迭代時間重排同步壓縮變換及其在機械故障診斷中的應用

周鋮 王翔生 曹宏瑞

摘要 機械設備常運行在復雜環境下，往往受到時變載荷、時變轉速、瞬態沖擊等非平穩工況的影響，導致故障時有發生。時頻分析技術可以兼顧時間和頻率兩個變量，得到了廣泛應用。然而傳統時頻分析方法在提高時頻聚集性和減弱交叉項之間存在矛盾，為了實現復雜環境下機械設備的故障診斷，提出迭代時間重排同步壓縮變換方法。在時間重排同步壓縮變換的基礎上構造新的群延時估計算子，然后只需進行一次重排操作即可獲得更銳利的時頻表示。通過仿真信號和滾動軸承加速壽命試驗數據驗證所提方法的有效性。

關鍵詞 故障診斷; 機械設備; 迭代時間重排同步壓縮變換; 群延時估計算子

引 言

機械設備常運行在復雜環境下，致使其不可避免地發生性能衰退，導致故障時有發生。因此開展復雜環境下的機械故障診斷研究，對保障機械設備安全運行具有重大意義。要實現復雜環境下機械設備的狀態監測和故障診斷，其關鍵問題之一是如何對機械動態信號的非平穩性進行有效提取和分析。眾多研究表明，機械設備產生的非平穩信號的特征需要通過時頻分析方法進行提取。

然而傳統時頻分析方法的提高聚集性和減弱交叉項之間存在矛盾。同步壓縮變換（SST）［1?2］作為一種新的時頻分析方法，具有良好的時頻聚集性和重構特性，且不受交叉項干擾，因此在機械設備非平穩信號特征提取中得到廣泛研究和應用。對于時頻脊線平行于頻率軸的“豎線”形式的沖擊類信號，若使用SST進行分析處理，其時頻圖的可讀性很差，在造成較大的瞬時頻率估計誤差的同時導致信號的重構精度較低。針對上述問題， He等［3?4］提出時間重排同步壓縮變換（TSST），將SST中的重排方式改為沿時間方向重排，在取得良好的時頻聚集性同時，兼顧與SST類似的重構特性和計算量。Yu等［5］基于TSST提出時間多步重排同步壓縮變換（TMSST）用于軸承的故障診斷。Tu等［6］基于TSST提出水平同步壓縮變換（HST），處理軸承外圈故障信號，獲得了沖擊發生的精準時刻，成功診斷出LDK UER204軸承外圈故障。由于TSST是一種新近提出的時頻分析方法，在機械故障診斷中還未普及應用。針對現有TSST重排次數有限，處理沖擊類信號能量依然會有分散的現象，提出迭代時間重排同步壓縮變換（Iterative Time?reassigned Synchrosqueezing Transform，ITSST）。通過在時間方向上進行多次重排操作來進一步提高時頻聚集性，每次迭代都會將時頻矩陣的系數重排到新的群延時估計算子處，獲得更銳利的時頻表示。通過提高重排壓縮的迭代次數，在保證能重構信號的同時極大提高時頻聚集性，使其更容易提取微弱的機械故障特征。通過仿真分析多分量沖擊類信號，利用滾動軸承加速壽命試驗數據驗證算法的有效性。

1 算法提出

1.1 時間重排同步壓縮變換（TSST）

TSST［3］是基于傳統的短時傅里葉變換（STFT）形式定義的，并根據Paraseval定理有：

式中 u為時間變量；ξ為頻率變量；g（t）為時域緊支撐的窗函數，本文所采用的窗函數均為高斯窗函數（πσ2）?1/4e?t2/（2σ2）。

群延時（Group Delay， GD）估計算子可以定義為：

式中 Φgx（u，ξ）為短時傅里葉變換Sgx（u，ξ）的相位；I[?]表示取虛部；R[?]表示取實部，Sgtx（u，ξ）為用t?x（t）作為待分析信號來計算STFT，可避免直接微分造成噪聲放大；γ表示閾值，常取10-8，用于克服分母過小引起的數值不穩定的問題。

最后可得TSST的表達式：

通過上式將TSST重構到頻域以后，可以接著使用傅里葉反變換將其轉換到時域，實現時域信號的重構。

1.2 迭代時間重排同步壓縮變換（ITSST）

TSST利用STFT的相位信息來估計GD，并將群延時附近的系數重排到時間重心，獲得沖擊發生的時刻。TSST只在時間方向上做了一次重排操作，就提高了時頻聚集性。如果在TSST的基礎上，把TSST重排得到的時頻矩陣當作原始時頻矩陣，繼續在時間方向上進行重排操作，所得結果的時頻聚集性是否會進一步提升，是否還能重構時域信號？本節根據以上猜想提出ITSST。

此方法的推導公式如下：

2 仿真分析

本節通過構造仿真信號來說明ITSST的高時頻聚集性和重構特性，信號分量的時頻脊線在距離非常近時會產生交叉項的干擾，因此在頻域中構造時頻脊線距離非常近的兩分量沖擊信號如下式所示：

