關于“醫用高等數學”課中一例不定積分的教學思考

摘?要：“醫用高等數學”是一門低學時的高等數學課程，該課程的習題應當認真遴選。文章針對一道不定積分習題的教學展開了研究，記述了作者關于該題的有關教學思考。文章首先通過綜合應用根式換元積分、湊微分、一階微分形式不變性、分部積分和三角換元積分等方法，給出了此題的五種解法。然后對于所獲得的兩個在形式上不盡相同的計算結果，指出其為原函數的不唯一性的體現，并進行了具體的驗證。在驗證過程中，還通過構造輔助三角形的方式，揭示了上述兩個計算結果內在的關系。

關鍵詞：醫用高等數學；不定積分；教學思考；原函數；輔助三角形

中圖分類號：G642.0??文獻標識碼：A

1?概述

在醫科類高等院校的課程設置中，“醫用高等數學”通常是基礎醫學、臨床醫學、預防醫學、口腔醫學、麻醉學、醫學檢驗技術、醫學影像技術、藥學和中藥學等醫藥類相關專業必修的一門自然科學類基礎課。上述專業的培養計劃對于這門課程教學時數的配置一般都相對較少，任課教師需要在并不十分寬裕的學時內完成規定的教學內容，并且還要達到預期的教學目標。這就要求教師在授課之前應當對教學過程做出較為精準的規劃，而本課程的習題（包括課堂練習題和課后作業題）的安排就是其中一個需要精心考慮的重要環節。

一方面，為了使醫藥類專業的學生能夠理解并掌握“醫用高等數學”這門課程的基本思想、基本結論和基本方法，同時也為了使這些非理工類專業的學生能夠順利通過本課程的考核，對其進行一定量的習題訓練顯然是不可或缺的；但另一方面，醫藥類專業學生每學期需要完成的課業量普遍較大，為了不對他們學習醫學藥學專業課程的時間造成擠兌，本課程又不宜布置過多的習題，題海戰術更不可取，并且受培養計劃對本課程規定教學時數的限制，教師在課堂上也不太可能用過多的時間進行習題講評。因此，對于“醫用高等數學”這門低學時的高等數學課程，教師在安排習題的過程中更是應當做到精挑細選。

筆者在“醫用高等數學”這門課程的教學實踐中，常會結合教學內容對教材里的有關習題進行鉆研，然后從中遴選出部分題目作為課堂練習或課后作業并進行精心講解。本文所要介紹的不定積分問題，便是一道從筆者授課所使用的教材［1］第3章中挑選出的習題。這道習題，不僅能使用多種方法求解，而且教師在講解此題的過程中還可以引導學生對之前已經學過的相關知識點進行關聯和復習，尤其是對原函數不唯一這個知識點的鞏固頗有裨益。

2?問題及其解法

問題?求不定積分∫1-2x1+2xdx

解法1?先進行根式換元t=1-2x1+2x，則t2=1-2x1+2x，據此可得x=1-t22（1+t2），進一步在該式等號兩端同時求微分，得到dx=-2t（1+t2）2dt，然后進行湊微分，即有

