高考中概率典型例題賞析

■河南省鄭州第一〇一中學 馮連福

數學建模是指對現實問題進行數學抽象,用數學語言表達問題、用數學方法構建模型來解決問題的過程。高考數學對數學建模這一核心素養進行考查的形式主要體現在概率與統計試題。《中國高考報告(2023)》再次強調數學概率與統計試題將會以復雜情景的形式呈現,信息識別與加工會更加明顯。下面我們將概率中典型例題進行一一分析,同學們要學會收集信息→加工信息→數學建模→運算求解→解決問題;舉一反三,提高自己科學探究與思維建模、邏輯推理能力。

類型一、兩點分布

例1某大學開設甲、乙、丙三門選修課,學生是否選修哪門課互不影響。已知某學生只選修甲的概率為0.08,只選修甲和乙的概率是0.12,至少選修一門的概率是0.88,用ξ表示該學生選修的課程門數和沒有選修的課程門數的乘積。

(1)記“函數f(x)=x3+ξ為R 上的奇函數”為事件A,求事件A的概率;

(2)求ξ的概率分布和數學期望。

分析:(1)由于函數f(x)為奇函數,則ξ=0,表示該學生選修三門功課或三門功課都沒選,可求事件A的概率;(2)由已知可得ξ=0或2,則ξ的分布列可求。

解:設該學生選修甲、乙、丙的概率分別為x、y、z。

(1)若函數f(x)=x3+ξ為R 上的奇函數,則ξ=0。

當ξ=0時,表示該學生選修三門功課或三門功課都沒選。

故P(A)=P(ξ=0)=xyz+(1-x)(1-y)(1-z)=0.4×0.5×0.6+(1-0.4)×(1-0.5)×(1-0.6)=0.24。

事件A的概率為0.24。

(2)依題意知ξ=0或2,則ξ的概率分布如表1所示。

表1

因此,ξ的數學期望為E(ξ)=0×0.24+2×0.76=1.52。

類型二、超幾何分布

例2已知10件不同的產品中共有3件次品,現對它們進行一一測試,直到找出所有3件次品為止。

(1)求恰好在第5 次測試時3 件次品全部被測出的概率;

(2)記恰好在第k次測試時3 件次品全部被測出的概率為f(k),求f(k)的最大值和最小值。

分析:(1)恰好在第5次測試時次品全部被測出,則第5次取次品,前4次中取2件次品、2件正品;(2)恰好在第k次測試時次品全部被測出需分類討論。

(2)根據題意,分析可得k的范圍是3≤k≤9。

當3≤k≤6時,若恰好在第k次測試時3件次品全部被測出,則第k次取出第3 件次品,前k-1次中有2次是次品,k-3次是正品。而從10 件產品中順序取出k件,有種情況。

當k=7時,即恰好在第7次測試時3件次品全部被測出,有兩種情況,一是第7次取出第3件次品,前6次中有2次是次品,4次是正品;二是前7次沒有取出次品,此時也可以測出三件次品。

當k=8時,即恰好在第8次測試時3件次品全部被測出,有兩種情況,一是第8次取出第3件次品,前7次中有2次是次品,5次是正品;二是前7次恰有一次次品,第8次取出為合格品。

類型三、二項分布

例3我國的5G 研發在世界處于領先地位,到2022年底已開通5G 基站超過231 萬個,占全球比例超過60%。某科技公司為基站使用的某種裝置生產電子元件,該裝置由元件A和元件B按如圖1的方式連接而成。已知元件A至少有一個正常工作,且元件B正常工作,則該裝置正常工作。據統計,元件A和元件B正常工作超過10 000小時的概率分別為。

圖1

(1)求該裝置正常工作超過10 000小時的概率;

(2)某城市5G 基站建設需購進1 200臺該裝置,估計該批裝置能正常工作超過10 000小時的件數。

分析:(1)三個元件A為并聯,再與元件B串聯,進而求出該裝置正常工作超過10 000小時的概率;(2)該批裝置服從二項分布,故可以估計出該批裝置能正常工作超過10 000小時的件數。

