數學教材中數學核心素養的模擬實現：特征及其教育價值

徐章韜　李玲

【摘 要】數學教材中的模擬方法是一種再現抽象對象具體內容的處理方式，多采用物理方法，通過實物、模型等模擬具體情境，將抽象的事物直觀化、具體化，讓學生經歷數學概念、定理、公式、思想方法的形成過程。研究者通過分析數學教材中模擬方法的分類及特征，并對模擬方法的教育價值進行討論，認為模擬方法能發展數學核心素養，豐富認知結構，模擬方法的信息技術實現支持“做中學”。

【關鍵詞】數學；模擬方法；實物模型；教育價值

一、問題提出

數學是一門具有高度抽象性特點的學科，這種抽象脫離了對象的具體內容，而只保留了數量關系與空間形式。如，從一個蘋果、一棵樹中抽象出數字“1”，從天上的圓月、水中的漣漪中抽象出“圓”。中學數學中的抽象內容多是從可感知的具體情境中抽象而來的。這些抽象內容讓不少學生覺得數學難學難懂，往往是由于未能將所學內容與所見實際或已有認識建立起聯系，未能認識到抽象對象的清晰表象，認為一些數學對象是憑空產生、虛無縹緲的。學生以學習間接經驗為主，雖不必處處親身經歷，但也需要一定的實踐經驗和認知基礎，才能領悟“虛幻”之實。

數學教材是課程標準下的產物，肩負著用合適的載體、多樣的手法把數學核心素養更好地表達出來的神圣使命。通過對數學教材的研究發現，數學教材采用了物理模擬方法凸顯數學核心素養的手法。本文通過分析高中數學教材對數學核心素養的模擬實現，解析其特征，揭示其教育價值，為教師更好地使用教材提供參考。

模擬方法更多地以數值模擬法的形式出現在電氣工程、機械工程等領域中，是用計算機模擬特定問題，可視為用計算機做實驗。在數學教學中，王向東等［1］認為：“數學實驗是人為地、模擬地創設有利于觀察與思考的條件，從而把數學對象的本質與規律暴露出來的一種方法。”數學實驗可以通過物質或技術工具對數學對象的模擬而展開。《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》強調數學與生活以及其他學科的聯系，注重提升學生應用數學解決實際問題的能力［2］。而聯系與應用正是模擬方法的優勢所在。數學核心素養可以通過數學實驗、物理模擬等手法，體現數學與其他學科的交叉融合，拓展學生的視野，其教育教學價值需要進一步挖掘。

二、數學核心素養的模擬實現

數學核心素養體現了數學發展、數學教學過程中的種種沖突與張力。數學教材中的模擬方法是一種再現抽象對象具體表象的處理方式，使抽象對象與易于認識的現實事物、現象聯系起來。其多采用物理方法，通過實物、模型等模擬數學概念、定理、公式、思想方法的形成過程，把以抽象的符號語言形式表達的數學概念、定理、公式、思想方法等以相對具體的形式呈現，從而豐富學生的直接經驗和感性認識，使學生在認知結構中找到根植新觀念的認知生長點，以此作為認識數學、學習數學的基礎。

（一）凸顯“數學抽象—直觀想象”張力的模擬

由于數學具有抽象性的特征，因此，教師在數學教學中不能以抽象講抽象，還要發展學生的直觀想象能力，數學抽象和直觀想象是相輔相成的，兩者相得益彰。

案例1 用單擺模擬正弦曲線

從歷史上看，三角函數的引入是天文學研究的需要，三角函數定義經歷了從銳角到鈍角再到任意角三角函數的推廣。正弦曲線是三角函數的典型代表。正弦曲線不僅是周期曲線，還有一些特征點，尤其是它的拐點。曲線在拐點處的切線斜率達到最大或最小值時，使得拐點前后的曲線有不同的凹凸性。如此特殊的曲線究竟從何而來？正弦曲線的這些性質如何體現？正弦曲線離學生的視野有多遠？這些都是在教學中需要考慮的。立足學生實際的教學，必然會考慮正弦曲線與學生學習心理的距離。事實上，正弦曲線也蘊藏于生活實際之中，單擺簡諧振動的軌跡，即其時間—位移圖象正是正弦曲線。單擺簡諧振動的周期性反映在正弦曲線的周期性上。曲線的拐點對應單擺運動到最低點處的情形，此時單擺的運動速度最快。運動速度的變化反映在曲線的切線斜率上。因此，單擺簡諧振動能很好地模擬正弦曲線的形成過程，結合物理情境能清楚地解讀正弦曲線的特點，使學生對正弦曲線的認識直觀而清晰，而非僅限于靜態的圖形。通過實物模擬，學生不僅看到了正弦曲線的生成過程，還感受到它的意義。而意義的追求是數學應用和數學教學的活力所在。

