《多邊形的面積》整理和復(fù)習(xí)策略

歐陽伯祥

【摘要】小學(xué)數(shù)學(xué)幾何在初步知識整理和復(fù)習(xí)中運(yùn)用動態(tài)幾何，就是為復(fù)習(xí)和整理“幾何可視化”添上了動態(tài)的元素。該思路有力指導(dǎo)幾何知識復(fù)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生借助多邊形的圖形形態(tài)轉(zhuǎn)化和面積公式的原理轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生完成從識“變”，到會“變”，最后學(xué)會用“變”的過程。

【關(guān)鍵詞】多邊形面積；重構(gòu)；知識體系；復(fù)習(xí)課

在多邊形面積復(fù)習(xí)課教學(xué)過程中，教師的目的是讓學(xué)生能夠把握不同多邊形的內(nèi)在聯(lián)系，運(yùn)用多邊形面積計算方法來解決圖形問題。基于此，在新媒體和互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的幫助下，學(xué)生通過小組學(xué)習(xí)的形式，感知圖形的運(yùn)動變化，實現(xiàn)自主認(rèn)知的建構(gòu)。在整理和復(fù)習(xí)中運(yùn)用動態(tài)幾何的觀點(diǎn)，學(xué)生體會多邊形圖形之間是可以相互轉(zhuǎn)化的，多邊形圖形面積公式是可以相互溝通的，讓學(xué)生將所學(xué)的多邊形圖形的面積公式整合統(tǒng)一，形成系統(tǒng)，讓學(xué)生識“變”，會“變”，用“變”，“變”出別樣精彩。

一、在情境中重現(xiàn)，變在開始時

復(fù)習(xí)課展開的重要前提，是將多邊形面積公式進(jìn)行情境化重現(xiàn)。在多邊形復(fù)習(xí)課教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生對頭腦中點(diǎn)狀的知識進(jìn)行整理，情境重現(xiàn)，從而形成體系；同時，要善于抓住學(xué)生容易忽略、錯誤的區(qū)域，重點(diǎn)彌補(bǔ)，讓學(xué)生學(xué)得更完整。同一課堂情境中，新的教學(xué)生成是重要的突破點(diǎn)，教師應(yīng)有意識地捕捉有價值的新生成，借此讓學(xué)生在交流和思考中對數(shù)學(xué)本質(zhì)進(jìn)行內(nèi)化，激活學(xué)生的數(shù)學(xué)方法、意識、思想。本課的導(dǎo)入環(huán)節(jié)如下：

師：同學(xué)們，從PPT上看到了哪些圖形？生：長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形。

師：會連嗎？生：長方形s=ab、正方形s=a2、平行四邊形s=ah、三角形s=ah÷2、梯形s=（a+b）h÷2。

PPT配合學(xué)生回答連線。PPT呈現(xiàn)連線后，再按圖形順序公式一一對應(yīng)圖形。

然后提問：這些面積計算公式是怎樣推導(dǎo)出來的？結(jié)合學(xué)生的回憶，追問：推導(dǎo)過程有什么共同之處？它們之間有什么聯(lián)系嗎？結(jié)合學(xué)生的匯報，適時點(diǎn)撥。在這樣的純數(shù)學(xué)情境中，學(xué)生重溫了多邊形面積的公式推導(dǎo)，喚醒學(xué)生原有的知識積累，以期學(xué)生在更快的時間內(nèi)展開思維，進(jìn)行深度理解和思考。

二、在梳理中重構(gòu)，變在形成中

原本零散呈現(xiàn)的知識，在教師創(chuàng)設(shè)的問題情境中得到了激活，加上適時地梳理和溝通，將呈現(xiàn)溫故而知新之境。多邊形面積的單元復(fù)習(xí)有別于新授和練習(xí)，它側(cè)重于讓學(xué)生實現(xiàn)幾何知識內(nèi)在結(jié)構(gòu)聯(lián)系的新整合和再“生長”，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求。過程中，把教材教厚，把知識變實是基礎(chǔ)，讓知識再“開花”是拓展，是升華。

