汽車非線性懸架系統的無模型自適應控制方法研究

王先明 高遠 龍文 李智健

摘 要：針對非線性懸架系統的控制問題，建立1/2車數學模型，提出一種雙輸入-雙輸出結構的改進型無模型自適應控制方法。該方法以車身的垂直振動加速度和俯仰角加速度為反饋量，以零加速度為控制期望，前后懸架的作動力為控制器輸出。工作從雙輸入-雙輸出的緊格式動態線性化模型出發，引入一種加權改進的控制準則函數，推導出控制器數學表達式，并理論分析了懸架控制系統的穩定性。不同路面和車速的控制仿真對比結果表明，該方法相比傳統的無模型自適應控制能進一步降低車身垂直振動加速度、動行程、輪胎形變，以及車身的俯仰角加速度，能更好地改善車輛的行駛平順性和操縱穩定性。

關鍵詞：車輛；非線性懸架系統；垂直振動；俯仰運動；無模型自適應控制

中圖分類號：TP13；U463.33 DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2023.02.011

0 引言

基于電控技術的可控懸架系統是現代車輛底盤技術發展的一個重要趨勢。控制策略是懸架控制系統研發的一個重要方面，也是實現車輛獲得良好行駛平順性和操縱穩定性的重要保證。真實的車輛懸架系統是受到路面不平度隨機激勵作用的非線性系統[1]。迄今，研究者提出了車輛懸架系統的諸多控制方法如文獻[2-6]。這些方法大都基于1/4車的線性系統模型，不考慮空氣彈簧等組成部件所具有的非線性特性對控制性能的影響，不能反映控制作用對車身俯仰或側傾狀態的影響變化[2-5]。近年來，有學者考慮懸架系統多變量耦合的復雜性，將車身縱向或/和橫向運動的姿態變量（如俯仰、側傾）納入建模過程，建立較為精確的、高維的1/2車或整車模型；同時為了降低模型復雜度所帶來的控制器設計困難，提出了不依賴模型的模糊控制、神經網絡控制等智能控制方法[7-8]，以及將傳統LQR、PID等與模糊邏輯、神經計算相結合的復合控制方法[9-11]。這些研究雖在確保車輛獲得良好行駛平順性的同時，也能有效地保證車身行駛姿態的穩定性，但也存在模糊推理規則設計依賴專家經驗，以及神經網絡計算不能有效確?？刂茖崟r性等缺陷。

鑒于無模型自適應控制（model-free adaptive control， MFAC）設計不依賴系統數學模型，且具有控制參數可自適應調整、抗干擾能力強等特點[12]，該控制理論方法受到了控制學界的研究關注，不僅在機電控制工程等領域獲得了有效應用，而且在汽車四輪轉向系統也有較好的控制效果[13-15]。本文為提高車輛行駛的乘坐舒適性和車身姿態的動力學穩定性，針對非線性懸架系統的控制問題，建立包含了車身俯仰狀態變量在內的1/2車、四自由度非線性可控懸架系統數學模型；以零加速度值為控制期望，將反饋的車身垂直振動加速度和俯仰角加速度作為檢測反饋量，提出一種改進型無模型自適應控制（improved model-free adaptive control， IMFAC）方法。該控制方法對傳統的MFAC方案中的控制輸入準則函數的控制誤差及其變化律進行加權，以確保懸架控制器作為動力輸出滿足控制穩定性和快速性兩者需求。通過推導設計出IMFAC控制器的數學表達式，證明控制誤差系統的收斂穩定性。非線性懸架系統的控制仿真對比結果驗證了所提控制方法的有效性和先進性。

