帶有輸入受限的無人機精確編隊合圍容錯控制

西北工業大學 自動化學院，西安 710129

劉伯健，李愛軍，郭永*，王長青

無人機分布式協同控制具有高復雜性、高自主性和高智能性等特征，是未來戰爭中的重要技術。因此，諸多學者對無人機分布式協同控制進行了深入研究，并根據領航者的數量將其分為單領航者、多領航者和無領航者3 類。單領航者協同控制中，基于一致性理論的控制方法應用最為廣泛，該方法使無人機群易于形成精確編隊［1-3］并且可以更好地處理無人機非線性動力學帶來的約束和不確定動態［4］。無領航者協同控制的主要解決方案多是由人工勢函數方法發展而來，通過該方法的固有特性可以輕松處理避障和機間避碰問題［5］，并易于實現自組織和自適應功能［6］。合圍控制作為多領航者協同控制中的一種重要算法，其主要特點是使跟隨者能最終收斂到領航者們所形成的凸包絡內［7］，該特點可以使無人機群在避開危險區域的基礎上保持廣義的編隊構型。

與單領航者和無領航者編隊相比，關于多領航者編隊控制的研究相對較少。合圍控制的早期研究多是針對多智能體系統展開的，其領航者被認為是靜態的［8］。后來為了適應領航者的運動特性，提高算法的適用范圍，學者們又提出了針對動態領航者的合圍控制協議［7，9］。此后，隨著無人機協同控制算法的不斷發展，領航者間相互通信并且形成期望隊形的“編隊-合圍”控制算法受到了大量關注［10-11］。該算法通過分層架構首先控制領航者形成某一預設凸包絡隊形，再通過合圍控制使跟隨者收斂到該凸包絡內，最終實現一種廣義的編隊跟蹤控制。該廣義編隊只要求跟隨者收斂到領航者所形成的凸包絡中，卻沒有考慮跟隨者最終在凸包絡內的位置和其所形成的形狀。這使合圍控制在大規模編隊的情況下，很容易引發機間碰撞等問題。

由于編隊飛行對多無人機控制系統的安全性、可靠性和準確性提出了更高的標準和要求，容錯控制成為近年來學者們的研究熱點。其主要方法可分為基于故障診斷的主動容錯技術［12］和基于提升控制系統魯棒性的被動容錯技術。被動容錯技術被廣泛應用于無人機協同控制領域，其主要方法包括基于自適應的容錯方法［13-15］、基于觀測器的容錯方法［16-18］和基于人工智能的容錯方法［19］等。文獻［15］提出了一種自適應方法來處理無人機的作動器故障，其系統的收斂性與作動器的故障系數顯性相關?；谟^測器的容錯控制是應用最為廣泛的技術，例如誤差觀測器［16］和擴張狀態觀測器［17-18］。其中，觀測器的設計方法有很多，例如徑向基函數神經網絡（Radial Basis Function Neural Network， RBFNN）觀測器［19］、滑模觀測器［20］和高增益觀測器［21］等。雖然基于觀測器的容錯控制效果相對較好，但是由于需要額外設計觀測器結構，因此增加了控制系統的設計難度和結構的復雜度。此外，隨著人工智能的發展，許多學者直接采用神經網絡或模糊系統對無人機故障產生的非線性動態進行擬合，并取得了一定成果［19］。

近年來，輸入受限問題在理論和工程實踐中被逐漸重視。如果在控制器設計過程中忽視該問題，則會使控制器的控制效果在實際控制中存在弱化，甚至會破壞整個系統的穩定性。因此，學者們提出了多種方法來解決該問題。一種方法是通過中值定理結合自適應方法對受限的輸入信號進行處理［22-23］；還有學者提出了通過輔助系統進行信號補償的方法處理輸入受限問題［24］；文獻［25］通過設定受限指標參數并結合自適應方法對輸入受限問題進行了處理。雖然上述方法為解決輸入受限問題提供了很多思路，但其穩定性證明被指出存在不嚴謹的地方［26-27］。此外，受到未知輸入方向問題的啟發，文獻［28］將Nussbaum 函數用于處理輸入受限問題，給該問題的解決帶來了新的啟發。