在梳理環(huán)節(jié)中，引導(dǎo)學(xué)生梳理出平行四邊形、三角形、梯形的面積公式，通過點(diǎn)撥、思考、內(nèi)化，學(xué)生明白這些均由已學(xué)的圖形變形轉(zhuǎn)化得到的。體會不同多邊形之間的內(nèi)在聯(lián)系，且它們是可相互轉(zhuǎn)化的，變在形成中。

生：沒想到以前學(xué)過的幾個面積公式是可以由梯形的面積公式轉(zhuǎn)化而來，我感受到了數(shù)學(xué)的千變?nèi)f化。

師：是的，轉(zhuǎn)化。（板書：轉(zhuǎn)化）利用轉(zhuǎn)化，解決某一數(shù)學(xué)問題時，我們可以將未知的信息轉(zhuǎn)化為已知的條件。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最重要的思想就是“化新為舊”“化繁為簡”“化難為易”。

師：在這個單元中，我們按順序先后認(rèn)識了平行四邊形面積、三角形和梯形的面積計算公式。你是怎樣推導(dǎo)平行四邊形面積公式的？生：通過割補(bǔ)。

師：把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形。（配合PPT呈現(xiàn)，師黑板貼圖）

師：那如何推導(dǎo)三角形面積計算公式？生：兩個相同的三角形拼成一個平行四邊形，算出平行四邊形的面積之后除以2就是一個三角形的面積。

師：把三角形轉(zhuǎn)化成平行四邊形。（PPT配合，師黑板貼圖）

師：梯形面積公式呢？如何推導(dǎo)？生：兩個相同的梯形拼成一個平行四邊形。

（PPT配合）

師：無論是計算長方形面積還是計算平行四邊形面積，我們用的方法都是數(shù)方格。數(shù)小方格，實際上是數(shù)面積單位。其實，計算所有圖形的面積的本質(zhì)都是數(shù)面積單位。

三、對比中提升，變在本質(zhì)上

教學(xué)中，教師先將幾何圖形放在方格紙上觀察、比較、思考、感悟，再用幾何畫板分別展示梯形的上底、下底縮短和變長的過程，可以變成三角形、平行四邊形、長方形、正方形，豐富了學(xué)生的認(rèn)知，學(xué)生的知識面也在這個過程中得到了拓展。

師：通過回顧這些圖形面積計算方法，我們更加清楚了它們之間的聯(lián)系。這些圖形的面積你會算嗎？

PPT補(bǔ)充：小方格均為正方形，邊長是1cm，每個方格表示1cm?。

（? ?）cm?? ? （? ?）cm?? ? ?（? ?）cm?

生：①4×4÷2=8，②2×4=8，③（1+3）×4÷2=8

師：同一幅圖中的三個不同的圖形，為什么面積都是8cm?？生根據(jù)學(xué)習(xí)單小組研究并討論后匯報，生：底和高不變。

教師根據(jù)學(xué)生回答后再酌情總結(jié)。

（PPT呈現(xiàn)題目，可動態(tài)呈現(xiàn)圖形點(diǎn)、邊的移動改變過程）你還會算嗎？

（? ?）cm?? ? ? （? ?）cm?? ? ? （? ?）cm?

生：①4×4÷2=8，②2×4=8，③（1+3）×4÷2=8

師：（PPT呈現(xiàn)）點(diǎn)、邊的位置發(fā)生變化，為什么面積都是8cm?？生：形狀改變，但底和高不變。

教師拋出問題：“看來圖形間是有聯(lián)系的，你能用連線的方式表示這種推導(dǎo)關(guān)系嗎？”在重構(gòu)整合中，學(xué)生對各線知識的緊密聯(lián)系有全新的理解。之后，教師要使用“添加劑”—精心設(shè)計的復(fù)習(xí)資源，將知識彼此間建立關(guān)聯(lián)、融會貫通。學(xué)生在這些復(fù)習(xí)資源的輔助下，能夠形成數(shù)學(xué)知識系與知識域，才能夠在學(xué)習(xí)中豐富認(rèn)識并達(dá)到再“生長”的目的。