類型四、正態分布

例 4“過大年,吃水餃”是我國不少地方過春節的一大習俗。2023 年春節前夕,A市某質檢部門隨機抽取了100包某種品牌的速凍水餃作樣本,檢測其某項質量指標,檢測結果的頻率分布直方圖,如圖2所示。

圖2

(1)求所抽取的100 包速凍水餃該項質量指標值的樣本平均數和方差s2(同一組中的數據用該組區間的中點值作代表)。

(2)若該品牌的速凍水餃的某項質量指標Z服從正態分布N(u,σ2),其中u近似為樣本平均數,σ2近似為樣本方差s2。

①求Z落在(14.55,50.40)內的概率;

② 若某人從某超市購買了1 包這種品牌的速凍水餃,發現該包速凍水餃某項質量指標值為55,根據3σ原則判斷該包速凍水餃某項質量指標值是否正常。

②若Z~N(u,σ2),則P(u-σ

解:(1)所抽取的100包速凍水餃該項質量指標值的樣本平均數￣x=5×0.1+15×0.2+25×0.3+35×0.25+45×0.15=26.5。

方差s2=(-21.5)2×0.1+(-11.5)2×0.2+(-1.5)2×0.3+(8.5)2×0.25 +(18.5)2×0.15≈142.75。

根據3σ原則判斷該包速凍水餃某項質量指標值是正常的。

類型五、決策問題

例5某公司準備將1 000 萬元資金投入到市環保工程建設中,現有甲、乙兩個建設項目供選擇,若投資甲項目一年后可獲得的利潤為ξ1(萬元)的概率分布列如表2所示。

表2

且ξ1的期望E(ξ1)=120。

若投資乙項目一年后可獲得的利潤ξ2(萬元)與該項目建設材料的成本有關,在生產的過程中,公司將根據成本情況決定是否受第二和第三季度進行產品的價格調整,兩次調整相互獨立,且調整的概率分別為p(0

表3

(1)求m,n的值;

(2)求ξ2的分布列;

(3)根據投資回報率的大小請你為公司決策:當p在什么范圍時選擇投資乙項目,并預測投資乙項目的最大投資回報率是多少。(投資回報率=年均利潤/投資總額×100%)

分析:(1)由E(ξ1)=120和m+0.4+n=1 求出m,n;(2)先由ξ2的可能取值為41.2,117.6,204.0,求出每一個的概率;(3)投資回報率最大即為期望最大。

解:(1)由題意得:

解得m=0.5,n=0.1。

(2)ξ2的可能取值為41.2,117.6,204.0。

P(ξ2=41.2)=(1-p)[1-(1-p)]=p(1-p);

P(ξ2=117.6)=p[1-(1-p)]+(1-p)(1-p)=p2+(1-p)2;

P(ξ2=204.0)=p(1-p)。

所以ξ2的分布列如表4所示。

表4

(3)由(2)可得:

根據投資回報率的計算辦法,如果選擇投資乙項目,只需E(ξ1)

即120<-10p2+10p+117.6,解得0.4

因為E(ξ2)=-10p2+10p+117.6,所以當時,E(ξ2)取到最大值為120.1,即預測投資回報率的最大值為12.01%。

類型六、概率最值問題

例6某芯片代加工工廠生產某型號芯片每盒12片,每批生產若干盒,每片成本1元,每盒芯片需檢驗合格后方可出廠。檢驗方案是從每盒芯片隨機取3 片檢驗,若發現次品,就要把全盒12 片產品全部檢驗,然后用合格品替換掉不合格品,方可出廠;若無次品,則認定該盒芯片合格,不再檢驗,可出廠。

(1)若某盒芯片中有9片合格,3片不合格,求該盒芯片經一次檢驗即可出廠的概率。

(2)若每片芯片售價10 元,每片芯片檢驗費用1元,次品到達組裝工廠被發現后,每片需由代工廠退賠10元,并補償1片經檢驗合格的芯片給組裝廠。設每片芯片不合格的概率為p(0

①若某盒12 片芯片中恰有3 片次品的概率為f(p),求f(p)的最大值點p0;

