一種融合邏輯回歸的麻雀搜索算法研究

彭一凱 蒲紅平

摘? 要：為了改善麻雀搜索算法收斂速度緩慢、局部搜索能力較弱等問(wèn)題，提出了一種融合邏輯回歸的麻雀搜索算法。文章通過(guò)引入Sine-Sine混沌、邏輯回歸模型、步長(zhǎng)因子組合策略來(lái)改進(jìn)麻雀搜索算法的不足之處。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該算法具有更好的收斂速度、尋優(yōu)精度和穩(wěn)定性的能力。同時(shí)，利用該算法預(yù)估Taylor定位算法的初始值，解決了TayLor的初值難以選擇問(wèn)題，進(jìn)一步驗(yàn)證了改進(jìn)策略的有效性。

關(guān)鍵詞：麻雀搜索算法；Sine-Sine混沌；邏輯回歸模型；步長(zhǎng)因子

中圖分類(lèi)號(hào)：TP18? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? 文章編號(hào)：2096-4706（2023）08-0001-07

Abstract： In order to improve the slow convergence speed and weak local search ability of Sparrow Search Algorithm， a Sparrow Search Algorithm incorporating Logic Regression is proposed. This paper improves the shortcomings of the Sparrow Search Algorithm by introducing Sine-Sine chaos， Logical Regression model and step factor combination strategy. The experimental results show that the algorithm has better convergence speed， optimization accuracy and stability. At the same time， the algorithm is used to estimate the initial value of Taylor location algorithm， which solves the problem that it is difficult to select the initial value of TayLor， and further verifies the effectiveness of the improved strategy.

Keywords： Sparrow Search Algorithm; Sine-Sine chaos; Logistic Regression model; step factor

0? 引? 言

針對(duì)不同的優(yōu)化問(wèn)題，眾多學(xué)者提出了相關(guān)算法以及改進(jìn)算法[1-4]。尤其，近年來(lái)群體智能優(yōu)化算法的效果被大眾所認(rèn)知，進(jìn)而越來(lái)越多新的群體智能算法被提出，如蝴蝶優(yōu)化算法（Butterfly Optimization Algorithm， BOA）[5]、蝗蟲(chóng)優(yōu)化算法（Grasshopper optimization algorithm， GOA）[6]、麻雀搜索算法（Sparrow search algorithm， SSA）[7]等。智能優(yōu)化算法綜述[8]對(duì)近年6種算法進(jìn)行基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)試驗(yàn)并分析，它的結(jié)論表明SSA在優(yōu)化問(wèn)題的求解精度、收斂速度、執(zhí)行時(shí)間等方面具有極好的效果。

SSA的尋優(yōu)過(guò)程分為探索和開(kāi)發(fā)兩個(gè)階段。探索階段是以隨機(jī)性方式進(jìn)行全局搜索，進(jìn)而達(dá)到解空間的區(qū)域劃分。開(kāi)發(fā)階段是對(duì)探索階段的劃分區(qū)域進(jìn)行更精細(xì)的局部搜索，從而獲得更高精度的解。從兩個(gè)過(guò)程中不難發(fā)現(xiàn)，探索階段容易導(dǎo)致解的精度下降及收斂速度降低，而開(kāi)發(fā)階段又易使解陷入局部最優(yōu)。