接著，教師拋出更高層次的問題：“像這樣，面積和高都不變的圖形還有嗎？不妨轉(zhuǎn)換角度研究，將梯形、三角形、長方形這三種圖形的面積公式聯(lián)系起來。如何聯(lián)系呢？利用極限思想，尋找變量。對比三個公式我們不難發(fā)現(xiàn)，變化的地方是底邊的變化，梯形有上底和下底，三角形僅有一個底，而長方形的是長（上下兩個長）；不變的是都有高（長方形是寬）。那么，我們就可以選擇梯形的一個底當(dāng)作變量，比如：我們選擇上底為變量，將上底趨近于0，也就是上底沒有了，此時梯形就變成了三角形。”如圖所示。

通過梯形上底的變形，使得原來孤立的知識更加連貫系統(tǒng)，從而培養(yǎng)學(xué)生“相互轉(zhuǎn)化、相互依存”的數(shù)學(xué)思維，變在本質(zhì)里。

四、在情境中拓展，變在應(yīng)用中

在數(shù)學(xué)多邊形復(fù)習(xí)課中，需要針對性的練習(xí)來檢測復(fù)習(xí)效果。通過重現(xiàn)舊知、梳理重構(gòu)、對比提升，為多樣化的問題以及問題之間的聯(lián)結(jié)和轉(zhuǎn)換提供了條件，從而實現(xiàn)遷移應(yīng)用，達(dá)到解決問題的目的。如果簡單的學(xué)習(xí)材料有不簡單的教學(xué)設(shè)計，可以讓一道題發(fā)揮最大的教學(xué)功能。引學(xué)生思考，讓學(xué)生的思維活躍起來，同時也讓這堂復(fù)習(xí)課“開花”。

請計算下面圖形的面積。（PPT出示教材中第103頁第2題）

師：（1）請打開學(xué)習(xí)單，先認(rèn)真審題后互相討論一下解題思路，再獨(dú)立完成。過程中，如有問題，小組內(nèi)互相交流、指導(dǎo)。

（2）完成后個別匯報。

（3）請同學(xué)們評價。

（4）總結(jié)方法：做這類題目有什么技巧，注意什么？（生：利用分割法，注意計算要小心。）

師：掌握不錯，我們繼續(xù)挑戰(zhàn)難度。

（PPT出示題目）如圖：梯形、平行四邊形、三角形的面積相等。求平行四邊形的底和三角形的底。（單位：cm）

師：（1）請打開學(xué)習(xí)單，先認(rèn)真審題。

（2）學(xué)生自主完成，教師巡堂中發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生不懂如何求平行四邊形的底和三角形的底。如果遇到困難，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)揮小組作用，請小組內(nèi)互相交流，互相指導(dǎo)幫助，提示：這道題的關(guān)鍵句是哪一句？

（3）完成后個別小組匯報。（匯報出解題過程及解題依據(jù)）學(xué)生匯報時，讓學(xué)生出示第二種方法，用紅筆標(biāo)注上下底并標(biāo)上數(shù)據(jù)。若出現(xiàn)底的單位錯誤，教師提示：底是長度單位，立即糾正。若沒有出現(xiàn)第二種方法，教師進(jìn)行提示引導(dǎo)：還有其他方法嗎？

（4）請同學(xué)們評價。

（5）總結(jié)方法：你們發(fā)現(xiàn)什么？提示發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

（6）同學(xué)們做對的請舉手，鼓勵全體。

估算不規(guī)則圖形的面積：每個方格表示1km?。

（PPT出示題目）估一估，從化溫泉鎮(zhèn)的面積不超過（? ? ?）平方千米。

師：（1）請同學(xué)們觀察圖形，分析題目，“不超過”是什么意思？（生：要估大數(shù)據(jù)。）估算溫泉鎮(zhèn)的面積有什么方法？（生：①數(shù)方格；②看成三角形來計算。）