針對上述挑戰，本文研究了多無人機在存在輸入受限、外界干擾和作動器故障的情況下的有限時間精確編隊合圍控制問題。最終的控制目標是使所有跟隨者在輸入受限、外界干擾和作動器故障的情況下，在有限時間范圍內，收斂到領航者所形成的凸包絡內，并且在其中形成預設的精確隊形。本文的主要創新點有：① 提出了一種基于預設隊形的合圍控制通信拓撲權重設計方法，與傳統合圍控制相比，該拓撲不僅能使跟隨者收斂到領航者所形成的凸包絡內，而且能使跟隨者在其內部形成精確的預設編隊；② 提出了一種新穎的光滑函數對非對稱輸入受限信號進行平滑處理，與傳統雙曲正切函數相比［28］，其擬合誤差可以通過參數控制，使系統誤差收斂到原點附近更小的鄰域內；③ 提出了一種基于Nussbaum 函數的有限時間自適應合圍控制器，將該控制器與本文的光滑函數結合，可以同時處理輸入受限和作動器故障問題。

1 問題描述

在本文中，Rn×m表示n×m的矩陣；‖· ‖表示歐幾里得范數；z[k]表示向量z的第k個元素；[Y]i∈R1×n和[Y]i∈Rm×1分別表示Y∈Rm×n矩陣的第i行和第i列；?表示克羅內克積；λmax(Y)和λmin(Y)表示矩陣Y的最大和最小特征值。此外，為了方便公式推導過程中的表示，定義，其中函數。

1. 1 Nussbaum 函數及引理

定義1［28］Nussbaum 函數是一個連續函數并且滿足如下特征：

引理 1［28］考慮V和χi都是定義在[0，tf)上的連續函數，對于t∈[0，tf)，存在V(t)＞0 且N(χi)是關于變量χi的Nussbaum 類型函數。如果下述內容中的式（2）成立，那么V、χi和在[0，tf) 上都有界。

式中：c＞0；γτi＞0；c0＞0；ξτi＞0。

引理 2［19］考慮系統x?=f(x)，假設存在一個連續函數V(x)和參數λ1＞0，λ2＞0，0 ＜γa＜1，0 ＜η＜∞滿足：

那么狀態量x會在有限時間tf=max{tf1，tf2}內收斂到范圍Ω=min{Ω1，Ω2}內。其中：

式中：?是一個常數并且滿足0 ＜?＜1。

1. 2 圖 論

假設一個由n個跟隨者和m個領航者所形成的無人機編隊，其成員之間的通信鏈接拓撲可以用拓撲圖來表示。 其中頂點集是一個有限的非空集合，表示各個無人機。 邊集表示無人機之間的通信，其中Ni表示頂點i的鄰接集，與頂點i鄰接表示可以收到頂點i傳來的信息。拓撲圖G的加權鄰接矩陣可以表示為Wg=，如果，則wij＞0，反之wij=0。頂點i的度定義為，圖G的度矩陣定義為Dg=diag{deg()，i=1，2，…，n+m}。那么圖G的拉普拉斯矩陣就可以定義為Lg=Dg-Wg。由于假設領航者之間沒有通信，則其拉普拉斯矩陣可以表示為

引理 3［20］矩陣是正定的。此外，定義矩陣，那么矩陣Ag是非負定的并且Ag的每一行元素的和為1。

定義2［19］如果任意，并且滿足，其中c∈[0，1]，那么稱集合是一個凸集合。集合的凸包絡則定義為。

引理 4［20］合圍控制的目的就是將跟隨者控制到領航者所形成的凸包Co(pl)內。如果合圍控制成功，則跟隨者會收斂到pf(t)=的 位 置 附 近 ，其 中pl=表示所有領航者的位置向量；表示所有跟隨者的位置向量。