針對(duì)上述問(wèn)題，呂鑫等[9]通過(guò)Tent混沌映射、高斯變異和Tent混沌擾動(dòng)等方式來(lái)克服算法易陷入局部極值點(diǎn)的缺陷。歐陽(yáng)城添等[10]通過(guò)折射反向?qū)W習(xí)、瘋狂算子等方式來(lái)尋找高質(zhì)量的解。文獻(xiàn)[11]引入可變螺旋因子減少越界個(gè)體的數(shù)量，保證算法細(xì)致靈活的搜索能力，同時(shí)以逐維鏡像學(xué)習(xí)策略來(lái)克服算法易陷局部極值點(diǎn)的缺點(diǎn)。這些改進(jìn)措施在一定程度上提高了算法的尋優(yōu)能力，但依然有不足之處，例如Tent混沌遍歷性較弱；瘋狂算子和逐維鏡像學(xué)習(xí)易導(dǎo)致有效解的丟失。因此，本文提出一種融合回歸模型的麻雀搜索算法（Sparrow search algorithm with logistic regression， SSAWLR），首先通過(guò)朱明豪[12]提到的Sine-Sine混沌（SSM）映射初始化種群，使得初代麻雀?jìng)€(gè)體具有更高的隨機(jī)性及遍歷性；再用Logit模型自適應(yīng)調(diào)整發(fā)現(xiàn)者和跟隨者的數(shù)量，進(jìn)而更加靈活的平衡探索和開(kāi)發(fā)兩個(gè)階段；同時(shí)引入步長(zhǎng)因子增加發(fā)現(xiàn)者的跳躍步長(zhǎng)，增加算法高精度解的搜索能力。最后，選取粒子群算法（PSO）[13]、鯨魚(yú)優(yōu)化算法（WOA）[14]、灰狼優(yōu)化算法（GWO）[15]、SSA四種算法在15個(gè)常用基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行仿真試驗(yàn)，并將SSAWLR用于Taylor迭代初值的估計(jì)問(wèn)題[16]，驗(yàn)證了本文算法的可行性和有效性。

1? SSA

SSA是通過(guò)模擬麻雀覓食行為和反捕食行而抽象出來(lái)的一種群體智能優(yōu)化算法。其仿生原理是：用搜索空間中的點(diǎn)模擬自然界中的麻雀?jìng)€(gè)體，將搜索優(yōu)化過(guò)程模擬成麻雀覓食和反捕食的過(guò)程，將所求問(wèn)題的適應(yīng)度函數(shù)值度量成麻雀種群個(gè)體攜帶的能量高低，將保留高能量個(gè)體過(guò)程類(lèi)比為搜索和優(yōu)化過(guò)程中保留最優(yōu)可行解的過(guò)程。

麻雀?jìng)€(gè)體在搜索空間的位置信息可用矩陣，其中 表示第i只麻雀的m維位置信息，則它們對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度函數(shù)為 。

麻雀搜索算法中的種群以不同工作機(jī)制搜索最優(yōu)解，并根據(jù)不同機(jī)制分別劃分為發(fā)現(xiàn)者、跟隨者、預(yù)警者。發(fā)現(xiàn)者為種群提供搜索方向，跟隨者為種群提供精細(xì)搜索，預(yù)警者為種群增加跳出局部最優(yōu)能力。發(fā)現(xiàn)者占種群總數(shù)的10%～20%，其位置更新公式為：

式（1）中：t表示當(dāng)前迭代次數(shù)；T表示最大的迭代次數(shù)；α表示（0，1]的均勻隨機(jī)數(shù)；Q表示服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)；L表示大小為1×d且元素均為1的矩陣；R表示[0，1]的一個(gè)隨機(jī)數(shù)，即警戒值；ST表示[0.5，1]的一個(gè)自選安全值。當(dāng)R＜ST時(shí)，表明周?chē)鸁o(wú)捕食者，發(fā)現(xiàn)者能對(duì)該區(qū)域更精細(xì)化搜索。當(dāng)R＞ST時(shí)，表明發(fā)現(xiàn)捕食者，發(fā)現(xiàn)者會(huì)帶領(lǐng)種群前往更安全的區(qū)域。