式中 F?1表示傅里葉逆變換，根據式（28）計算出信號群延時：

為不失一般性，構造信噪比為1 dB的含噪聲信號。圖3展示了用不同時頻方法處理仿真信號在［0.0002，0.00045］ s×［200000，500000］ Hz處的局部放大圖。

圖3（a）給出了SST的處理結果，對于仿真信號時頻聚集性很低，未能展現很好的效果。圖3（b）～（e）分別給出了時頻重排譜圖（RSP）［7］、高階SST［8］和TSST的處理結果，從圖中可看出相比SST時頻聚集性有所提高，但仍能看出未能完全分離兩分量信號。圖3（f）是所提ITSST處理得到的結果，可看出該方法能大幅度提高時頻聚集性且能完全分離兩分量信號。

表1定量給出各種時頻分析方法的三階瑞利熵數值［9?10］，可見ITSST在所有方法里面提供最高的時頻聚集性，而且ITSST比RSP時頻聚集性更好，這在時頻分析領域是一個新的突破。

用ITSST將兩個模態的信號分量分離并重構到時域，同時為了分析ITSST和TSST在重構信號時效果的異同，將TSST重構信號的結果作為對比項。在重構信號時，首先利用Viterbi算法提取時頻脊線［11?12］，脊線提取的結果如圖4所示。TSST時頻圖中由于有交叉項的干擾，所以在提取脊線時會造成脊線的交叉錯位（見圖4（a）），而ITSST的時頻脊線更加逼近真實的時頻脊線（見圖4（b））。另外，時頻脊線還能表征沖擊信號在不同頻率下的群延時，因此在分析實驗數據過程中，可先通過對實驗數據進行ITSST以獲得時頻分布，再對時頻分布采用Viterbi算法提取時頻脊線即可獲得信號的群延時。

圖5是兩種方法重構時域信號的結果，可以清晰地看出ITSST的重構結果更加接近真實信號。計算重構信噪比SNR和均方根誤差RMSE來定量分析ITSST重構信號的魯棒性：

式中 x?[i]和x[i]分別表示重構信號和原始信號的離散形式。

經計算可得，ITSST重構信號的信噪比為13.58 dB，均方根誤差為0.23%，TSST重構信號的信噪比為3.28 dB，均方根誤差為71.8%。因此可以得出結論：ITSST在重構信號精度方面比TSST更勝一籌。

接著測試ITSST的迭代次數對重構信號的信噪比的影響，如圖6所示。分析結果表明，迭代次數越多，重構信號的信噪比越高，同時重構信號的重構誤差越?。ㄈ鐖D7所示）。大概經過3次迭代以后，重構信號信噪比和重構精度將趨于一個穩定的數值，同時也可采用此方法來確定最佳的迭代次數，本文采用迭代次數為N=3進行后續的試驗驗證。

下面比較ITSST與TMSST［5］的異同，以構造的仿真信號然后復制延拓至六分量信號為例，使用加入快速思想的ITSST與TMSST進行仿真分析，迭代次數為10次，在［0.0002 s，0.00045 s］×［200000 Hz，500000 Hz］處的局部放大時頻對比圖，如圖8所示。計算三階瑞利熵，ITSST為3.23，MTSST為4.46，說明ITSST時頻聚集性比TMSST強；TMSST的計算時間為26.22 s，而ITSST運算時間為3.10 s，運算時間減少了88.18%。由此可見提出的ITSST在具有較高時頻聚集性的同時，運算效率更高。

3 實驗驗證

為了驗證所提算法的優越性，將ITSST應用到軸承故障診斷中。使用XJTU?SY軸承加速壽命試驗數據［13］，實驗中使用的采樣頻率為25600 Hz，軸承加速壽命試驗臺如圖9所示，外圈故障如圖10所示。

圖11為繪制了整個運行狀態測試記錄的振動信號的時域圖。可以觀察到，在80 min后，振動信號振幅發生突變，可能是軸承發生早期故障的階段。123 min后，幅值陡增，軸承發生外圈故障。根據生產商提供的軸承參數，計算出當前軸轉速下的軸承外圈故障特征頻率為107.9 Hz。

對軸承數據在時域中提取指標均方根值RMS，如圖12所示。從圖中可發現軸承在78 min后均方根值急劇增長，推測軸承在78 min以后出現輕微故障。

選取80 min內的振動數據進行分析，為了更直觀地觀察到時頻圖中的有效特征，只展示其局部放大圖。時頻分析的結果如圖13所示，TSST雖然可以觀察到沖擊，但由于時頻聚集性不夠高，不能確定沖擊的精準時刻和準確的時間間隔。而所提出的ITSST可以提取出精確的沖擊特征以用于軸承的故障診斷，沖擊特征之間的時間間隔為9.3 ms，對應軸承外圈故障特征頻率107.9 Hz，這表明了早期外圈故障的發生（外圈故障如圖10所示）。因此提出的ITSST技術可以為軸承早期故障診斷提供有效的方法。

為了進一步驗證ITSST在軸承早期微弱故障診斷中相比時域指標RMS更加敏感，對第60，61和62 min的軸承數據進行時頻分析，結果局部放大圖如圖14～16所示。