從引理4中可以看出，跟隨者i的最終期望位置一定在凸包Co(pl)內，并且與通信矩陣相關，滿足，其中，滿足。這為2.1節設計基于精確隊形的通信拓撲算法提供了支持。

1. 3 帶有作動器故障的無人機模型

本文考慮一個由n個跟隨者和m個領航者所組成的無人機編隊。無故障的跟隨者運動學和動力學模型如下［29］：

式中：xi、yi和zi分別是第i架無人機在慣性系下的三軸位置；Vi、?i、γi和χi分別是第i架無人機的速度、滾轉角、航跡俯仰角和航跡偏航角；Ti、Li和Di分別是第i架無人機在機體系下受到的推力、升力和阻力；mi是無人機的質量；g是重力加速度；和表示無人機受到的有界外部干擾。定義和，則跟隨者模型可以寫成向量形式：

并且

根據相關文獻的研究，多數的作動器故障可以表示為

式中：?i=diag{?i1，?i2，?i3}表示故障系數；hi表示未知偏置故障；ui0表示受限輸入信號，該信號會在之后定義。

1. 4 輸入受限信號的平滑處理

圖1 直觀地展示了本文提出的光滑函數與傳統雙曲正切光滑函數［30］之間的差異。

圖1 光滑函數曲線Fig. 1 Curves of smooth functions

注釋1通過與傳統雙曲正切光滑函數的比較不難發現本文所提出的光滑函數有2 個主要優點［30］。首先，本文所提出的光滑函數可以處理上下限同符號或上下限為0 的非對稱約束函數，這是傳統雙曲正切光滑函數所不能處理的。其次，本文所提出的光滑函數的擬合誤差取決于參數，即誤差精度可以隨需求調整。而傳統雙曲正切光滑函數的擬合誤差則取決于約束上下界絕對值的最大值，這影響了最終系統的控制精度。

通過中值定理可以得到一個常數δ0∈(0，1)，使得

2 基于精確編隊的有限時間合圍控制器設計

2. 1 基于精確隊形的通信拓撲設計算法

由于大多數合圍控制的研究只要求跟隨者收斂到領航者所形成的凸包內，卻對跟隨者的精確隊形沒有限制，因此本文設計了一個針對預設跟隨者隊形的合圍控制通信拓撲設計算法，如算法1 所示。

通過引理4 可以看出，使用算法1 所設計的合圍控制通信拓撲結構會在合圍控制誤差收斂到0 時，使跟隨者收斂到領航者所形成的凸包絡內并且形成期望的預設隊形。

注釋2需要注意的是由算法1所設計的通信拓撲并不是唯一的。具體來說，由于矩陣Ag和可以有不同的選擇，因此算法1可以提供很多可行解。

注釋3算法1中要求Dg1[i，i]只要滿足條件，并沒有其他特殊要求。但是為了進一步簡化通信的結構，減少通信負擔，建議將Dg1[i，i]選擇為。在這種情況下中會有更多的0 元素，這也就意味著跟隨者與領航者之間存在更少的通信鏈路。

算法 1 通信拓撲設計算法1. 基于合圍控制的特性限制，期望的預設隊形必須處于凸包絡Co(pl)內。根據引理4 可知，第i 架無人機的最終期望位置滿足pi1d=([Ag]i?I3) pl，因此根據凸圖形內部點的表達方式，設計一個矩陣Ag 2. 當 i ≤n 3. 如果 ∑j=1，j ≠i n aij[Ag]j( j=1，2，…，m)中的非零列與[Ag]i中的非零列在同一列，其中aij 是非零參數，那么4. Wg1[i，j]=■■■■■■■■■0 i=j aij ∑j=1，j ≠i n aij i ≠j 5. 否則 （即如果無法通過）選擇aij ≥0，使 ∑j=1，j ≠i n aij[Ag]j的非零列與[Ag]i相同，那么Wg1[i，j]=0 ( j=1，2，…，m)6. 結束如果7. 如果Wg1[i，j]=0 ( j=1，2，…，m)，則Dg1[i，i]=1 8. 否則9. 選擇一個正實數Dg1[i，i]使其滿足Dg1[i，i]≥max■■■■■■■■■■■■■()∑j=1，j ≠i n Wg1[i，j][ ]Ag j[ p][ ]Ag i[ p]■■■■■■■■■■■■■式中：p=1，2，…，m； [Ag]i[ p]≠0 10. 結束如果11. 結束循環12. 求解 Wg2=-(Dg1-Wg1) Ag 13. 返回 Dg1、Wg1 和Wg2

