影響薩克遜碗下沉時間各因素的研究

雷玉林 楊成曉 張震 周汪 劉慧

摘? 要：為了探究利用底部有孔的碗來進行計時這種方式的效果，文章以2020年全國大學生物理學術競賽（CUPT）“撒克遜的碗”這一題目為基礎，基于薩克遜碗的運動學模型和流體模型得出該碗下落軌跡方程，再利用MATLAB軟件進行了方程的求解預測理論軌跡，使用Tracker軟件對全過程實際運動趨勢進行了采集并與理論趨勢對比。并且還研究了碗底部孔的直徑、碗的直徑、液體的密度、碗的質量以及碗進入水中的高度對碗的下沉時間的影響。最終理論和實際符合較好。

關鍵詞：計時；孔；液體；下沉時間；MATLAB

中圖分類號：TP39；O351.2 文獻標識碼：A? 文章編號：2096-4706（2023）04-0139-04

Research on the Factors Affecting the Sinking Time of Saxon Bowl

LEI Yulin1， YANG Chengxiao1， ZHANG Zhen1， ZHOU Wangyue2， LIU Hui1

（1.School of Advanced Manufacturing Engineering， Hefei University， Hefei? 230601， China;

2. School of biology， food and environment， Hefei University， Hefei? 230601， China）

Abstract： In order to explore the effect of timing with a bowl with a hole at the bottom， based on the topic “Saxon Bowl” of the 2020 National University Physics Academic Competition （CUPT）， the paper obtains a formula of the bowl's falling trajectory based on the kinematics model and fluid model of the Saxon bowl. MATLAB software is used to solve the formula and predict the theoretical trajectory. The Tracker software is used to collect the actual movement trend of the whole process and compare it with the theoretical trend. The effect of the diameter of the bowl with a hole at the bottom， the diameter of the bowl， the density of the liquid， the mass of the bowl and the height of bowl into water on the sinking time of the bowl is also studied.

Keywords： timing; hole; liquid; sinking time; MATLAB

0? 引? 言

我們每天都離不開計時，如今我們可以通過手機來隨時隨地掌握時間，合理安排我們每一天的生活與學習。在一些比賽項目中，也有各種計時方法來確定每個人的成績。相對于現在，古時人們會利用物理規律來計時的裝置不在少數，例如我們所熟知的沙漏、香、刻漏等。

碗的來源可以追溯新石器時代，聰明的撒克遜人會在一個碗的底部打開洞孔，水流會通過該洞進入到碗中，此時碗和碗中的水構成了一個新的整體，直到水完全淹沒碗體，碗會沉入水中。撒克遜人通過觀察該碗完全沉入水中來記錄時間[1]。并且可以制作不同種的碗，來達到記錄不同時間的效果。這種計時方式具有操作簡便、制造方便、可重復使用的優勢，在當地普遍使用。其實這個現象在我們日常并不少見，小到孩童將物體扔入水中來觀察物體沉入水底，大到船只的沉落過程。均與該裝置有一定關系。近年來，人們對該現象也做了一些探索。王幸等人將其視為簡諧振動并考慮液體的黏滯阻力修正來探究碗下沉時的情況[2]。王澳等人使用了牛頓運動定律和伯努利方程，通過對撒克遜碗進行了建模分析，得出了碗的下沉時間與各種因素之間的關系[3]。鐘書河山和李辰然等人也做了類似的研究[4，5]。目前盡管對撒克遜的碗的研究已經取得一定的結果，但是對于其確切的下沉過程的問題仍值得進一步研究。

本文將基于撒克遜人所用的計時碗為模型，以2020年全國大學生物理學術競賽（CUPT）中的一道探究撒克遜碗方面的試題為依據，并考慮影響碗下沉的相關因素，通過該系統的運動學模型和流體模型相結合來進一步研究下沉的碗的大致軌跡以及一些重要變量對沉沒時間的關系的問題。同時利用多款軟件進行輔助：并且利用MATLAB軟件進行了方程的求解預測理論軌跡，使用Tracker軟件對全過程實際運動趨勢進行了采集并與理論趨勢對比使用Origin進行作圖分析變量之間的數學關系。

1? 理論模型

一個底部有洞的碗放在水中會下沉，撒克遜人用這個裝置來計時。由于原本系統包含變量較多，為了便于研究碗下落的時間，我們可以忽略一些影響不大的變量，將碗簡化為下部中心有一個半徑不同的圓形小孔的圓柱形來展開研究。本次實驗所采用的實驗器材如圖1所示，我們采用了不同規格的碗來進行實驗。忽略碗本身厚度，我們可以建立如圖2所示的物理模型。其中碗的質量為M、碗內的水的質量為m、碗的直徑為d、孔的直徑為b、碗所受的重力為G、碗陷入水槽的深度為H、碗內水的深度為h、碗和碗內的水所受的浮力為F浮、液體的密度為ρ。

