次分數(shù)跳-擴散模型下的復合期權(quán)定價

王竟莘，郭志東

（安慶師范大學 數(shù)理學院，安徽 安慶 246133）

期權(quán)在金融市場中扮演著重要的角色，擁有獨特的非線性損益結(jié)構(gòu)，相較于其他工具，能夠構(gòu)造出不同的風險和回報組合，從而更好地達到避險保值的目的。期權(quán)定價的經(jīng)典模型是Black-Scholes模型，自1974年被Black和Scholes[1]提出后，學者們由此取得了豐富的研究成果。2004年，Bojdecki[2]等提出次分數(shù)布朗運動，除卻分數(shù)布朗運動擁有的特點以外，次分數(shù)布朗運動具有協(xié)方差隨時間增加而迅速衰減、增量在非重疊區(qū)間內(nèi)相關(guān)性較弱的特點，因此更適用于期權(quán)定價研究。Bian[3]在次分數(shù)基礎上引入模糊集理論并建立基于長期記憶特性的歐式期權(quán)定價模型，分析了不同Hurst 參數(shù)期權(quán)定價的不同。Kuang[4]研究了次分數(shù)下重正化加權(quán)立方變化的收斂性，數(shù)值模擬得到不同Hurst 參數(shù)下的樣本路徑。Li[5]等研究了次分數(shù)驅(qū)動下Vasicek模型的參數(shù)估計問題，對μ,θ兩個未知參數(shù)進行相合性和漸近分布估計，發(fā)現(xiàn)其具有一定的適用性。Araneda[6]等研究了混合次分數(shù)機制下具有CEV模型的歐式看漲價格，發(fā)現(xiàn)所提出的模型能夠捕捉不同期限期權(quán)價格的時間結(jié)構(gòu)。

復合期權(quán)是一種變異期權(quán)，能夠有效規(guī)避外匯風險。Geske[7]首次提出復合期權(quán)定價理論，該期權(quán)創(chuàng)新性地將杠桿效應運用進期權(quán)定價，考慮股票收益率方差為股票價格水平的函數(shù)，使復合期權(quán)能夠有效地估計公司負債、定價公司資本結(jié)構(gòu)。Hodges[8]發(fā)現(xiàn)復合期權(quán)估值公式是一系列多項式分布函數(shù)總和，給出了任一維數(shù)的多正態(tài)分布和的恒等式，簡化了恒等式積分數(shù)量并使復合期權(quán)估值效率得到提高。Li[9]等引入擴展方差伽馬過程來控制對數(shù)資產(chǎn)價格的偏度和峰度，得到解析式并進行數(shù)值計算。Liu[10]等引入跳-擴散過程，得到定價公式，且數(shù)值結(jié)果發(fā)現(xiàn)若跳躍振幅對數(shù)為雙指數(shù)分布能更好地捕捉非對稱leptokurtic特征和波動率微笑的現(xiàn)象。Wang[11]基于模糊集理論，對復合期權(quán)模型下利率和波動率兩個未知參數(shù)進行模糊，得到復合期權(quán)的模糊價格和模糊概率均值。劉明月[12]等建立多階段因果復合期權(quán)，利用動態(tài)無套利均衡分析法得到了該模型下n階段看漲因果復合期權(quán)的定價公式。宮文秀[13]將三叉樹模型引入復合期權(quán)定價問題，利用向后倒退法對該模型進行定價，且由數(shù)值分析發(fā)現(xiàn)不同變量的變化與復合期權(quán)價格呈不同的正負相關(guān)性。王向榮[14]考慮同時將Hull-White利率模型和Ornstein-Uhlenbeck過程引入復合期權(quán)，得到了該模型下復合期權(quán)的定價公式。溫小梅[15]研究復合冪期權(quán)定價問題，考慮雙隨機波動率跳-擴散模型并得到了其解析表達式，且數(shù)值分析發(fā)現(xiàn)變量對期權(quán)價格有較大影響。然而，上述研究并未探討次分數(shù)跳-擴散機制下的復合期權(quán)定價問題，基于此，本文將對該問題進行相關(guān)研究。

1 預備知識

1.1 次分數(shù)布朗運動

1.2 次分數(shù)跳-擴散模型

在該模型下，標的資產(chǎn)價格St滿足隨機微分方程

根據(jù)風險中性定價理論，可用無風險利率r(t)替換μ(t)，根據(jù)It?公式，可求得方程（1）的解為

2 次分數(shù)跳-擴散模型下的Black-Scholes公式

定理1設標的資產(chǎn)價格St符合公式（2）給出的模型，則歐式看漲期權(quán)價格C(St,t)滿足偏微分方程

證明考慮一個投資組合Π包含一份期權(quán)C(St,t)和Δ份股票，其在t時刻這個投資組合的價格為∏=C-ΔS。假設Δ在時間區(qū)間(t,t+Δt)內(nèi)沒有變化，則選擇合適的Δ，使Π在時間區(qū)間(t,t+dt)內(nèi)無風險。

聯(lián)立公式（4）和公式（5），則定理1得證。

引理1若該期權(quán)到期時間為T，敲定價格為K，且遵循公式（2）和公式（3）給出的模型，則其價格可表示為

且跳-擴散歐式看漲期權(quán)的價格為[16]

即認為該期權(quán)價格為時段內(nèi)B-S 模型價格的加權(quán)平均，權(quán)重服從特征參數(shù)為λ′(T-T0)的泊松分布。公式（8）的為St服從幾何布朗運動的Black-Scholes公式，現(xiàn)假設其服從次分數(shù)布朗運動，對公式（8）進行相應代換并聯(lián)立公式（7），引理1得證，且有