2. 2 分布式有限時間合圍控制器設計

本節設計了一種基于Nussbaum 函數的分布式自適應有限時間容錯合圍控制器，解決了帶有輸入受限、外部干擾和作動器故障的無人機合圍控制問題，最終使跟隨者收斂到領航者所形成的凸包絡內并形成精確隊形。定義誤差系統為

式中：ei1∈R3和ei2∈R3分別是第i架跟隨者的位置誤差和速度誤差；是第i架跟隨者的期望位置，由于領航者的狀態是連續且有界的，因此不妨假設是未知正常數；pi2d是虛擬速度指令，該指令會在之后內容中定義。為了便于分析有限時間收斂性，定義新的誤差系統：

式中：si1和si2為新的位置和速度誤差；gi1和γ為控制參數。控制器設計過程如步驟1 和步驟2 所示。

步驟1首先，根據反步法的架構，設計位置子系統的控制律和自適應律為

式中：pi2d是虛擬速度指令；ki1、εP、βi1和βi2是控制參數；是自適應變量，滿足是自適應誤差。

選取位置系統的李雅普諾夫函數為

對其進行求導可得

將虛擬速度指令pi2d代入式（27）可得

進一步，通過Young 不等式可以得到

步驟2其次，根據虛擬速度指令，設計基于Nussbaum 函數的速度子系統控制律和自適應律為

對其進行求導可得

2. 3 穩定性分析

定理1針對帶有輸入飽和、外界干擾和作動器故障的跟隨者無人機模型（式（19）），在控制律（式（24）、式（30）～式（32））和自適應律（式（25）、式（33））的作用下，跟隨者可以在有限時間內收斂到領航者所形成凸包絡內并且形成預設的精確隊形。

證明首先證明系統的有界性，選取李雅普諾夫函數：

對其進行求導可得

因此通過引理1，可以得到V和δi是有界的結論，進而得出中各個元素均是一致最終有界的。

其次，證明系統的有限時間收斂性。選取另一個李雅普諾夫函數為

對其求導可得

式中：

因此根據引理2 可知，如果參數滿足ki1＞1，ki2＞1/2mi+1，gi1＞0，gi2＞0，則該系統的誤差可在有限時間tf=max{tf1，tf2}內收斂到原點的鄰域Ωf=min{Ωf1，Ωf2}內。其中tf1和tf2取值為

至此，定理1 證畢。

注釋4從上述分析中可以發現，誤差收斂區域Ωf的大小與υs2相關，而υs2的大小與光滑函數的最大擬合誤差有關。傳統雙曲正切函數的最大擬合誤差取決于，這使得當上下界較大時，誤差的收斂域Ωf也會變大，影響控制效果［28］。而本文提出的光滑曲線可以通過選擇參數εu使最大擬合誤差可調，從而縮小誤差的收斂域，提高控制精度。

