圖像傅里葉變換教學輔助軟件設計與實現

袁建英 李思儀 吳思東 劉甲甲 郭德全

摘?要：針對圖像傅里葉變換數學公式復雜、概念抽象、不易理解的特點，設計了圖像傅里葉變換教學輔助軟件。軟件基于Python框架，對圖像傅里葉變換教學中原理引入、實質理解、傅里葉變換性質、代碼與學習鏈接等進行了設計與實現。使用該軟件進行教學，學生能直觀地感受圖像傅里葉變換各頻譜計算細節，提高學生對抽象圖像傅里葉變換公式的理解，提高教學效果。

關鍵詞：教輔軟件；圖像傅里葉變換；頻譜理解；Python

“數字圖像處理”是電子信息、人工智能類專業一門重要的專業必修課［12］。頻域圖像處理是該課程的重要組成部分。圖像傅里葉變換又是頻域圖像處理的基礎［3］。由于二維圖像傅里葉變換理論性強、公式抽象、數學推導煩瑣，傳統的教學方式容易導致教學過程枯燥乏味，學生對二維傅里葉變換及其性質，以及圖像傅里葉變換的應用等知識理解不深刻，進而影響頻域數字圖像處理的學習。對此，許多高校進行了數字圖像傅里葉變換教學方面的探索。朱亞培等［4］探討了傅里葉變換在數字圖像處理中的教學方法；將數字圖像處理中的頻率域圖像低通濾波過程實施到信號與系統的教學中。馬曉凱等［5］針對圖像處理二維離散傅里葉變換的理論基礎、物理意義和基本原理，對圖像增強、去噪等應用進行了闡述。林冬梅等［6］針對頻譜中心化及頻譜原點的物理意義，結合科研案例進行了講解和分析。趙潔等［7］對頻譜概念的建立及相應的教學方法進行了討論。吳幸智等采用教學輔助軟件，對圖像信息處理課程開展啟發式教學，有效地幫助學生理解抽象理論知識［8］。孫鵬崴等基于Matlab?GUI設計涵蓋圖像處理課程的軟件系統，可以很好地輔助教師授課［9］。雖然這些已有研究對圖像傅里葉變換教學提出了一些思路，但筆者在教學過程中發現學生最難理解的就是時域圖像和頻域頻譜的關聯關系。由于頻譜圖像的抽象性，單靠教師口頭分析很難讓學生有直觀地感受，因此筆者所在的“圖像處理與機器視覺”教學課程組開發出針對圖像傅里葉變換的教輔軟件，解決教學過程中傅里葉變換概念深入淺出引入、傅里葉變換計算實質與傅里葉變換性質可視化展示等教學難點。軟件經過一年的試用，取得了較好的教學效果。下面給出該教輔軟件的設計思想和實現過程。

一、系統設計

圖像傅里葉變換的教學難點有3個：圖像傅里葉變換概念的引入、圖像傅里葉變換頻譜特征認識、圖像傅里葉變換性質及應用。針對這3個難點，設計相應界面，為便于學生課前課后預習和復習，再設計代碼與學習鏈接界面。系統總體設計方案如圖1所示。

二、系統實現

軟件主要采用Python語言的pyqt5包進行實現，使用PyCharm構建虛擬環境進行編譯。通過在PyCharm中加入拓展工具QtDesigner進行軟件界面搭建，并在編寫的.py文件中創建Stats類，通過uic.loadUi（）函數調用搭建好的界面進行功能函數編寫，實現軟件界面各功能動態分離式設計。各功能界面實現方法如下。

（一）原理導入界面

原理導入部分需以生活中學生易理解的常見例子入手。學生在前序課程（如“高等數學”“信號與系統”）中對一維傅里葉變換非常熟悉。因此，在此處先設計一個具體的一維傅里葉變換例子作為引例。由于音頻信號是一維信號，且可以通過軟件方便的產生標準正弦音頻信號，故使用Adobe?Audition軟件分別生成294HZ、349HZ、440HZ的標準正弦信號及其疊加信號。同時在界面上動態展示傅里葉級數分解過程，并用文字靜態說明傅里葉變換的原理。所設計的界面如圖3所示。