我們通過一些基本的運動定律，可以建立通過建立起我們的第一個運動學模型，如圖2所示。

動力學模型可以用牛頓運動學定律來分析。根據物理學教材中的定律[6]中的浮力公式，我們把碗和已經進入碗中的水可以看成一個整體，易得該整體所受浮力F為：

（1）

重力加速度設為g，此時系統所受的重力G為：

（2）

根據牛頓第二定律F=ma，a又等于位移的二階導數，根據受力關系我們可得碗第一個動力學關系方程：

（3）

我們借助流體學的相關知識，可以建立該系統的第二個流體模型，如圖3所示。

設進水前的流速為v0，雖然孔底的水會因為碗的上下波動而產生一定的初速度，但由于水流進入孔之后會有較大的加速度，故該速度和進入孔之后的速度相差較大。假定水進入孔時的速度為0，進水后的流速為v1；我們根據流體力學教材所提供的流體力學的方程[7]，再利用連續性方程得到式（4）：

（4）

忽略碗的厚度，由于（鹽）水的粘度較低，將其簡化為理想液體，我們可以通過流體學中由簡化的伯努利方程[8]得到式（5）：

（5）

其中為p1小孔處的壓強，p0為碗底處的壓強，代入方程式（5）可得到我們想要的第二個方程式，即流體學關系方程：

（6）

最終我們可以通過運動學模型和流體模型得到（3）和（6）兩個式子，其中只有h和H兩個未知數，因此我們可以聯立這兩個方程并通過MATLAB可對該方程進行求解。為了能夠得出碗的下沉軌跡，我們預設碗的質量M為500 g、碗的半徑為30 mm、孔的半徑為5 mm，并使用MATLAB軟件對該方程求解，可以得到如圖4所示的圖像。由圖4中我們可以看出，h和H均和時間成正相關；并且碗的加速度震蕩減小。因此根據該結論，我們可以通過研究碗陷入水槽的深度H或者碗內水的深度h為來計時。

2? 實驗分析

2.1? 下沉軌跡研究

我們將實際該規格的碗放入水中進行實驗。由于光線等外界因素，碗內水和碗的邊緣界限難以界定，故碗內水的深度h檢測起來誤差會比較大，與是我們利用Tracker軟件的來持續追蹤了該碗的下落過程中碗陷入水槽的深度H的變化，得到了圖5數據。前期碗的振蕩幅度較大，這個現象和前期加速度較大相吻合，然后由于加速度震蕩減小，振幅越來越少自至穩定。由于前期釋放時難以保持碗的完全平衡，故有一定偏差。后期受的外界因素影響較小，可見其軌跡和預測的趨勢基本相同，我們可以得出該經驗公式具有一定的適用性。

2.2? 影響下沉時間相關因素的研究

我們在完成對碗下沉的軌跡的研究之后，由于各變量之間關系復雜，對碗運動軌跡的影響我們難以探索。所以我們接下來，我們將使用控制變量法來研究一些主要變量對碗下落的時間的影響。由于我們的模型只研究了碗沒入水面的過程，對于碗完全沒入水中直到碗底接觸到盛水容器的底部這一過程并未研究，并且實際上這一過程相對于在液面上方而言，耗時也極短，所以為了確保實驗的合理性，我們把碗底的邊緣完成沒入水下做為碗完成下落的標志。下文中的下沉時間也默認指代該時間。

2.2.1? 下沉時間與孔徑的關系

孔徑是本實驗較為重要的變量，我們取半徑為9 cm、孔徑分別為2 mm、6 mm、8 mm、14 mm的碗來進行實驗，多次實驗求平均值所得數據如表1所示。我們利用Origin軟件繪制其圖像，如圖6所示，可以得出t∝b-2，碗下落的時間與孔徑的平方呈反相關的關系。孔徑越大，所用下沉時間越少。

2.2.2? 下沉時間與碗的碗徑的關系

由于我們在改變碗的碗徑d時，碗的質量M也會隨著改變。但我們公式并沒有考慮碗徑改變對質量的影響，因此為了避免質量M改變對該變量的干擾，因此我們在碗的中間放上密度較大的配重鐵塊（忽略鐵塊所受的浮力），以此來用來確保每一個碗的質量均為158 g。多次實驗求平均所得數據如表2所示。我們選取孔徑為6 mm，碗徑分別為4 cm、9 cm、11 cm的數據，利用Origin軟件可以繪制出t-d圖像，如圖7所示，可以得到t∝d2，碗下落時間是與碗徑的平方呈正相關。碗徑越大，所用下沉時間越多。