3 數字仿真

本節展示了一些數字仿真結果，驗證了本文所提出的算法和控制律的有效性。仿真基于由3 架跟隨者和4 架虛擬領航者組成的無人機編隊，其初始位置信息如表1 所示。從中不難看出，領航者初始位置的選擇與其速度均保持一致，在仿真時間內虛擬領航者一直保持為處于XOZ平面內的長方形隊形。設計跟隨者的預設隊形為一個在XOZ平面內的三角形，并且處于領航者所形成的凸包絡內部。其中，虛擬領航者的速度被設置為vl=[30，0，5sin(0.1t)]Tm/s；無人機的質量被設置為5 kg；外界的干擾信號被設置為。根據工程經驗，將無人機的輸入信號上下界限制設為，和。此外，表2給出了控制器的參數。表3 給出了跟隨者故障產生的時間和類型。

表1 無人機編隊初始狀態Table 1 Initial states of UAV team

表2 控制參數Table 2 Parameters of controller

表3 跟隨者故障信息Table 3 Information of faults for followers

根據預設隊形和算法1，該隊形可以用矩陣Ag表示為

從注釋2 中可知，通過選擇不同的Dg1可以得到不同的通信拓撲圖。例如分別選擇diag{2，2，1}和=diag{2，4，1}，得到的通信拓撲如圖2 和圖3 所示。

圖2 基于 的通信拓撲圖Fig. 2 Communication topology graph based on

從圖中標紅的通信連線不難看出，當選擇時，編隊中的通信結構會更加簡單，跟隨者和領航者的通信鏈路會更少。因此，注釋2 中的內容得到了證實。

由表3 可知，在仿真過程中第1 架無人機在第20 s 發生故障，第2 架無人機在第30 s 發生故障，第3 架無人機在第10 s 發生故障。圖4～圖10展示了本文所提出的基于Nussbaum 函數的有限時間自適應合圍容錯控制器的數字仿真結果。

圖4 無人機編隊軌跡Fig. 4 Trajectories of UAV team

圖4 給出了無人機編隊的航跡圖，從中可以看出跟隨者在故障的情況下，最終形成了預設的三角隊形并且收斂到了領航者所形成的凸包絡內。圖4 證實本文所提出的通信拓撲設計算法和有限時間容錯控制器的有效性。為了更直觀地觀察控制效果，圖5 和圖6 給出了系統誤差的仿真圖?？梢钥吹綗o人機的跟蹤誤差都在2.9 s 左右收斂到了原點附近。此外，在20、30 和10 s 故障發生的時候，誤差由于系統故障的原因暫時增大，并很快又重新收斂，這驗證了本文所提出的控制器的容錯性和魯棒性。圖7 和圖8 給出了自適應信號的曲線圖，驗證了其有界性。此外，圖9 展示了Nussbaum 信號。在故障發生后，該信號會顯著增加進而補償因故障所損失的控制量。圖10 展示了無人機的控制輸入信號。從圖10 中可以看出輸入信號均處在限制的范圍內。由此驗證了本文提出的控制器在輸入受限情況下的控制效果。

圖5 無人機編隊位置誤差Fig. 5 Position errors of UAV team

圖6 無人機編隊速度誤差Fig. 6 Velocity errors of UAV team

圖7 自適應信號D?iFig. 7 Adaptive signal D?i

圖8 自適應信號P?iFig. 8 Adaptive signal P?i

圖9 Nussbaum 信號ξiFig. 9 Nussbaum signal ξi

圖10 無人機編隊控制輸入Fig. 10 Control input signals of UAV team

為了比較本文所提出的容錯方法與其他容錯方法的優劣，選擇了自適應容錯方法（Adaptive Fault Tolerant Control， AFTC）［31］和基于RBFNN 觀測器的容錯方法（Adaptive RBFNN Observer-based Fault Tolerant Control，AROFTC）［19］與本文控制器進行仿真。AFTC的控制效果如圖11～圖13 所示。從仿真圖中不難看出，由于AFTC 的收斂效果和故障系數顯性相關，因此僅依靠自適應算法會導致其誤差收斂時間較長，控制效果較差。具體來說，對比圖11和圖4 可看出基于AFTC 的無人機航跡有明顯被作動器故障影響的痕跡。對比圖12 和圖13 與圖5 和圖6 可以看出，基于AFTC 的仿真結果中由作動器故障引起的誤差波動也有明顯增加。