如圖14（a），（b）第60 min數據時頻分析結果可以看出采用TSST以及ITSST均未出現以9.3 ms為時間間隔的沖擊特征，表明此時軸承尚未發生故障。

在時頻圖15（b）和16（b）中均出現以9.3 ms為時間間隔的沖擊特征。由于TSST時頻圖中時頻聚集性差，無法確定時間間隔。

雖然在此階段沖擊特征并不是規律的等時間間隔，但出現此間隔即可說明軸承故障處于萌生階段，隨著故障變得明顯，沖擊特征也變成規律的等時間間隔，進一步證明了ITSST在軸承早期微弱故障診斷中相比時域指標RMS更加敏感；同時也可以發現ITSST相比TSST具有更強的時頻聚集性。

4 結 論

（1） ITSST在TSST的基礎上，把TSST重排得到的時頻矩陣當作原始時頻矩陣，繼續在時間方向上進一步進行重排操作，在時頻平面上獲得更清晰的時頻表示。

（2）通過數值仿真信號驗證了ITSST在提取沖擊類信號的特征時具有良好的時頻聚集性和抗噪性能，并能夠精確地實現信號的重構。

（3） ITSST相比RMS能夠提前16 min提取出軸承外圈故障初期的振動信號，對于軸承早期故障診斷有重大意義。

參考文獻

1Daubechies I， Lu J， Wu H T. Synchrosqueezed wavelet transforms： an empirical mode decomposition-like tool［J］. Applied and Computational Harmonic Analysis，2011， 30（2）：243-261.

2Daubechies I， Lu J， Wu H T. Synchrosqueezed wavelet transforms： a tool for empirical mode decomposition［J］. Mathematics， 2009.

3He D， Cao H， Wang S， et al. Time-reassigned synchrosqueezing transform： the algorithm and its applications in mechanical signal processing ［J］. Mechanical Systems and Signal Processing， 2019， 117： 255-279.

4He D， Cao H. Downsampling-based synchrosqueezing transform and its applications on large-scale vibration data［J］. Journal of Sound and Vibration， 2021， 496： 115938.

5Yu G， Lin T， Wang Z， et al. Time-reassigned multisynchrosqueezing transform for bearing fault diagnosis of rotating machinery［J］. IEEE Transactions on Industrial Electronics， 2020，68（2）：1486?1496.

6Tu X， He Z， Hu Y， et al. Horizontal synchrosqueezing transform： algorithm and applications［J］. IEEE Sensors Journal， 2020， 20（8）： 4353-4360.

7Auger F， Flandrin P. Improving the readability of time-frequency and time-scale representations by the reassignment method［J］. IEEE Transactions on Signal Processing， 1995， 43（5）： 1068-1089.

8Pham Duong-Hung， Sylvain Meignen.High-order synchrosqueezing transform for multicomponent signals analysis-with an application to gravitational-wave signal ［J］. IEEE Transactions on Signal Processing， 2017， 65（12）： 3168?3178.

9Baraniuk R G， Flandrin P， Janssen A J， et al. Measuring time-frequency information content using the Rényi entropies［J］. IEEE Transactions on Information Theory，2001， 47（4）：1391-1409.

10Aviyente S， Williams W J. Minimum entropy time-frequency distributions［J］. IEEE Signal Processing Letters， 2005， 12（1）：37-40.

11Djurovi I， Stankovi L. An algorithm for the Wigner distribution based instantaneous frequency estimation in a high noise environment［J］. Signal Processing， 2004，84（3）：631-643.

12Djurovi? I. Viterbi algorithm for chirp-rate and instantaneous frequency estimation［J］. Signal Processing， 2011， 91（5）：1308-1314.

13Wang B， Lei Y， Li N， et al. A hybrid prognostics approach for estimating remaining useful life of rolling element bearings［J］. IEEE Transactions on Reliability， 2018：1-12.

Iterative time-rearrangement synchrosqueezing transform and its application to mechanical equipment fault diagnosis

ZHOU Cheng 1 ?WANG Xiang-sheng 1CAO Hong-rui 1，2 ?

1. School of Mechanical Engineering， Xi'an Jiaotong University， Xi'an 710049， China；

2. State Key Laboratory for Manufacturing Systems Engineering， Xi'an Jiaotong University， Xi'an 710049， China

Abstract Mechanical equipment often operates in complex environments and is often affected by non-stationary working conditions such as time-varying loads， time-varying speeds， and transient shocks， resulting in failures from time to time. Time frequency analysis technology can take time and frequency into account， and has been widely used. However， the traditional time-frequency analysis method has a contradiction between the improvement of the aggregation and the reduction of the cross term. In order to realize the fault diagnosis of mechanical equipment in complex environment， Iterative Time rearrangement Synchrosqueezing Transform method is extracted. Firstly， a new group delay estimation operator is constructed based on Time-rearrangement Synchrosqueezing Transform， and then a sharper time-frequency representation can be obtained by only one rearrangement operation. The effectiveness of the proposed method is verified by simulation signals and accelerated life test data of rolling bearings。

Keywords fault diagnosis; mechanical equipment; iterative time-rearrangement synchrosqueezing transform; group delay estimation operator