析幾何之父”。

在笛卡爾之前，幾何與代數是數學中兩個不同的研究領域。笛卡爾站在方法論的高度，認為希臘人的幾何學過于依賴于圖形，束縛了人的想象力。他覺得當時流行的代數學完全從屬于法則和公式，不能成為一門改進智力的科學。因此，他提出，必須把幾何與代數的優點結合起來，建立一種“真正的數學”。

1637年，笛卡爾發表了在數學史上具有劃時代意義的光輝巨著—《幾何學》，標志著解析幾何學的誕生。在這本著作中，笛卡爾首先建立了直角坐標系，為利用代數的、解析的方法解決幾何問題提供了必要條件；并且，他使數學的兩大基本要素“數”與“形”統一起來，用代數方法研究、解決幾何問題，也可以運用幾何方法解決代數問題，進而從根本上改變了從古希臘開始的代數與幾何分離的趨向，推動了數學的發展進程。

笛卡爾的天才創見也為微積分的創立奠定了基礎，從而開拓了變量數學的廣闊領域。最為可貴的是，笛卡爾用運動的觀點，把曲線看成點的運動的軌跡，建立了曲線和方程的對應關系。這種對應關系的建立，不僅標志著函數概念的萌芽，而且表明變數進入了數學，使數學在思想方法上產生了巨大轉折—由常量數學進入變量數學，從而引發數學的深刻革命，有效地解決了現實中的許多重大問題，大大促進了生產力和科學技術的發展。

《幾何學》中還包括方程理論，其中最著名的是“待定系數法”。后來，待定系數法不僅成為初等數學里解決多項式因式分解、分式的分項分解的有力工具，也是高等數學中計算積分、級數以及求解微分方程的重要方法。此外，人們在笛卡爾的手稿中還發現，他于1639年就已掌握了歐拉在1750年才發表的凸多面體的棱數、面數、頂點數三者之間的數量關系：頂點數-棱數+面數=2，這是圖論中的定理。

笛卡爾去世后，他的著作被羅馬教廷列為禁書，直到1740年，禁令才被解除。1819年，笛卡爾的骨灰被移入巴黎最古老的教堂—圣日耳曼德佩教堂中，在他的墓碑（圖18）上，刻著這樣一句話：“笛卡爾，歐洲文藝復興以來，第一個為人類爭取并保證理性權利的人?！?p>

希爾伯特的墓碑

德國數學家希爾伯特是19世紀和20世紀初最偉大、最具影響力的數學家之一（圖19）。他領導了著名的哥廷根學派，使哥廷根大學成為當時全球數學研究的重要中心，并培養了一批對現代數學發展做出重大貢獻的杰出數學家，因而享有“數學世界的亞歷山大”和“數學無冕之王”的美譽。

1880年秋，18歲的希爾伯特進入著名的柯尼斯堡大學專修數學，在此期間，他結識了閔可夫斯基和阿道夫·赫維茨兩位德國青年數學家。他們每天下午5點準時到校園的蘋果樹下會面，日復一日地進行著自由交流、探討的“數學散步”，這為希爾伯特的未來發展奠定了堅實基礎。

1884年，希爾伯特獲得博士學位，并留校任教；1893年，他被任命為數學教授。1895年，應數學家克萊因邀請，希爾伯特赴哥廷根大學任教，此后一直在“數學之鄉”哥廷根生活和工作。

希爾伯特的數學研究涉及代數不變式、代數數域、幾何基礎、變分法、積分方程、無窮維空間、物理學和數學基礎等，在這些領域中，他都做出了重大的或開創性的貢獻。1897年，他的《代數數域的理論》正式發表，立即在數學界引起巨大反響，數學家們稱之為19世紀代數數論的頂峰。1899年初，希爾伯特的《幾何基礎》出版，成為公理化思想的代表作，并由此推動形成了“數學公理化學派”，可以說，希爾伯特是近代形式公理學派的創始人。在橫跨兩個世紀的60年數學研究生涯中，希爾伯特的研究足跡幾乎遍及現代數學的前沿陣地，他的數學思想深深滲透在整個現代數學領域。

值得大書特書的是，1900年，在巴黎召開的第二屆國際數學家大會（ICM）上，年僅38歲的希爾伯特發表名為《未來的數學問題》的演講，提出當時世界上還沒有解決但對未來數學發展有重大影響的23個數學問題，史稱“希爾伯特問題”，其中涉及現代數學的大部分重要領域，為20世紀的數學研究指明了方向。也正因為此，在希爾伯特的墓碑（圖20）上，便鐫刻著他在國際數學家大會上的演講金句：“我們必須知道，我們必將知道！”（Wir mussen wissen. Wir werden wissen）

陳景潤的墓碑

陳景潤是我國數學界的一位傳奇式人物（圖21）。他雖不善言辭，可在數學研究方面，特別是對哥德巴赫猜想的研究出類拔萃，一直處于世界領先地位。-

哥德巴赫猜想源于德國一位中學數學教師哥德巴赫，他依靠試驗、觀察發現：任何一個偶數（除了2，它本身就是一個質數）都能表示成兩個質數（也稱素數）之和。如4=2+2，6=3+3，8 = 5 + 3，1 0 = 5 + 5，1 2 = 5 + 7，14=7+7，16=13+3，18=13+5，20=13+7，……100=97+3，等等。不過，作為數學教師，他也知道試驗并不是證明，這個命題是否正確必須經過嚴格的論證。于是，他在1742年6月7日寫信給當時的數學大師歐拉，說他相信“任何一個大于2的偶數，都可以分成兩個素數的和”，希望歐拉能幫他證明。歐拉于同年6月30日回信，說他相信這個猜想，但他還不能證明。