（2）獨(dú)立完成，教師巡視，在完成的過程中，如果遇到困難，請小組內(nèi)互相交流，互相指導(dǎo)。

（3）完成后個別匯報。

（4）請同學(xué)們評價。

（5）總結(jié)方法：做這類題目有什么技巧，注意什么？（生：利用分割法，注意計算要小心。）

（6）同學(xué)們做對的請舉手，鼓勵全體。

學(xué)生在復(fù)習(xí)中不斷變化和成長，以此為基，教師拉動圖形，使其不斷變化，讓學(xué)生在觀察圖形的變化中，感悟了內(nèi)在聯(lián)系以及圖形的本質(zhì)。最后，在應(yīng)用時，梯形面積計算公式成了百變應(yīng)用公式。

五、在總結(jié)中提升：變在“歸一”中

數(shù)往知來，溫習(xí)舊知，收獲新知。變發(fā)生在復(fù)習(xí)時，變存在于梳理中。數(shù)學(xué)，“數(shù)”是本源，形而上“學(xué)”，教學(xué)中要“追其本，溯其源，引其思，扎其根”，“變”而不變。

1.求通

回顧整個小學(xué)階段數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生日常所學(xué)的知識是零碎的，開始階段只是將所學(xué)的平行四邊形、三角形和梯形（或者加上三年級所學(xué)的長方形、正方形）的面積計算公式進(jìn)行了簡單的羅列，它們都是獨(dú)立存在的，各圖形之間沒有建立起聯(lián)系。通過問題引領(lǐng)使之系統(tǒng)化、條理化、清晰化，形成較為完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

2.求構(gòu)

借助前測中多種形式的梳理，在對比中提升，構(gòu)建一個網(wǎng)絡(luò)。如上所述，除了具體的知識點(diǎn)，還需以能夠連接整個知識的核心點(diǎn)，如教材的序列、轉(zhuǎn)換思想等，以此作為立足點(diǎn)，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生探索知識之間的內(nèi)在關(guān)系，讓學(xué)生反思知識點(diǎn)，形成知識鏈，以思考導(dǎo)向形式將發(fā)展變化的知識鏈結(jié)成一個知識網(wǎng)絡(luò)，構(gòu)建脈絡(luò)清晰的知識板塊。這種深入的結(jié)構(gòu)性的思考導(dǎo)向，不僅是重建知識的脈絡(luò)，更是重構(gòu)學(xué)生的思考方式。求構(gòu)就是以結(jié)構(gòu)性的知識網(wǎng)絡(luò)來促成對知識價值的深入理解。

3.求悟

在原來的知識網(wǎng)絡(luò)上，再進(jìn)一步創(chuàng)新性利用知識的共同點(diǎn)，直達(dá)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想本質(zhì)，從特殊到一般規(guī)律，舉一反三。最后在基礎(chǔ)練習(xí)中，變一變，可以有不同的應(yīng)用，不同思維層次的孩子都有發(fā)揮的空間，動態(tài)地感受知識本質(zhì)之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)一步體會轉(zhuǎn)化思想，為將來的幾何學(xué)習(xí)夯實基礎(chǔ)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想。

總之，復(fù)習(xí)是師生、生生互相交流、回憶、梳理、糾錯、提升的過程。基于知識網(wǎng)下的結(jié)構(gòu)性重建復(fù)習(xí)，能以一種超脫的姿態(tài)助力學(xué)生廣度、深度的悟得。這樣的幾何復(fù)習(xí)課，除了要做“理”，把知識“縱成鏈”“聯(lián)成網(wǎng)”再升華“凝成線”從而讓學(xué)生識“變”，用“變”和會“變”，變出精彩。

【參考文獻(xiàn)】

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