∫1-2x1+2xdx=∫t-2t（1+t2）2dt=-∫td（1+t2）（1+t2）2（1）

對于（1）式最右端不定積分中的被積表達式，根據一階微分形式不變性應成立d11+t2=-d（1+t2）（1+t2）2，從而有

∫1-2x1+2xdx=-∫td（1+t2）（1+t2）2=∫td11+t2

=t1+t2-∫11+t2dt?（此步應用了分部積分法）

=t1+t2-arctant+C，

最后將t=1-2x1+2x回代入上式，經整理便可得到

∫1-2x1+2xdx=1-4x22-arctan1-2x1+2x+C。

解法2?仍作換元t=1-2x1+2x，之后另行如下推導，

∫1-2x1+2xdx=∫-2t2（1+t2）2dt=-2∫1+t2-1（1+t2）2dt

=-2∫11+t2dt-∫1（1+t2）2dt

=-2arctant+2∫1（1+t2）2dt（2）

為求解（2）式中的不定積分∫1（1+t2）2dt，再次進行換元，設t=tanθ，于是dt=sec2θdθ，1+t2=sec2θ，故

∫1（1+t2）2dt=∫sec2θsec4θdθ=∫1sec2θdθ

=∫cos2θdθ=∫1+cos2θ2dθ

=12θ+14sin2θ+C0（3）

由三角恒等式可知成立sin2θ=2tanθ1+tan2θ=2t1+t2，于是從（3）式可以進一步得到

∫1（1+t2）2dt=12arctant+t2（1+t2）+C0（4）

再將（4）式代入（2）式，經整理后可以得到

∫1-2x1+2xdx=-arctant+t1+t2+C（5）

其中C=2C0。最后將t=1-2x1+2x代回（5）式便有

∫1-2x1+2xdx=1-4x22-arctan1-2x1+2x+C。

解法3?先將被積函數的分母進行根式有理化，得到

∫1-2x1+2xdx=∫1-4x21+2xdx（6）

注意到（6）式右端不定積分中被積函數的分子1-4x2，是一個關于x的平方差函數的平方根，故可作三角換元。

設x=12sinu，從而dx=12cosudu，然后結合（6）式有

∫1-2x1+2xdx=∫1-4x21+2xdx=12∫1-sin2u1+sinucosudu

=12∫cos2u1+sinudu=12∫1-sin2u1+sinudu

=12∫（1-sinu）du=12u+12cosu+C

=12arcsin（2x）+1-4x22+C。

解法4?采用類似于解法3的思路，只不過這里先將被積函數的分子進行根式有理化，然后進行三角換元，于是

∫1-2x1+2xdx=∫1-2x1-4x2dx

=12∫1-sinu1-sin2ucosudu?三角換元x=12sinu

=12∫（1-sinu）du=12u+12cosu+C

=12arcsin（2x）+1-4x22+C。

解法5?先將被積函數的分子進行根式有理化，之后通過湊微分，并應用一階微分形式不變性亦可計算出結果，具體推導過程如下。

∫1-2x1+2xdx=∫1-2x1-4x2dx

=∫11-4x2dx-∫2x1-4x2dx

=12∫d（2x）1-（2x）2+12∫d（1-4x2）21-4x2

=12∫d［arcsin（2x）］+12∫d（1-4x2）

=12arcsin（2x）+1-4x22+C。

3?教學注記

在這道不定積分習題的教學中，教師可以啟發或是引導學生采用上述各種方法進行求解，然而學生很快會發現，使用不同的解法居然會得到在形式上不盡相同的計算結果。使用解法1和解法2得到的是一個結果，但若使用解法3～解法5的方法卻會得出另一個結果。對于這個情況，學生普遍會感到十分困惑。此時，就需要教師向其釋疑解惑了，教師應當告訴學生，這個情況的發生并不是因為在推導過程中出現了計算錯誤，而是因為如果一個函數存在原函數，那么它的原函數是不唯一的。事實上，按照本課程以及教材對不定積分這一章知識點的編排次序，原函數不唯一這個結論在此之前的教學內容中就已經向學生進行了介紹，但學生往往會忽視或是淡忘這個結論，而現在借助于這道不定積分習題，教師正好獲得了一個幫助學生強化對該結論認識的好機會。

教師應當向學生指出，使用上文中的不同方法求解這道不定積分所獲得的兩個在形式上不同的計算結果，說明

F（x）=1-4x22-arctan1-2x1+2x，

G（x）=12arcsin（2x）+1-4x22

這兩個函數的導數應是相同的。據此又可以進一步地推知f（x）=-arctan1-2x1+2x與g（x）=12arcsin（2x）這兩個函數的導數也應相同。教師授課時可要求學生具體計算一下f（x）與g（x）的導數，以驗證上述論斷的正確性。