1 建立非線性懸架系統的數學模型

圖1為1/2車懸架系統四自由度主動懸架模型圖。圖中：zs、α分別表示車身質心處的垂直振動位移和俯仰角；ms和I分別為半車的質量和轉動慣量；df 、dr分別是前、后軸到車身質心處的距離；mwf 、mwr分別是前、后輪的非簧載質量；kwf 、kwr則分別代表前、后輪胎的剛度；z0f 、z0r為前、后輪胎所受到的不平度路面激勵；ksf 、ksr與csf 、csr分別表示前、后懸架的非線性彈簧剛度系數與阻尼系數；uf 、ur為前、后懸架的主動控制作動力；zsf 、zsr與zwf 、zwr分別表示前、后車身與前、后輪胎的垂向運動位移。假設非線性彈簧所產生的非線性恢復力與位移的關系為[16]：

[Fsf=ksf zwf-zsf+εfksf zwf-zsf3，Fsr=ksr zwr-zsr+εrksrzwr-zsr3. ? ?] （1）

式中：Fsf與Fsr分別表示前、后懸架彈簧所產生的非線性恢復力；εf 、εr則是前、后懸架彈簧的非線性系數，且滿足關系[0<εf<1]，[0<εr<1]。

結合圖1模型，并根據汽車動力學相關知識，可建立四自由度、1/2車運動方程模型：

[zwf=kwf z0f-zwf-csfzwf-zsf-Fsf+uf/mwf，zwr=kwr z0r-zwr-csrzwr-zsr-Fsr+ur/mwr，zs=csf zwf-zsf+Fsf+csrzwr-zsr+Fsr-uf-ur/ms，α=drcsrzwr-zsr+Fsr-ur-dfcsfzwf-zsf+Fsf-uf/I.]

（2）

當車輛俯仰角[α]的變化范圍較小時，有關系[sinα≈α]，故前、后車身位移可近似為：

[zsf=zs-dfα，zsr=zs+drα.] （3）

為實現通過前、后懸架主動力[uf] 、ur的控制作用來有效抵消或抑制因路面不平度所導致的車身垂向振動影響，同時保證汽車獲得良好的縱向動態平衡性，設計恰當的懸架系統控制策略方法是關鍵。

2 改進型無模型自適應控制器設計

由于車身的垂直振動加速度[zs]、俯仰運動角加速度[α]均是反映車輛行駛平順性的重要性能指標，均可通過加速度傳感器測量獲得。定義系統的輸出矢量[y=zs，αT]、控制矢量[u=（uf ，ur）T]。本文的無模型自適應控制方案采用雙輸入-雙輸出的控制框架，以零加速度輸出矢量[yd=zsd，αdT=0，0T]作為控制期望，通過設計獲得改進型無模型自適應控制器規律，使其產生控制作用[u]，確保車輛懸架系統可獲得良好的行駛平順性和安全穩定性。

2.1 四自由度懸架系統的動態線性化過程

按照MFAC的相關理論，將車輛懸架系統模型考慮成如下非線性離散時間系統[17]：

[y（k+1）=fu（k），u（k-1），…，u（k-nu）， y（k）， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?y（k-1），…， y（k-ny）]. （4）

式中：[u（k）∈R2×1]為[k]時刻系統的輸入控制矢量；[y（k）∈R2×1]為[k]時刻的系統輸出矢量；nu、[ny]為2個未知正整數；[f（k）∈R2×1]為未知的非線性函數向量。