2.2.3? 下沉時間與液體密度的關系

考慮到液體會含有雜質，為了驗證水的密度對碗下沉時間的影響，我們在水中加入了不同量的食鹽來達到改變液體密度的目的。由于在實驗中，密度對下落時間的影響不明顯，故我們改用了孔徑更小的碗通過增加下落時間，來擴大這一影響。最終我們采用了9 cm碗徑，2 mm孔徑的碗來進行數據的記錄。利用食用鹽將調節水的密度，再利用密度計測量所得液體密度。液體被分別調為1 g/cm3、31.034 g/cm3、1.071 g/cm3、1.109 g/cm3、1.148 g/cm3多次實驗求平均所得數值如表3所示。利用Origin軟件繪制其圖像，如圖8所示，根據圖像可以得到t∝ρ1.009 7，碗下落時間是與液體的密度呈正相關。密度越大，碗受到的浮力越大，所用下沉時間越多。

2.2.4? 下沉時間與碗的質量的關系

我們選取質量M為158 g、碗的半徑為9 mm、孔的半徑為2 mm的碗來做為實驗對象，為了減少實驗誤差，因此我們同樣采用密度較大的鐵塊來改變整體質量（忽略鐵塊所受浮力），借此來完成實驗.將整體質量分別調整為158 g、174 g、190 g、206 g、222 g。多次實驗求平均所得數值如表4所示。利用Origin軟件繪制其圖像，如圖9所示，根據圖像可以得到t∝M-1.06，碗下落時間是與碗的質量呈正相關。碗的質量越大，碗受到的重力，所用下沉時間就會越短。符合日常規律和實驗預期。

2.2.5? 時間t與碗進入水的高度H之間的關系

前文我們已經粗略探索了碗內水的高度與時間t的關系，在這里我們將進行定量的計算兩者之間的關系。為了便于觀察，我們在碗的外面標上不同高度。但在實際取值中，由于碗在不斷上下波動，會在一個高度來回橫穿，故我們采用了碗上下的擺幅的中心位置在標線時進行計時，為了減小該擺幅的影響，我們改用了碗徑9 cm，孔徑更大的6 mm的碗進行實驗。可以得到t∝H，大致呈正相關，如表5和圖10所示。

3? 結? 論

雖然本實驗未考慮碗的厚度、液體粘度、水流水的表面張力等可能的影響因素，但我們從下落的過程出發，利用了伯努利方程、連續性方程以及運動學公式推導出碗下落路徑的經驗公式，并通過實際實驗對理論進行了驗證。本實驗還得出了四個主要變量對碗下沉所用時間的影響。結果表明：碗底小孔的直徑越大，下沉時間越短；碗的直徑越大，下沉時間越久；液體密度越大，下沉時間越久；碗的質量越大，下沉時間越短；碗進入水的高度越大，下沉時間越久。實驗結果和理論均基本一致。

參考文獻：

[1] GREER A，KINCANON E. An experiment with Saxon bowls [J]. The Physics Teacher，2000，38（2）：112.

[2] 王幸，黎秋航，侯吉旋，等.探究撒克遜碗的下沉：對簡諧振動的修正 [J].大學物理，2021，40（11）：80-85.

[3] 王澳，史晨曦，王建達．基于牛頓運動定律和伯努利方程的撒克遜碗下沉研究 [J]．科技創新導報，2021，18（3）：78-80+114.

[5] 李辰然，馮翠娣，朱泉水.撒克遜碗計時分析與研究 [J].安徽電子信息職業技術學院學報，2021，20（3）：19-23.

[6] 王秀娥.大學物理（上冊） [M].山東：中國石油大學出版社，2011.

[7] 聞建龍.工程流體力學 [M].北京：機械工程出版社，2018.

[8] 邵友元.伯努利方程的準確理解及應用 [J].東莞理工學院報，2010（1）：99-102.

作者簡介：雷玉林（2000—），男，漢族，河南駐馬店人，本科在讀，研究方向：自動化；楊成曉（2000—），女，漢族，河北張家口人，本科在讀，研究方向：電子信息；張震（2001—），男，漢族，安徽合肥人，本科在讀，研究方向：智能制造；周汪玥（2000—），女，漢族，安徽合肥人，本科在讀，研究方向：食品科學；通訊作者：劉慧（1983—），女，漢族，安徽宿州人，教師，博士，研究方向：凝聚態物理。

收稿日期：2022-10-07

基金項目：安徽省教育廳質量工程項目（2021kcszsfkc360）；大學生創新創業訓練計劃項目（202111059019，202111059071，S202011059035，S202011059059，S202011059235）