跟隨者占剩余種群的數(shù)量，其位置更新公式為：

式（2）中：xp表示當(dāng)前發(fā)現(xiàn)者占據(jù)的最優(yōu)位置；xworst是當(dāng)前全局最差位置。A表示一個(gè)只含有1或-1元素的1×d維矩陣，其中A+=AT（AAT）-1。n表示種群數(shù)量，當(dāng)i＞n/2時(shí)，跟隨者沒(méi)有獲取食物需要自己尋找食物獲取能量；當(dāng)i≤n/2，跟隨者追尋發(fā)現(xiàn)者的方向與之爭(zhēng)奪更高能量的食物。

預(yù)警者從整個(gè)種群中隨機(jī)挑選，占群體總數(shù)的10%～20%，其位置更新公式為：

式（3）中： 表示當(dāng)前全局最優(yōu)位置。β表示控制步長(zhǎng)的參數(shù)，它是服從均值為0，方差為1的正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)。K表示屬于[-1，1]的隨機(jī)數(shù)，它控制著麻雀運(yùn)動(dòng)的方向以及步長(zhǎng)。ε是一個(gè)避免分母為0的極小值。fi、fg、fw分別表示當(dāng)前第i只麻雀?jìng)€(gè)體的適應(yīng)度值、麻雀?jìng)€(gè)體中最優(yōu)適應(yīng)度值以及麻雀?jìng)€(gè)體中最差適應(yīng)度值。

2? SSAWLR

2.1? Sine-Sine混沌映射

智能優(yōu)化算法原理是通過(guò)迭代更新初始種群的方式逼近目標(biāo)函數(shù)的解，所以算法尋優(yōu)效果的好壞與初始種群是否均勻密不可分。在SSA中，采用隨機(jī)方式映射種群，這容易造成種群分布不均的情景。相比隨機(jī)映射來(lái)說(shuō)，混沌映射具有遍歷性、隨機(jī)性、普適性等特點(diǎn)，且它是一種在有限區(qū)域內(nèi)永不重復(fù)的映射。所以，通過(guò)混沌映射得到的初代種群，不僅能擁有豐富的多樣性，還能提高算法的全局尋優(yōu)性能。

典型的混沌模型有Logistic映射和Tent映射等，而它們不僅穩(wěn)定性先天不足，且中間和兩邊密度分布不均勻的缺陷。SSM是具有魯棒性的特殊映射，該映射具有分布均勻和穩(wěn)定性好等優(yōu)點(diǎn)。SSM映射的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

yn+1=（u·sin（π·c1·yn）+（1-u）·sin（π·c2·yn））mod1? ?u∈[0，1]（4）

其中，u是整個(gè)系統(tǒng)的參數(shù)，本文取值為0.75。ci（i={1，2}）是系統(tǒng)的控制參數(shù)，分別取值50.96和50.32。mod是取余數(shù)。

本文采用SSM映射SSA的初始種群。由式（4）可得，SSAWLR的初始種群公式為：

xi，d=xl+（xu-xl）·yi，d? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（5）

其中：xl、xu分別表示搜索范圍的下限以及上限，yi，d由式（5）產(chǎn)生的混沌值。

Logistic映射、Tent映射和SSM映射分別進(jìn)行1 000次迭代運(yùn)算，結(jié)果如圖1所示。Logistic函數(shù)迭代結(jié)果呈現(xiàn)為明顯的凹槽分布，其初始種群極易分布在上下界周?chē)ent函數(shù)迭代結(jié)果分布較為均勻，但兩頭的選取次數(shù)依然較高，初始種群均勻性較差，易導(dǎo)致初代種群聚集在邊界，影響尋優(yōu)性能。而SSM函數(shù)迭代結(jié)果分布更加均勻，優(yōu)于前兩種映射迭代結(jié)果。