②若以①中的p0作為p的值,由于質檢員操作疏忽,有一盒芯片未經檢驗就被貼上合格標簽出廠到組裝工廠,試確定這盒芯片最終利潤X(單位:元)的期望。

分析:(1)該盒芯片經一次檢驗即可出廠即取3片檢驗都是正品,為二項分布;(2)先求出f(p),再用基本不等式或導數求出最大值;(3)X服從二項分布。

則E(X)=120-12-30-3×2=72。

這盒芯片最終利潤X的期望是72元。

類型七、比賽問題

例7世界杯足球賽淘汰賽階段的比賽規則為:90 min 內進球多的球隊取勝,如果參賽雙方在90 min內無法決出勝負(踢成平局),將進行30 min的加時賽,若加時賽階段兩隊仍未分出勝負,則進入“點球大戰”。點球大戰的規則如下:①兩隊各派五名隊員,雙方輪流踢點球,累計進球個數多者勝;②如果再踢滿五球前,一隊進球數已多于另一隊可能踢中的球數,則該隊勝出,譬如:第四輪結束時,雙方進球數為2∶0,則不需踢第5輪了;③若前五輪點球大戰中,雙方進球數持平,則采用“突然死亡法”決出勝負,即從第6輪起,雙方每輪各派一人踢點球,若均進球或均不進球,則繼續下一輪。直到出現一隊進球另一隊不進球的情況,進球方勝。

現有甲乙兩隊在淘汰賽中相遇,雙方勢均力敵, 120 min(含加時賽)仍未分出勝負,須采用“點球大戰”決定勝負。設甲隊每名球員射進的概率為,乙隊每名球員射進的概率為。每輪點球結果互不影響。

(1)設甲隊踢了5球,X為射進點球的個數,求X的分布列與期望;

(2)若每輪點球都由甲隊先踢,求在第四輪點球結束時,乙隊進了四個球并剛好勝出的概率。

分析:(1)先分析出X服從二項分布,進而寫出分布列;(2)由點球大戰的規則分析出甲乙兩隊四輪比分為2∶4為關鍵之處。

所以X的分布列如表5所示。

表5

(2)設“第四輪點球結束時,乙隊進了4個球并勝出”為事件A。

法一:由題意知,“甲乙兩隊前三輪比分為1∶3且第四輪甲隊進球”為事件A1。

“甲乙兩隊前三輪比分為2∶3且第四輪甲隊不進球”為事件A2。

法二:則甲乙兩隊四輪比分為2∶4。

類型八、條件概率型

例8某學校要對學生進行身體素質全面測試,對每位學生都要進行9選3 考核(即共9 項測試,隨機選取3 項),若全部合格,則頒發合格證;若不合格,則重新參加下期的9選3 考核,直至合格為止。若學生小李抽到“引體向上”一項,則第一次參加考試合格的概率為,第二次參加考試合格的概率為,第三次參加考試合格的概率為,若第四次抽到可要求調換項目,其他選項小李均可一次性通過。

(1)求小李第一次考試即通過的概率P;

(2)求小李參加考核的次數ξ分布列。

分析:(1)小李能夠通過考試的概率取決于是否能夠抽到“引體向上”這個項目,如果沒有抽到,則必能通過;若抽到“引體向上”則通過的概率為。后面通過測試的概率受到前面抽簽的影響,要利用條件概率進行解決。(2)顯然ξ=1,2,3,4,在參加下一次考核時,意味著前幾次考核失敗,所以當ξ取2,3,4時,要考慮前面考核失敗的情況與該次考核成功兩個方面同時成立。

故ξ的分布列如表6所示。

表6

例9為激發學生加強體育活動,保證學生健康成長,某校開展了校級排球比賽,現有甲乙兩人進行比賽,約定每局勝者得1分,負者得0 分,比賽進行到有一人比對方多2 分或打滿8 局時停止。設甲在每局中獲勝的概率為,且各局勝負相互獨立。已知第二局比賽結束時比賽停止的概率為。

(1)求p的值;

(2)設X表示比賽停止時已比賽的局數,求隨機變量X的分布列和數學期望E(X)。

解:(1)依題意,當甲連勝2局或乙連勝2局時,第二局比賽結束時比賽停止。

(2)依題意知,X的所有可能值為2,4,6,8。

所以隨機變量X的分布列如表7所示。

表7