案例2 用橢圓規模擬橢圓生成

古希臘人從圓錐面或圓柱面被平面所截的截口上發現了橢圓，阿波羅尼奧斯給出了橢圓的截線定義，并推導出橢圓焦半徑的性質。后人利用橢圓的焦半徑性質作出橢圓，給出橢圓的軌跡定義。荷蘭數學家舒騰的橢圓規之一是“兩釘一線”的模型，如圖2（a）。橢圓的焦半徑性質寓于“兩釘一線”的模型中，“兩釘”即兩定點，“一線”即定長。“兩釘一線”既給出了橢圓的軌跡定義，又揭示了橢圓的特征——橢圓上的點到兩定點的距離之和為常數。除此之外，舒騰還制作了另外兩種橢圓規，如圖2（b）、（c）。［3］點A是滑槽KL的中點，BA=BD，A，B可轉動，D不可轉動，則D在滑槽上運動時，點B的軌跡是圓，點E的軌跡是橢圓。這兩種作圖法的原理相同，可視為對不同的圓作壓縮變換所得。事實上，BD所在直線上除B（軌跡是圓）、D（軌跡是線段）兩點外，其他點的軌跡都是橢圓。這種作法反映了線段、圓與橢圓可相伴而生，借助信息技術還可以看到三者之間的轉換。

案例3 用書本模擬線面位置關系

判定線面平行的關鍵是在平面內找到一條直線與已知直線平行，這一發現需以大量感性經驗為基礎，并要在諸多線面平行與線面不平行實例的分析、辨認過程中概括出其關鍵屬性。將書本平放在桌面上，翻動書的封面，則與書脊平行的封面的外邊緣線與桌面平行。借助書頁中平行的對邊模擬線面平行判定中的兩條平行直線，桌面外本的封面的外邊緣線與桌面內的書脊所在直線始終平行，封面的外邊緣線也始終平行于桌面，進而自然而然地將線面平行與線線平行聯系起來。此外，將書本立在桌面上，還可模擬線面垂直的定義。書頁的下邊緣線在桌面上，它們都與書脊所在直線垂直，而書脊所在直線也與桌面垂直。

（二）凸顯“邏輯推理—數學運算”互補的模擬

邏輯推理和數學運算之間的沖突、對立、融合推動著數學不斷向前發展。《幾何原本》體現了邏輯推理的重要作用，《九章算術》彰顯了數學運算、算術思維的強大力量。因此，邏輯推理和數學運算是數學的兩翼，使數學翱翔在人類探索未知世界的天空中。

案例4 用電路模擬命題邏輯

在形式邏輯推理中，人們關心命題的兩種狀態——真與假；在電路中，開關只有接通與斷開兩種狀態，燈泡只有亮與不亮兩種狀態。將開關狀態與燈泡狀態的這種二元特性與命題真假相對應，用“開關接通、燈泡亮”模擬命題為真，用“開關斷開、燈泡不亮”模擬命題為假。用開關的串聯、并聯和反相模擬邏輯連接關系“且”“或”“非”，則各式各樣的復合命題都能用電路圖進行模擬，命題真假的判斷也可歸結為燈泡亮與不亮。關于命題a、b的命題a且b（a[?]b）、a或b（a[?]b）、非a（ac），可由圖4中的電路圖模擬。視覺化的開關電路與言語化的命題邏輯中，非此即彼的二元特性是它們的共性，拋棄它們的具體表象，只保留這種二元特性，布爾代數便產生了。

案例5 用多米諾骨牌模擬數學歸納法

案例6 用容器盛沙模擬計算球的體積

案例7 用摸球實驗模擬二項式定理

案例8 用不等臂天平稱兩次模擬基本不等式

基本不等式表示對任意兩個正實數分別取算術平均和幾何平均后，運算結果的必然性——兩正實數的算術平均數不小于其幾何平均數。古巴比倫的祭祀利用“和差術”，從代數角度推導出基本不等式。趙爽在注解《周髀算經》時利用弦圖，從幾何角度推導出基本不等式。教材中出現的用不等臂天平稱兩次則是對基本不等式的另一種思考。將物體放在左盤稱得物體質量為a，將物體放在右盤稱得物體質量為b，為估計物體的實際質量，常取算術平均[a+b2]，而利用杠桿原理則得實際質量為[ab]。兩種平均雖有差異，但其間存在著“恒不等”關系。不等臂蘊含著[a≠b]，當且僅當在等臂天平中，即a=b時，才有[a+b2]=[ab]。