2.2? Logit模型

SSA中的發(fā)現(xiàn)者和跟隨者的數(shù)量是固定不變的，其中發(fā)現(xiàn)者的職責(zé)是指明種群前進(jìn)的方向，但到后期并不能提高尋優(yōu)精度，而跟隨者是依據(jù)發(fā)現(xiàn)者的方向進(jìn)行局部搜索，前期更多的跟隨者反而會(huì)使全局搜索能力下降。針對(duì)這種情景，可以采用動(dòng)態(tài)調(diào)整策略來(lái)改變它們各自的數(shù)量。Logit模型曲線具有兩頭較平緩，中間陡峭的特點(diǎn)，這能滿足算法迭代前期發(fā)現(xiàn)者數(shù)量多且緩慢下降，后期發(fā)現(xiàn)者數(shù)量少的需求，因此本文借鑒了該模型曲線。動(dòng)態(tài)調(diào)整策略的公式為：

式（6）中：k1、k2表示控制參數(shù)，分別控制P的取值上限以及取值下限；t為當(dāng)前迭代次數(shù)；tmax是最大迭代次數(shù)。在本文中取值k1=1，k2=0.1。

針對(duì)動(dòng)態(tài)調(diào)整公式的仿真如圖2所示。由圖可知，前期發(fā)現(xiàn)者在麻雀總數(shù)中占比高，中期發(fā)現(xiàn)者數(shù)量陡降，后期發(fā)現(xiàn)者占比小且穩(wěn)定。

2.3? 步長(zhǎng)因子

針對(duì)麻雀搜索算法的發(fā)現(xiàn)者的位置更新公式（見(jiàn)式（1））中的? 進(jìn)行迭代仿真。假設(shè)種群規(guī)模為30，迭代次數(shù)為200次。仿真結(jié)果如圖3所示。

從仿真結(jié)果可得，指數(shù)項(xiàng)高密度區(qū)間是[0.8，1]，這導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)者的移動(dòng)步長(zhǎng)較短，影響了算法收斂速度。因此，針對(duì)此問(wèn)題，在原有公式基礎(chǔ)上增加了步長(zhǎng)因子λ。改進(jìn)的發(fā)現(xiàn)者位置更新公式為：

針對(duì)改進(jìn)后的發(fā)現(xiàn)者位置更新公式（如式（7）所示）中的? 進(jìn)行迭代仿真。假設(shè)條件相同，仿真結(jié)果如圖4所示。由圖可知，改進(jìn)后的指數(shù)項(xiàng)密度區(qū)間為[0.6，1]，更寬的密度區(qū)間有利于搜索空間更均勻劃分，加強(qiáng)了算法局部開(kāi)發(fā)能力。

2.4? 越界處理方式

越界處理通常有2種方式：1）邊界值替換越界值；2）隨機(jī)回歸值替換越界值。方式1）會(huì)導(dǎo)致解容易聚集于邊界，降低了尋優(yōu)效率以及精度。方式2）雖然解決了邊界聚集問(wèn)題，但也丟失了麻雀?jìng)€(gè)體位置更新的趨勢(shì)。為了解決兩種方式的各自缺陷，本文將兩種方法進(jìn)行結(jié)合，越界處理公式為：

式（9）中：h是一個(gè)[0，1]區(qū)間的隨機(jī)數(shù)。該方法既能讓部分越界值的回歸具有一定的彈性，還能使得其他越界值保留位置更新趨勢(shì)，提升了麻雀?jìng)€(gè)體的多樣性。

2.5? 算法流程

算法流程圖如圖5所示。

2.6? 時(shí)間復(fù)雜度分析

時(shí)間復(fù)雜度是衡量算法性能的重要指標(biāo)，能直觀表達(dá)算法的運(yùn)算時(shí)間。

假設(shè)原算法的種群規(guī)模為P，最大迭代次數(shù)為N，維數(shù)為D，那么原算法的時(shí)間復(fù)雜度為O（P·N·D）。從宏觀上看，改進(jìn)后的麻雀算法并沒(méi)有改變算法的本身結(jié)構(gòu)和循環(huán)過(guò)程，所以它的時(shí)間復(fù)雜度也是O（P·N·D），與原算法時(shí)間復(fù)雜度一致。從微觀上看，混沌映射增加了初始種群時(shí)算法的復(fù)雜度，Logit模型以及步長(zhǎng)因子增加了發(fā)現(xiàn)者的算法復(fù)雜度，但這些改進(jìn)策略的引入并沒(méi)有增加算法的數(shù)量級(jí)，所以時(shí)間復(fù)雜度還是O（P·N·D）。