在非線性懸架系統的控制中，系統的輸入、輸出應均為有界，且能滿足車輛平順性與穩定性的要求。針對這些條件引入如下假設。

假設1 控制函數[f（·）]關于控制輸入[u（k）]的偏導數是連續的。

假設2 該系統滿足廣義李普希茨連續條件，即對任意的[k]和[Δu（k）≠0]，存在如下公式：

[Δy（k+1）≤ξΔu（k）]. （5）

式中：[Δy（k+1）=y（k+1）-y（k）]，[Δu（k）=u（k）-u（k-1）]，且[ξ]是一個正常數。

引理1 當離散時間系統滿足假設1與假設2時，可將式（4）轉化為緊格式動態線性化的數學模型：

[Δy（k+1）=φ（k）?Δu（k）]. （6）

式中：[φ（k）]表示偽雅可比矩陣。在四自由度主動懸架系統中，[φ（k）=φ11φ21φ12φ22∈R2×2]，且對任意時刻[k]，[φ（k）]是有界的。

為使被控懸架系統滿足穩定性要求，可進一步引入如下假設。

假設3 系統的偽雅可比矩陣[φ（k）]滿足對角占優矩陣，即：

[φij（k）i≠j≤ξ1， ? ? ? ?ξ2≤φij（k）i=j≤cξ2.] （7）

式中：i=1， 2；j=1， 2；[ξ2≥ξ1（2c+1）]，[ξ1]、[ξ2]表示2個大于0的常數；[c≥1]。

2.2 基于改進型控制輸入準則函數的控制算法設計

鑒于隨機的路面不平度是影響車輛懸架系統控制性能的一個重要因素，特別是車輛通過具有沖激特性的路面時，瞬間過大的控制誤差會使得系統可能發生失穩現象。為應對路面不平度對控制穩定性和響應快速性的不良影響，確?？刂葡到y滿足車輛行駛平順性和動態穩定性要求，本文利用對輸出誤差及其誤差變化率進行加權的思想[18]，定義一種改進型的控制作用準則函數：

[J2（k）=θe（k+1）2+（1-θ）e（k+1）-e（k）T2+ ? ? ? ? ? ? ? λu（k）-u（k-1）2]. （8）

式中：[e（k）=yd（k）-y（k）=-y（k）]為輸出誤差矢量；[T]為采樣周期；[λ]為大于0的系數；[θ]∈（0，1]為誤差項的加權，當[θ=1]時，式（8）則退變為傳統MFAC方法所用的準則函數形式。IMFAC方法是根據[e（k）]情況設計IMFAC算法，使算法輸出合適的控制作動力[u]，以使得系統輸出[y]快速趨近輸出期望[yd]。將式（6）代入式（8），根據準則函數極小原則對[u（k）]進行極值運算得到：

[Δu（k）=ρθ+1-θT2φT（k）e（k）-ρ1-θT2φT（k）e（k）λ+φ（k）2+φ（k）21-θT2].

（9）

式中：[ρ]∈（0，1]是步長因子。鑒于式（4）的非線性函數未能確知，式（9）中的偽雅可比矩陣無法基于系統數學模型得出，因此，引入權重因子[ζ>0]，構建如下形式的估計準則函數：

[Jφ（k）=Δy（k+1）-φ（k）Δu（k+1）2+ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ζφ（k）-φ（k-1）2]. （10）

采用最小參數估計準則函數對式（10）進行極值運算，可獲得[φ（k）]的估計算法：

[φ（k）=η（Δy（k+1）-φ（k-1）Δu（k-1））?ΔuT（k-1）ζ+Δu（k）2+ ? ? ? ? ? ? ? φ（k-1）]. （11）

式中：[η]∈（0，2]是步長因子。為確保[φ（k）]在合理的范圍內變化，可引入一種重置機制，即當[φ（k）≤ε]或[sgn（φ（k））≠sgn（φ（1））]時，有[φ（k）=φ（1）]，其中[ε]是趨于0的正數。通過[φ（k）]估計，改進型無模型自適應控制器的表達式（9）變為：

[Δu（k）=ρθ+1-θT2φT（k）e（k）-ρ1-θT2φT（k）e（k）λ+φ（k）2+φ（k）21-θT2].

