Euler示性數的相交數表示

劉昌蓮，劉登品，唐九奇

（廣西師范大學 數學與統計學院，廣西 桂林 541006）

偉大的幾何學家陳省身（1911—2004）曾指出[1]：Euler示性數是大量幾何課題的源泉和出發點。Eul‐er 示性數是一個經典的、眾所周知的拓撲不變量，其涉及了組合中的Euler 定理、代數拓撲中的Euler-Poincaré公式、微分拓撲中的Poincaré-Hopf指標定理。

歐拉（Euler，1707—1783）發現[2]：對任何一個3維的凸面體P3，其頂點數V減去棱數E后再加上面數F，所得結果是2，該數記為χ(P3)，即有χ(P3)=V-E+F，稱χ(P3)為凸面體P3的Euler 示性數。對于一般的高維組合對象，如單純復形也有類似的Euler示性數定義。設K為單純復形，記αq為單純復形K的q維單形個數，則定義單純復形K的Euler 示性數為χ(K)=特別地，當K為S2的一個單純剖分，即K為3維凸多面體時，有χ(K)=2。令M是一個n維緊流形，K是M的一個單純剖分，定義M的Euler示性數為χ(M)=χ(K)。該定義與單純剖分的選取無關[3]。

此外，龐加萊（Poincaré，1854—1912）運用單純同調方法把關于凸面體的Euler定理做了推廣[1]，將上述流形M的Euler 示性數與拓撲不變量同調群Hq(M,Z)聯系起來，從而生成Euler-Poincaré 公式[4]：，其中βq為Hq(M,Z)中自由部分的秩，也稱為M的q維Betti數。

在向量場的相關理論中，Poincaré-Hopf 指標定理將Euler 示性數χ(M)與M上只具有孤立零點的C∞切向量場X聯系起來，則有χ(M)=其中X(p)指的是切向量場X的奇點個數，Indp(X)表示X在奇點p的指標[5]。對于帶邊流形且邊界上的向量指向向外，上述定理仍然成立[6]。對于更多的Euler示性數定義及研究概況可見文獻[7]。

本文主要研究Euler示性數的另一種幾何拓撲表示，即相交數表示。根據示性類理論，下文定義了流形M的Euler示性數為χ(M)=，其計算方法運用了Poincaré對偶的思想，所謂相交理論就是發掘了這個思想。由于相交數N1?N2是一個不變量，其與Kronecker積有關，故利用Poincaré對偶性將Euler示性數與相交數聯系起來。可預見Euler示性數χ(M)可以用相交數N1?N2來表示，且本文證明了χ(M)=N1?N2。

1 預備知識

為了方便讀者交流，本節列舉了一些主要的概念以及所需的引理。

1.1 Thom同構定理與Euler類

Thom同構定理和Euler類在示性理論中起著重要作用，本文將從矢量叢的角度來介紹。

為同構映射，則稱U為Thom類，φ為Thom同構。

Thom同構定理對矢量叢Euler類的定義有關鍵的作用，下面定義中的符號及含義與Thom同構定理保持一致。

定義1[8]（Euler 類）考慮投影π:E→B和零截口ρ:B→E，則πρ=IB，顯然在矢量空間中有同倫ρπ ?IE，所以映射π?:Hk(B)→Hk(E)，ρ?:Hk(E)→Hk(B)都為同構。構造如下映射

1.2 Thom-Pontrjagin構造

本節首先介紹管狀鄰域定理，再以此為基礎得出Thom-Pontrjagin構造。最后，應用這一構造得出法叢的Euler類具體表達形式。在引入管狀鄰域定理之前，首先觀察管狀鄰域的特征。若M是一個光滑流形，子流形N?M的管狀鄰域V是沿N在M法方向上擴張而成，即V與N在M中的法叢微分同胚。

引理2[8]（管狀鄰域定理）令M是一個光滑流形，N是M的一個光滑子流形。N在M中的法叢記為ν(N,M)，則N在M中存在一個管狀鄰域V，使得映射?:ν(N,M)→V是一個微分同胚。在映射?下，以N作為零截面在ν(N,M)中的包含關系與子流形N?M的包含關系等同。

將π:V→N看作是一個可定向的矢量叢且把N當作為零截面，則可定義如下映射

其中n=N的余維數=dimM-dimN，φ為Thom 同構，第二個映射為切除同構。由于i:N→M是包含映射，因此記上述映射為i!，則該過程稱為Thom-Pontrjagin構造。

圖1 交換圖

由上積具有單位性的性質可知：i?i!(1)=e(V)，1∈H0(N)。根據管狀鄰域定理有V?ν(N,M)，故e(ν(N,M))=i?i!(1)，此公式具有一般性。

1.3 流形的相交數

引理3[9]流形M在M×M中的對角嵌入相關的法叢與M的切叢同構。

2 主要結論

設M是一個可定向的n維光滑緊流形，記Δ:M→M×M為對角嵌入，其像為N1；又有嵌入映射s:M→TM是一個零截口，根據TM與法叢ν(N1,M×M)同構，N1在M×M中有管狀鄰域V與法叢ν(N1,M×M)微分同胚，最終s(M)可嵌入到M×M中并記其在M×M的像為N2。

定理1設M是一個可定向的n維光滑緊流形，N1和N2如上所述，則有χ(M)=N1?N2。

證明通過對比注記4中N1?N2和χ(M)的具體表達式可以看出：若μ1=i1!(1)，則χ(M)=N1?N2。由于μ1是在M×M中的Poincaré 對偶性下i1?[N1]的對偶上同調類，若在M×M中的Poincaré 對偶性下i1?[N1]和i1!(1)互為對偶，則等式μ1=i1!(1)成立。

圖2 交換圖

記T?M×M，構造交換圖（圖3）。對1∈H0(N1)，U?ρN∈Hn(V)，則有i1!(1)∈Hn(M×M)，i?(U?ρN)∈Hn(M×M)。

圖3 交換圖

由圖3 的交換性及最后一行的卡積運算可知：M×M存在一個基本類[M×M]∈H2n(M×M)，使得i1!(1)?[M×M]=i?(U?ρN)=i1?[N1]，即在M×M中的Poincaré 對偶性下，i1?[N1]和i1!(1)互為對偶，故μ1=i1!(1)，因此χ(M)=N1?N2。即定理1的證明完成。

3 結束語

在組合數學、代數拓撲及理論物理學中，Euler示性數占有重要地位且有著廣泛應用，其計算方法運用了Poincaré對偶的思想，所謂相交理論就是進一步發掘了這個思想。本文給出了Euler示性數的另一種幾何拓撲表示，也就是相交數表示，在研究可定向的n維光滑緊流形的Euler 示性數遇到困難時，從相交理論出發也是一種解題思路。