3? 算法性能測(cè)試

3.1? 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

為了驗(yàn)證SSAWLR的性能及可行性，本文選取PSO、GWO、WOA、SSA四種算法在15個(gè)常用的基本測(cè)試函數(shù)進(jìn)行對(duì)比測(cè)試。算法參數(shù)在表1中列出，15個(gè)測(cè)試函數(shù)在表2中列出，其中F1～F5的單峰值函數(shù)測(cè)試算法的精度以及收斂能力，F(xiàn)6～F9的多峰值函數(shù)和F10～F15的固定維函數(shù)能測(cè)試算法跳出局部極值點(diǎn)的能力。每個(gè)算法的種群規(guī)模和最大迭代次數(shù)分別為30和1 000，為了避免偶然因素影響，每個(gè)算法分別獨(dú)立運(yùn)行30次計(jì)算其最佳值（best）、平均值（Ave）、標(biāo)準(zhǔn)值（Std），每個(gè)指標(biāo)的最優(yōu)值以粗體處理，最后進(jìn)行實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析。

3.2? 算法性能對(duì)比分析

由表3可知，SSAWLR在大部分函數(shù)中排名第一，尤其在函數(shù)F7、F9、F12、F14、F15中不僅尋到了理論最優(yōu)值而且其方差最小，可見(jiàn)SSAWLR具備很好的尋優(yōu)能力。SSAWLR對(duì)比其他算法來(lái)說(shuō)，單峰值函數(shù)中除函數(shù)F5外的優(yōu)化精度高出了大量數(shù)量級(jí)，說(shuō)明其具有很好的尋優(yōu)精度；多峰值函數(shù)中除函數(shù)F6外最優(yōu)值最小，可見(jiàn)其具有良好的跳出局部極值的能力。固定維函數(shù)中除函數(shù)F11外，計(jì)算的方差最小，說(shuō)明其具有良好的穩(wěn)定性。綜上分析，SSAWLR算法具有良好的性能及可行性且它的改進(jìn)策略是有效的。

3.3? 算法收斂曲線分析

收斂曲線能夠更加直觀地展示算法收斂的速度以及精度。由圖6可知，SSAWLR算法在大多數(shù)測(cè)試函數(shù)中收斂的速度最快以及精度最高。從單峰值函數(shù)來(lái)看，SSAWLR均能快速迭代并獲得最優(yōu)值，可見(jiàn)其具有較快的收斂速度。除函數(shù)F6外的剩余測(cè)試函數(shù)來(lái)看，SSAWLR依然具有更好的尋優(yōu)能力，并找到最好的適應(yīng)度值。尤其在函數(shù)F7、F8中，SSAWLR均能在迭代50次之前到達(dá)理論最優(yōu)值。綜上，SSAWLR算法不僅具有快速的收斂速度還有更高的收斂精度。

4? 基于SSAWLR和Taylor算法的協(xié)同定位方法

基于到達(dá)時(shí)間差（Time Difference of Arrival， TDOA）的迭代定位算法中以Taylor算法最為經(jīng)典。該算法思想是通過(guò)不斷迭代來(lái)修正待定目標(biāo)位置的估計(jì)值，直到估計(jì)值逼近目標(biāo)的真實(shí)位置坐標(biāo)，所以它的精度極易受估計(jì)值的影響。本文采用SSAWLR進(jìn)行估計(jì)值的預(yù)估，然后將結(jié)果帶入Taylor中進(jìn)行定位計(jì)算。本文適應(yīng)度函數(shù)設(shè)計(jì)如式（12），評(píng)價(jià)函數(shù)則以均方根誤差式（13）作為定位優(yōu)劣的測(cè)度：