（12）

2.3 控制系統的穩定性分析

定義偽雅可比矩陣的估計誤差矩陣[φ（k）=φ（k）-φ（k）]，由式（11）可得：

[φ（k）=φ（k-1）+φ（k-1）-φ（k）- ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ηφ（k-1）Δu（k-1）?ΔuT（k-1）ζ+Δu（k）2]. （13）

由引理1可知[φ（k）≤ξ]，故有關系[φ（k-1）-φ（k）≤2ξ]。令[z=ηΔu（k-1）2ζ+Δu（k-1）2]，由于[η]∈（0，2]且[ζ>0]，則[z]滿足如下關系：

[0≤z<2]. （14）

對式（13）兩邊取范數，結合[z]的定義式可得到如下的數學關系：

[0≤φ（k）≤2ξ+φ（k-1）-]

[ηφ（k-1）Δu（k-1）?ΔuT（k-1）ζ+Δu（k-1）2=]

[2ξ+（1-z）][φ（k-1）]. ?（15）

由于[ξ>0]，若要等式成立，即[limk→∞φ（k）→0]，則式（14）中[z]的邊界范圍可進一步約束為1≤[z]<2，此時[（1-z）]∈（[-]1，0]，可使得：

[φ（k）=2ξ+（1-z）φ（k-1）≤ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1-（1-z）k-11-（1-z）2ξ+（1-z）k-1φ（1）]. （16）

由式（16）可知[φ（k）]有界，這表明對偽雅可比矩陣的估計[φ（k）]也是有界的。令[l1=θ+1-θT2， l2=1-θT2]，則式（12）可整理成：

[Δu（k）=ρl1φT（k）e（k）-ρl2φT（k）e（k）λ+φ（k）2+l2φ（k）2]. （17）

考慮理想輸出[yd（k+1）=yd（k）=（0，0）T]所具有的穩態特性關系，聯立式（6）與式（17）可得：

[Δy（k+1）=y（k+1）-y（k）=e（k）-e（k+1）= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ρφ（k）φT（k）（l1-l2）λ+φ（k）2+l2φ（k）2e（k）]. （18）

令[M（k）=φ（k）φT（k）]，由于[ρ∈（0，1]]，[λ>0]，[l1>l2]，[0

[1-ρ（l1-l2）Mij（k）λ+φ（k）2+l2φ（k）2∈0，1，i=j=1，2，0-ρ（l1-l2）Mij（k）λ+φ（k）2+l2φ（k）2∈0，1，i≠j=1，2.] （19）

由式（18）、式（19）可得：

[e（k+1）e（k）≤I-ρ（l1-l2）φ（k）φT（k）λ+φ（k）2+l2φ（k）2<1.] （20）

根據式（20）可知，非線性懸架系統在估計算法（11）和控制律（12）的作用下，通過對[φ（k）]的有界估計，使得控制誤差向量滿足[limk→∞e（k）=0]。

3 路面模型及結果分析

3.1 路面輸入模型與仿真參數設置

基于MATLAB/Simulink環境搭建四自由度、1/2車非線性懸架系統仿真模型，將偽雅可比矩陣估計式（11）、控制器數學表達式（12）和路面不平度激勵模型程序模塊化實現。其中路面不平度模型采用如下的濾波白噪聲時域模型[19]：

[z0（t）=-2πf0?z0（t）+2πG0v?ω（t）]. （21）

式中：[z0（t）]表示路面不平度位移；[ω（t）]為高斯白噪聲；[f0=0.1 Hz]是下截止頻率；[v]表示直行車速；[G0]為路面不平度系數，當其取值64和256時分別對應B級路面和C級路面情況。

對控制系統仿真模型設置如表1所列的主動懸架系統參數，選取控制器參數[ρ=1、][ζ=3、][η=0.01、λ=30、θ=0.9、ε=10-5、φ1=21.93.1-5]。為驗證本文方法的有效性，仿真中還對比了無控制的被動懸架系統和[θ=1]時的傳統MFAC方法的相關結果。