事實上，函數f（x）可視為是由函數y=-arctanu，u=v，與v=1-2x1+2x復合而成的，于是根據復合函數求導的鏈式法則，應有

f′（x）=dydu·dudv·dvdx=-11+u2·12v·-4（1+2x）2=11-4x2。

另一方面，同樣由鏈式法則，可求得函數g（x）的導數為g′（x）=12·21-（2x）2=11-4x2。由此可見，f（x）與g（x）這兩個函數的導數確實是相同的，進而可知使用前述不同方法求解這道不定積分所獲得的兩個計算結果，它們雖在形式上不盡相同，但都是正確的。

完成上述求導驗證的環節之后，教師在教學中還可再進行一點延伸：既然f（x）與g（x）的導數相同，那么根據一元函數微分學里的拉格朗日中值定理，f（x）與g（x）之間應當只相差一個常數，也即應當存在常數K，使得12arcsin（2x）=-arctan1-2x1+2x+K，以特殊值x=0代入該式，可求得常數K等于π4。從而

12arcsin（2x）=-arctan1-2x1+2x+π4（7）

如此一來，教師在講解這道不定積分的同時，還能引導學生對復合函數求導的鏈式法則，以及拉格朗日中值定理等已經講授過的知識點進行關聯和復習，可謂一舉多得。

值得一提的是，筆者在課堂教學中注意到，有部分學生會對（7）式心存疑慮，他們認為該式盡管可以從數學理論上推導得出，但是其所呈現的角度關系從直觀上來看卻并不那么顯然，因而對其仍然會感到有些半信半疑。為幫助學生打消這個疑慮，筆者數形結合，想出了如下方法。

易見，欲說明（7）式所給的角度關系是成立的，等價地只需說明成立

arcsin（2x）=π2-2arctan1-2x1+2x（8）

為此，首先構造輔助三角形ABC（事實上，構造輔助三角形，是在涉及三角換元的不定積分問題的求解中經常采用的一種方法），其中∠ACB=π2，AB=1，CB=2x。然后延長CB于D，使得BD=AB=1。最后連接AD。

由上述作法可知，△ABC和△ADC都是直角三角形，△BAD是一個等腰三角形，故可設α=∠BAD=∠BDA。另設β=∠BAC，φ=∠ABC。在Rt△ADC中，注意到

tanα=ACCD=ACCB+BD=1-4x21+2x=1-2x1+2x，故α=arctan1-2x1+2x。而在Rt△ABC中，又顯然成立β=arcsin（2x）。另由平面幾何知識可知φ=2α，故從Rt△ABC中可得β=π2-φ=π2-2α，也即確有arcsin（2x）=π2-2arctan1-2x1+2x。

這樣，教師就可為（7）式給出一個直觀的幾何解釋，學生也因此而能心悅誠服地接受這個角度關系了。筆者發現，通過教師對此道習題多方位的講解，尤其是在有了上述構造輔助三角形的經歷之后，學生對拉格朗日中值定理以及原函數不唯一這兩個知識點的認識都普遍加深了。

結語

這道不定積分習題的五種解法，涉及了根式換元積分、湊微分、一階微分形式不變性、分部積分和三角換元積分等知識點，幾乎涵蓋了不定積分問題常用的各種解題技巧，通過這一道題，就能夠對學生進行較為全面的訓練。不僅如此，教師在講解此題的過程中，還可通過教學內容的延伸，引導學生加深對與之相關的知識點的理解和認識，從而在一定程度上就能達到事半功倍的效果。

這種教學方式，對于任課教師在培養計劃規定的學時內高質量完成本課程的既定教學內容，對于醫藥類專業學生在相對較少的學時內掌握本課程的基本結論和方法，同時也對于避免學生機械性地刷題和重復性地練習，具有十分積極的意義。因此，教師對于“醫用高等數學”這門課程的習題安排，必須要給予足夠的重視，在教學準備中，應當對教材里的習題認真進行鉆研，嘗試多角度發掘習題的教法，并精心設計習題的講解過程，這樣才能有助于自身在這門低學時高等數學課程的教學中達到較好的教學效果。

參考文獻：

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作者簡介：吳海（1986—?），男，漢族，碩士，助教，研究方向：醫用高等數學課程的教學與研究。