圖11 AFTC 無人機編隊軌跡圖Fig. 11 Trajectories of UAV team with AFTC

圖12 AFTC 無人機編隊位置誤差Fig. 12 Position errors of UAV team with AFTC

圖13 AFTC 無人機編隊速度誤差Fig. 13 Velocity errors of UAV team with AFTC

此外，由于RBFNN 具有出色的擬合特性，因此選擇了一種基于RBFNN 觀測器的容錯控制器作為AROFTC 的代表與本文容錯控制器進行比較。從圖14～圖16 中不難看出，在AROFTC 控制器下作動器故障引起的誤差波動小于本文所提出的控制器，因此基于RBFNN 觀測器的容錯控制方法的效果優于本文所提出的控制器。由圖17 可見，觀測器對故障和誤差的估計是比較準確的，這為控制器設計提供了良好的參考信號。但是，基于觀測器的容錯控制方法需要對觀測器進行設計，這增加了控制器的設計難度和復雜度。因此，在綜合考慮控制器復雜度和控制效果的情況下，所提出的控制器為容錯控制提供了一個折中的選擇。

圖14 AROFTC 無人機編隊軌跡Fig. 14 Trajectories of UAV team with AROFTC

圖15 AROFTC 無人機編隊位置誤差Fig. 15 Position errors of UAV team with AROFTC

圖16 AROFTC 無人機編隊速度誤差Fig. 16 Velocity errors of UAV team with AROFTC

圖17 RBFNN 網絡的擬合誤差Fig. 17 Fitting errors of RBFNN

為了驗證所提出的基于Nussbaum 函數的控制方法（Nussbaum-based Control， NC）的效果，仿真選擇了升階Nussbaum 飽和控制方法［28］（Increasing Order Nussbaum-based Control，IONC）與本文的控制器進行對比。為了更好地展示針對輸入飽和問題的控制效果，仿真對象設置為無干擾和故障跟隨者1 無人機。

仿真結果如圖18～圖20 所示。從圖19 和圖20 可以看出本文所設計的控制器收斂時間更快，控制效果更好。這是因為本文沒有將控制輸入信號看作一階系統，即對輸入信號進行升階處理。因此，避免了控制輸入初始值的設計不合理以及輸入信號的變化率受到一階積分系統限制等問題。相比之下，本文設計的控制器具有設計簡單、控制效果好等優點。圖21 展示了Nussbaum 函數中自變量的變化曲線。

圖18 跟隨者1 控制輸入Fig. 18 Control input signals of Follower 1 with different methods

圖19 跟隨者1 位置誤差Fig. 19 Position errors of Follower 1 with different methods

圖20 跟隨者1 速度誤差Fig. 20 Velocity errors of Follower 1 with different methods

圖21 Nussbaum 信號ξ1Fig. 21 Nussbaum signal ξ1

4 結 論

本文對帶有輸入飽和、作動器故障和外界干擾的無人機精確編隊合圍容錯控制展開了研究，具體結論如下所示：

1） 針對在合圍控制框架下跟隨者形成精確預設隊形的問題，提出了一種基于預設隊形的通信拓撲設計方法，可以使跟隨者最終在領航者所形成的凸包絡內形成精確隊形。

2） 針對輸入飽和問題，提出了一種新穎的雙曲正切函數對上下界同號或為0 的非對稱飽和函數進行平滑處理，將存在輸入飽和及作動器故障情況下的無人機合圍控制問題轉化為變增益控制問題。

3） 針對輸入飽和、作動器故障問題，提出了一種基于Nussbaum 函數的分布式自適應有限時間合圍控制器，使誤差在有限時間收斂到原點的一個任意小的鄰域內，并最終通過李雅普諾夫穩定性完成了閉環系統穩定性的證明。