（二）傅里葉變換認識

傅里葉變換認識一共設計2個菜單。菜單1用于展示傅里葉變換公式認識、菜單2用于展示典型圖像傅里葉頻譜對比、傅里葉變換性質。

1.傅里葉變換公式認識

圖像傅里葉變換的數學公式如式（1）所示，其中M，N

為圖像的大小，fx，y為時域圖像，Fu，v為fx，y的傅里葉變換。

Fu，v=1MN∑M-1x=0∑N-1y=0fx，ye-j2πuxM+vyN（1）

u=0，1...M-1；v=0，1...N-1

對其指數部分利用歐拉公式展開后，可得：

F（u，v）=1MN∑M-1x=0∑N-1y=0f（x，y）

cos2πuxM+vyN+jsin2πuxM+vyN（2）

對圖像傅里葉變換的理解即是對公式（2）的理解，當u，v為定值時，公式（2）可視為原始圖像與兩個余弦函數卷積運算。因此，二維余弦函數公式的展示就是理解傅里葉變換的關鍵。為此，設計頻譜窗口，窗口的橫坐標表示u，縱坐標表示v，通過滑條拉動u，v值，實時的顯示此時傅里葉變換的幅值Fu，v及對應的余弦函數圖像。每一個u，v值，將對應一個Fu，v和余弦函數圖像。當u，v值較大時，余弦函數的周期較小，和原始圖像卷積將選擇出原始圖像中高頻特征。當u，v值較小時，余弦函數的周期較大，和原始圖像卷積將選擇出原始圖像中低頻特征。

傅里葉變換公式認識界面如圖3所示。該界面的主要功能包括：讀入圖像、傅里葉變換相關參數定義、傅里葉變換具體頻率處頻譜幅值實時顯示、傅里葉變換具體頻率處余弦圖像實時顯示。教師在講解時可采用如下步驟：（1）通過界面右上方讀入圖像按鈕讀入圖像，即顯示原始圖像和頻譜圖像；（2）傅里葉頻譜值分析。界面左邊中間部分傅里葉變換頻譜圖及含有參數u，v的滑動條；結合公式（2），給學生分析當滑動條上u，v值固定后，其頻譜幅值就能計算出。然后教師可拖動滑動窗口上u，v值，頻譜幅值便實時的顯示在頻譜圖下方。（3）由式（2）可知，傅里葉變換u，v值確定后，其值等于原始圖像和一個二維余弦函數的卷積運算，在軟件的右下方實時顯示了該余弦函數圖像。教師可通過拖動u，v滑動條實現不同u，v值下余弦函數的性質分析。在右下方還有一個“3DDISPLAY”按鈕，點擊此按鈕會在彈出頁面中顯示對應余弦圖像的三維形式。

2.典型圖像傅里葉頻譜

典型圖像傅里葉頻譜分析有助于學生理解時域圖像和頻域頻譜圖關聯關系。由于從傅里葉變換頻譜中可以

看出圖像包含的頻率成分，故不同圖像頻譜不同。為此，在界面上設計2行3列的圖像對比窗口，對比顯示3幅圖像的傅里葉變換頻譜圖，加強學生對不同圖像傅里葉變換特點的認識。所實現的界面如圖4所示。在圖4中，第一行給出了3幅典型圖像的示例，分別為含有周期性噪聲的電路板圖像、由黑到白漸變圖像、存在大量45度方向斜線的圖像；第二行給出了3幅圖像對應的傅里葉變換頻譜圖，在教學時通過對頻譜圖的分析，讓學生可直觀地感受到圖像頻譜圖較亮的部分實際反映了圖像中灰度變化的方向以及變化的劇烈程度。

3.傅里葉變換應用——頻域濾波

為展示頻域高通、低通濾波特性，在界面上創建2行3列圖像框。第1行用于顯示原始圖像、高通濾波后的圖像、低通濾波后的圖像；第2行用于顯示原始圖像頻譜、高通處理后的頻譜、低通處理后的頻譜。所實現的界面如圖5所示。從圖5可見，圖像經過高通濾波后，只留下了圖像的邊緣或輪廓部分；圖像經過低通濾波后，圖像變得很平滑。在軟件右邊，對軟件展示的內容進行文字分析，方便學生課后復習。