其中f1=p2-p1-r2，1，f2=p3-p1-r3，1，f3=p4-p1-r4，1，f4=p5-p1-r5，1。pi（i=1，2，3，4，5）是目標(biāo)估計(jì)值到基站的距離，ri，1是目標(biāo)到基站i與基站1距離差的測(cè)量值。（xkr，ykr）是第k個(gè)目標(biāo)真實(shí)坐標(biāo)，（xk，yk）是計(jì)算出的第k個(gè)估計(jì)位置，n是目標(biāo)的個(gè)數(shù)。

為了驗(yàn)證本文所提SSAWLR-Taylor算法的性能，因此，與Chan[17]、Taylor、SSA_Taylor進(jìn)行仿真對(duì)比。仿真實(shí)驗(yàn)基站坐標(biāo)為（0，0）、、、、，并假設(shè)滿足均值為0，且標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.01、0.02、0.03、0.04、0.05、0.06、0.07、0.08、0.09、0.10的具有理想高斯分布特性的測(cè)量誤差。基站（0，0）作為中心基站，并以它為圓心，在其半徑為7內(nèi)隨機(jī)生成100個(gè)目標(biāo)坐標(biāo)，同時(shí)把目標(biāo)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)分別加上[-1，1]區(qū)間上的隨機(jī)數(shù)作為Yaylor定位算法的初值。SSA和SSAWLR麻雀種群規(guī)模為Num=100，最大迭代次數(shù)Max=50次，目標(biāo)函數(shù)維度Dim=2，邊界的上界和下界分別為Ub=7，Lb=-7，上述物理量的量綱單位均是千米。圖6是不同測(cè)量誤差（SD）下100個(gè)目標(biāo)的均方根誤差（RMSE）對(duì)比。

從圖7可知，在不同測(cè)量誤差下，即使目標(biāo)的初次估計(jì)值距離目標(biāo)坐標(biāo)1 km內(nèi)變化，Taylor算法的均方根誤差依然高于Chan算法，更何況初次估計(jì)值離目標(biāo)較遠(yuǎn)時(shí)，Taylor就更難完成目標(biāo)坐標(biāo)定位。而SSA_Taylor和SSAWLR_Taylor的定位效果優(yōu)于Taylor算法，它們的均方根誤差和閉式解的Chan算法接近，說(shuō)明它們都提供了高質(zhì)量的初代估計(jì)值，進(jìn)而很大程度上增加了Taylor算法的定位精度。由此可見(jiàn)，SSAWLR和SSA分別與Taylor算法的融合是有效可行的，并且使得Taylor在有限次迭代內(nèi)具有閉式解的精度。

5? 結(jié)? 論

本文提出了一種融合邏輯回歸的麻雀算法，該算法引入了四種策略：SSM映射、邏輯回歸函數(shù)、步長(zhǎng)因子、改進(jìn)的邊界控制。該算法克服了初代種群多樣性欠缺、發(fā)現(xiàn)者和跟隨者數(shù)量利用率低及收斂速度緩慢的缺陷。測(cè)試函數(shù)結(jié)果反應(yīng)了該算法有良好的性能和普適性。Taylor初值估計(jì)的結(jié)果表明了該算法具有好的實(shí)用性。

SSAWLR_Taylor有很好的優(yōu)化性能，但仍有不足之處。比如算法跳出極值點(diǎn)的能力較弱及某些性能指標(biāo)較差且不穩(wěn)定。針對(duì)不足之處，今后還需要做一些工作：一是，如何增強(qiáng)算法的全局開(kāi)發(fā)能力。二是，如何提高算法的穩(wěn)定性。三是，如何有效利用越界個(gè)體攜帶的信息。

參考文獻(xiàn)：

[1] CHEN J F，WANG L，PENG P. A collaborative optimization algorithm for energy-efficient multi-objective distributed no-idle flow-shop scheduling [J/OL].Swarm and Evolutionary Computation，2019，50（C）：100557[2022-08-09].https：//doi.org/10.1016/j.swevo.2019.100557.