3 次分數(shù)跳-擴散模型下復合期權(quán)定價公式

定理2考慮一個看漲期權(quán)，到期日為T2，中途有到期時刻T1，其行權(quán)價格為K1，當T1

其中Φ2(a,b,ρ)為二維累計概率分布函數(shù)，且有

證明設CC[C(K,T2),K1,T1]為該復合期權(quán)，當C(S1,K,T1,T2)>K1時，認為應在T1時刻執(zhí)行該復合期權(quán)。當C(S1,K,T1,T2)

或當ST>K時，該復合期權(quán)可在T2時刻執(zhí)行。由風險中性定價理論，此時復合期權(quán)價格可表示為

由此將目標求解問題等價轉(zhuǎn)化為對兩個期望的求解。并基于泊松過程，根據(jù)[T0,T1]和[T1,T2]區(qū)間上的跳躍數(shù)對期望進行調(diào)節(jié)，分別用n1和n2表示兩時段內(nèi)的跳躍次數(shù)，且m=n1+n2為[T0,T2]區(qū)間內(nèi)跳躍的總數(shù)。

可將公式（11）第一個期望表示為

則公式（12）第二項的解為

同理，可得公式（12）第一項的解為

綜合公式（14）和公式（15），可得公式（11）第一個期望的值為

同理，可得公式（11）第二個期望的值為

此處a2定義同上公式（17），聯(lián)立公式（13）、公式（16）和公式（18），則定理2得證。

4 數(shù)值模擬

用Matlab編程計算給出了一些本文模型的數(shù)值模擬結(jié)果，并與常用模型進行了比較，模擬采用的參數(shù)（當對某一變量進行分析時，其余變量取值不變）：r=0.5,σ=0.4,σJ=0.05,H=0.8,n1=1,n2=1,k=0.4,T0=0,T1=1,T2=2,K1=10,S0=40,K=[30,31,32,33,34,35]。若以σ為變量，令其分別為0.4、0.5、0.6，數(shù)值模擬結(jié)果如圖1；若以H為變量，令其分別為0.7、0.8、0.9，數(shù)值模擬結(jié)果如圖2；若以r為變量，令其分別為0.4、0.5、0.6，數(shù)值模擬結(jié)果如圖3；若以n1、n2為變量，令其分別同時跳躍1、2、3次，數(shù)值模擬結(jié)果如圖4。

圖1 σ為變量時數(shù)值模擬結(jié)果

圖2 H為變量時數(shù)值模擬結(jié)果

圖3 r為變量時數(shù)值模擬結(jié)果

圖4 n1、n2為變量時數(shù)值模擬結(jié)果

由圖1-4可得結(jié)論一：次分數(shù)跳-擴散機制下復合期權(quán)的價格隨著σ,H,r的增大而增大，隨著n1、n2的增大而減小。從增減幅度來說，隨著相應變量的增大，圖2復合期權(quán)價格的增幅最大，說明復合期權(quán)價格對H的變化比對其他三個變量更加敏感；另一方面，同等條件下，隨著K的增大，復合期權(quán)價格逐漸減小。

若以T1為變量，令其分別為0.5和1，本模型數(shù)值模擬結(jié)果如表1所示，可得結(jié)論二：同一T1下，該復合期權(quán)的價格隨K的增加而逐漸減小。同K下，該復合期權(quán)的價格隨T1的增大而減小明顯。

表1 復合期權(quán)的數(shù)值模擬結(jié)果

綜上，基于模型對六個變量的數(shù)值模擬結(jié)果可發(fā)現(xiàn)，σ、H、r增大復合期權(quán)價格增大，n1、n2、T1、K增大復合期權(quán)價格減小。

此外，本文分別對標的資產(chǎn)服從幾何布朗運動、分數(shù)布朗運動和分數(shù)跳-擴散的復合期權(quán)進行相應數(shù)值模擬，結(jié)果與本模型的對比分別如圖5、圖6 所示。可知，三個模型的數(shù)值結(jié)果也都符合結(jié)論二的相關(guān)規(guī)律。此外，由圖1-2可看出，相同條件下幾何布朗運動模型的數(shù)值結(jié)果始終最小；分數(shù)跳-擴散模型的數(shù)值與本文模型較為接近；分數(shù)布朗運動模型模擬數(shù)值始終最大。

圖5 T1=0.5時四種模型對比結(jié)果

圖6 T1=1時四種模型對比結(jié)果

數(shù)值模擬結(jié)果的總體趨勢與文獻[13]的結(jié)果相一致，符合復合期權(quán)價格的基本特征。由于跳躍的存在，會使得期權(quán)的實際價格相比于經(jīng)典B-S 模型偏高[15,17]，本文的數(shù)值結(jié)果也與此相符。此外，由于次分數(shù)布朗運動具有協(xié)方差隨時間的增加而迅速衰減、增量在非重疊區(qū)間內(nèi)相關(guān)性較弱的特點，從數(shù)值結(jié)果可以看出相比分數(shù)布朗運動，復合期權(quán)的價格會偏低，這也與實際相符。因此可認為本文模擬結(jié)果較為可靠，次分數(shù)跳-擴散模型應能更準確地刻畫標的資產(chǎn)特征，并具有一定的實踐性。

5 結(jié)束語

本文探究了次分數(shù)跳-擴散模型下復合期權(quán)的定價問題。基于風險中性測度假設，運用伊藤公式和Δ對沖方法，得到了看漲的歐式看漲期權(quán)滿足的偏微分方程。運用泊松過程給出了該模型下復合期權(quán)價格的顯式表達公式。通過數(shù)值計算，探究了多個變量對復合期權(quán)價格的影響，并將本文模型與三個常用模型進行對比，發(fā)現(xiàn)數(shù)值規(guī)律具有一些共性。