3.2 控制仿真結果及分析

當車輛以60 km/h在B級路面行駛時，圖2、圖3分別為車身垂直振動加速度[zs]和俯仰角加速度[α]的響應情況。圖4為動行程曲線圖。圖4（a）、（b）分別是前懸架動行程[zsf-zwf]和后懸架動行程[zsr-zwr]隨時間的變化曲線圖。圖5（a）、（b）分別為前輪胎形變[zwf-z0f]和后輪胎形變[zwr -z0r]的變化曲線。表2—表5分別為在不同等級路面和車速行駛工況下，車身振動加速度、車身俯仰角加速度、懸架動行程和輪胎形變的均方根值，以及同時給出相比被動懸架情形，不同控制方法改善對應指標的百分比。由上述的控制仿真結果圖、表可見，相比傳統無控制的被動懸架系統，在不同車速和路面的行駛工況條件下，2種MFAC方法均能對車身的垂直加速度、俯仰角加速度、懸架動行程和輪胎形變有不同程度的改善，反映出2種控制方案都能有效降低隨機不平度路面激勵對車輛乘坐舒適性、車身動態穩定性的不良影響，同時有效避免了懸架動行程沖撞限位器和輪胎形變壓力損害道路的發生。此外，相比傳統MFAC方法，本文所提出的IMFAC方法在各種行駛工況下均能進一步降低車身垂向振動及車身俯仰角加速度、懸架動行程和輪胎形變，這也表明基于加權改進的控制準則函數所設計的IMFAC控制器可進一步提高車輛的行駛平順性和操縱穩定性。

4 結論

為滿足懸架系統控制性能對平穩性和快速性的要求，本文提出的改進型無模型自適應控制方法通過加權改進控制準則函數，并基于加權的控制準則函數設計出偽雅可比矩陣和二輸入-二輸出控制器數學表達式。仿真結果表明，相比傳統的MFAC方法，本文方法不僅能克服多自由度非線性可控懸架系統模型所帶來的控制器設計困難，而且能進一步降低車身垂向振動加速度、俯仰角加速度、懸架動行程和輪胎形變，確保懸架系統控制性能滿足不同車速和不同等級路面的行駛工況要求，使得車輛獲得更好的行駛平順性和操縱穩定性。本文所用到的反饋變量均可采用相關傳感器測量獲得，同時目前高速微處理器的開發技術也較為成熟，方法具有工程試驗可行性。研究結果為探索可控懸架系統的控制策略，提高汽車的行駛性能，提供了新的、有效可行的方法參考。

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Research on model-free adaptive control of automotive nonlinear

suspension system

WANG Xianming1， GAO Yuan*1，2， LONG Wen3， LI Zhijian3

（1. School of Automation， Guangxi University of Science and Technology， Liuzhou 545616， China;

2. Guangxi Key Laboratory of Automotive Component and Vehicle Technology （Guangxi University of Science and Technology）， Liuzhou 545616， China;

3. Technology Center of Passenger Vehicle， Dongfeng Liuzhou Automobile Co.LTD， Liuzhou 545005， China）

Abstract： Aimed at the control of nonlinear suspension system， this paper establishes a mathematical model of half car， and proposes an improved model-free adaptive control method with a double-input-double-output structure. The vertical vibration acceleration and pitch angular acceleration of the vehicle body are selected as the feedback variables， zero acceleration is used as the control expectation， and the operating forces of the front and rear suspensions are controller outputs. The work starts from the dual-input-double-output compact dynamic linearization model， then derives the mathematical expression of the controller based on a weighted and improved control criterion function， and analyzes the stability of the suspension control system theoretically. The control simulation comparison results of different road surfaces and vehicle speeds show that， compared with the traditional model-free adaptive control， this method can not only further reduce the vertical vibration acceleration of the vehicle body， the dynamic stroke， the tire deformation， and the pitch angular acceleration of the vehicle body， but also improve the performance of the vehicle ride and handling stability.

Key words： vehicle; nonlinear suspension system; vertical vibration; pitching motion; model-free adaptive control

（責任編輯：黎 婭）