[2] LIU W，GONG Y，CHEN W，et al. Coordinated Charging Scheduling of Electric Vehicles：A Mixed-Variable Differential Evolution Approach [J].IEEE Transactions on Intelligent Transportation Systems，2020，21（12）：5094-5109.

[3] ZHOU S，XING L，ZHENG X，et al. A Self-Adaptive Differential Evolution Algorithm for Scheduling a Single Batch-Processing Machine With Arbitrary Job Sizes and Release Times [J].IEEE Transactions on Cybernetics，2021，51（3）：1430-1442.

[4] XUE Y，ZHANG Q，ZHAO Y. An improved brain storm optimization algorithm with new solution generation strategies for classification [J/OL].Engineering Applications of Artificial Intelligence，2022，110：104677[2022-08-09].https：//doi.org/10.1016/j.engappai.2022.104677.

[5] ARORA S，SINGH S. Butterfly optimization algorithm：a novel approach for global optimization [J].Soft Computing，2019，23（3）：715-734.

[6] ARORA S，ANAND S. Chaotic grasshopper optimization algorithm for global optimization [J].Neural Computing and Applications，2019，31（8）：4385-4405.

[7] XUE J，SHEN B. A novel swarm intelligence optimization approach：sparrow search algorithm [J].Systems Science & Control Engineering，2020，8（1）：22-34.

[8] 張九龍，王曉峰，蘆磊，等.若干新型智能優(yōu)化算法對(duì)比分析研究 [J].計(jì)算機(jī)科學(xué)與探索，2022，16（1）：88-105.

[9] 呂鑫，慕曉冬，張鈞，等.混沌麻雀搜索優(yōu)化算法 [J].北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，2021，47（8）：1712-1720.

[10] 歐陽(yáng)城添，朱東林，王豐奇，等.基于折射麻雀搜索算法的無(wú)人機(jī)路徑規(guī)劃 [J].電光與控制，2022，29（6）：25-31.

[11] YAN S，YANG P，ZHU D，et al. Improved Sparrow Search Algorithm Based on Iterative Local Search [J].Computational Intelligence and Neuroscience，2021，2021：1-31.

[12] 朱明豪.基于1D離散混沌映射的組合系統(tǒng)研究 [D].長(zhǎng)沙：湖南大學(xué)，2020.

[13] KENNEDY J，EBERHART R C. A discrete binary version of the particle swarm algorithm [C]//1997 IEEE International conference on systems，man，and cybernetics. Computational cybernetics and simulation. IEEE，1997：4104-4108.

[14] MIRJALILI S，LEWIS A. The whale optimization algorithm [J].Advances in Engineering Software，2016，95：51-67.

[15] MIRJALILI S，MIRJALILI S M，Lewis A. Grey Wolf Optimizer [J].Advances in Engineering Software，2014，69：46-61.

[16] FOY W H. Position-Location Solutions by Taylor-Series Estimation [J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，1976，AES-12（2）：187-194.

[17] CHAN Y T，HO K C. A simple and efficient estimator for hyperbolic location [J].IEEE Transactions on Signal Processing，1994，42（8）：1905-1915.

作者簡(jiǎn)介：彭一凱（1990—），男，苗族，湖南懷化人，碩士研究生在讀，主要研究方向：目標(biāo)識(shí)別與跟蹤、多點(diǎn)定位；蒲紅平（1975—），男，漢族，四川廣安人，副教授，博士，主要研究方向：大數(shù)據(jù)分析、智能控制、智能信號(hào)分析與處理、工業(yè)自動(dòng)化研究與工程應(yīng)用。