（三）傅里葉變換性質界面

圖像傅里葉變換性質很多，此處選擇較為簡單的平移不變性、旋轉不變性進行設計。在一個界面上設計若干對比圖像框，分別展示不同平移量、旋轉量對應的頻譜圖，以此幫助學生直觀地理解傅里葉變換性質。在界面右邊，配上對結果的理論分析說明，方便學生課前課后的預習和復習。界面如圖6所示。學生通過該界面，可以很直觀的看到雖然目標發生了變化，但是圖像的頻譜并沒有變化。

（四）代碼及學習鏈接界面

展示圖像傅里葉變換的代碼，并提供自學的參考鏈接。界面如圖7所示。

（五）軟件應用

本教學輔助設計軟件可實現的教學功能包括：圖像讀入、圖像任意u，v值處傅里葉變化幅度值顯示及對應的余弦函數圖像顯示、典型圖像傅里葉幅度值對比顯示、傅里葉變換濾波應用、代碼展示及學習鏈接。軟件內容囊括了圖像傅里葉變換教學的大部分內容，既可以用于教師教學使用，也可用于學生預習復習使用。經過在成都信息工程大學自動化學院《圖像處理與機器視覺》一年的試用，學生普遍反映對圖像傅里葉變換的理論能獲得直觀的理解，增強了學生學習該課程的興趣。

結語

本文基于Python設計開發了圖像傅里葉變換教學輔助軟件，并應用于我校“圖像處理與機器人視覺”課程。教學效果表明，本軟件能提供圖像傅里葉變換數學公式的可視化理解，圖像傅里葉變換性質的可視化對比分析理解，在方便教師授課的同時，大大地激發了學生對傅里葉變換學習的興趣。同時，軟件提供了傅里葉變換u，v方向滑塊交互式操作的功能，可以實時得到任意圖像任意u，v值頻譜幅值，進而能方便分析不同圖像的頻譜特性。利用該軟件進行教學，解決了多年來學生對圖像傅里葉變換無法直觀學習的困難，提高了教學效果。

參考文獻：

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［2］王文勝，孫巍偉，李啟光，等.項目驅動下的圖像處理技術與應用課程實驗教學設計［J］.中國現代教育裝備，2022（11）：124126.

［3］岡薩雷斯.數字圖像處理：第3版［M］.阮秋琦，阮宇智，譯.北京：電子工業出版社，2017.

［4］朱亞培，龍祖強，劉燦.傅里葉變換在數字圖像處理中的教學方法探討［J］.輕工科技，2016，2：165166.

［5］馬曉凱，付禹.淺談傅里葉變換在圖像處理中的應用［J］.科技資訊，2018，16（08）：8081.

［6］林冬梅，楊富龍，陳曉雷.案例講解圖像傅里葉變換［J］.教育現代化，2019，6（70）：211214.

［7］趙潔，張艷，張眾維，等.“數字圖像處理”課程中頻譜概念的建立及其教學方法探討［J］.2019，25（5）：371374.

［8］吳幸智，吳峰，范君柳.采用教學輔助軟件，開展啟發式教學［J］.軟件，2021，42（1）：1518.

［9］孫鵬崴，王俊，王樹軍，等.基于MATLAB?GUI的圖像處理系統的設計［J］.計算機技術與發展，2022，32（04）：215220.

項目基金：本文系四川省高等教育人才培養質量和教學改革項目《引入競賽知識元素的機器人工程專業科技創新實踐體系構建》（項目編號：JG20211006）；成都信息工程大學本科生教學改革工程項目“《機器視覺及應用》教學方法研究與實踐”（編號：JYJG2022049）;“應用型示范機器人工程本科專業建設與實踐”（編號：JYJG2021005）；“學科競賽驅動、科研引領的機器人工程專業科技創新實踐體系構建”（編號：JYJG2022133）；“《智能控制》教學方法的研究與實踐探索”（編號：JYJG2021044）

作者簡介：袁建英（1982—?），女，漢族，四川眉山人，博士，副教授，研究方向：機器視覺；李思儀（2001—?），女，四川達州人，本科生，研究方向：圖像處理；吳思東（1989—?），男，漢族，四川南充人，博士，講師，研究方向：計算機視覺；劉甲甲（1983—?），男，漢族，安徽淮北人，博士，講師，研究方向：機器視覺與工業智能；郭德全（1982—?），男，四川隆昌人，博士，副教授，研究方向：圖像處理與智能計算。