（三）凸顯“數學建模—數據處理”關聯的模擬

數學建模是數學聯系現實世界與數學世界的橋梁，數據處理是其中重要的一環，兩者是不可分割的整體。因此，數學建模和數據處理體現了模型化與數據驅動之間的內在聯系。

案例9 用撒豆實驗模擬計算圓周率

在一個正方形區域中均勻撒豆，統計落入正方形的內切圓中的豆子數與落入正方形中的豆子數之比，當豆子數足夠大時，這一比值就十分接近正方形的內切圓面積與正方形面積之比，由此可得圓周率的近似值。這種方法通過構建隨機過程，利用幾何概型，將圓周率的計算這一確定性問題轉化為撒豆過程中豆子所落入的區域這一隨機性問題，而圓周率蘊藏在撒豆這一隨機過程的概率之中。這是蒙特卡洛方法——撒豆法，它通過建立隨機過程或概率模型，進行隨機試驗獲取數據來估計概率模型的參數或數字特征，而這一參數或數字特征就是所求問題的解。

案例10 用高爾頓板實驗模擬正態曲線

正態曲線是蘊藏于客觀事實之中的客觀規律，在大量不確定因素的影響下，許多隨機變量的分布最終都指向正態分布。這體現了正態分布在混亂中維持著秩序的驚人規律，這一規律可通過高爾頓板實驗再現。在高爾頓板實驗中，小球遇到每一個釘子后向左或向右落下是一個隨機因素，小球落到底板上的位置受這些隨機因素共同影響。各個槽中的小球堆積高度反映了小球落入各個槽中的頻數分布規律。將球槽編號，建立隨機試驗結果與一些自然數的一一對應關系，則構造了一個描述這個隨機試驗的離散型隨機變量，其分布列用頻率來近似。可以發現試驗中小球的堆積形狀與小球落入球槽的頻率分布直方圖相似，因此從小球的堆積形狀可以發現這個隨機變量的分布列特點。隨著小球數量的增加，頻率分布直方圖的形狀越來越像正態曲線。高爾頓板實驗再現了正態曲線的形成過程，并揭示了隨機性中蘊含著的規律性——受大量作用微小的因素影響的隨機變量服從或近似服從正態分布。

三、數學核心素養模擬模型的特征分析

數學核心素養不只是一個名詞，其還有豐富的內涵。這些內涵要用教學的手法揭示出來，以體現其教育特征和教育價值。

（一）物化的直觀中蘊含著抽象——數學學習方式多樣化

物理模擬突出是數學對象的本質特點。在單擺的擺動中，當擺角足夠小時（小于5°），無論擺長長度如何變化，單擺的時間-位移圖象始終反映出周期性變化規律。在“兩釘一線”的橢圓規中，無論筆尖移至何處，筆尖到“兩釘”的距離之和始終相等。在線面平行判定的模擬中，在封面外邊緣線與書脊平行的條件下，無論怎樣翻動書本的封面，封面外邊緣線始終與桌面平行。它們的共同點是通過實物、模型的直觀演示，突出變化中的不變性，創設在感知事物的形態與變化過程中發現事物本質屬性的條件，從具體背景中抽象出一般規律和結構。這樣的模擬方法有利于理解一些數學概念及其性質。

模擬的突出特點是揭示了教學是如何處理直觀想象與數學抽象之間的辯證關系的。抽象性是數學的特點，是數學具有廣泛應用性的基礎，但也正是數學的抽象性使得數學與生活、學生的實際有點遠，使學生學習起來有點吃力。通過實物模擬，充分發揮感官的觀察、分析、思辨作用，使學生的學習從具體的經驗走向思辨。而學會數學地思考，去掉各種具體的物理屬性，正是數學抽象的力量所在。故欲習得數學抽象，必先從實物、直觀入手。這是一種認識的辯證統一。

上述模擬案例，更新了我們的認識。不唯符號、書本中蘊含的知識，模型、實物中也隱藏著天地之機。因此人們常說“讀萬卷書不如行萬里路”，認知分布理論深刻地揭示了這一觀點。學習方式不僅僅只有書中學這一種，例中學、做中學也是有效的學習方式。“動眼觀察、動手操作”實驗式的具身學習理論在數學教學中也應有一席之地。

（二）邏輯和運算支配著事物的運行——數學學習內容明確化

邏輯推理和數學運算是數學的力量所在。高中數學教材為了提高學生的邏輯推理能力，編寫了“簡易邏輯”這一章內容。從實際的教學情況來看，有的學生認為邏輯太抽象了，比其他知識更難學。數學是要講推理，但更要講道理。通過“開關接通或斷開與燈泡亮或不亮的聯系”類比復合命題的真假判斷邏輯，“在第一塊骨牌倒下的條件下，前一塊骨牌倒下與后一塊骨牌倒下的聯系”類比歸納遞推的邏輯，學生能從這些顯而易見的事實悟出推理之“理”，接受起來就容易多了。烏申斯基曾說，邏輯不是別的東西，而是現實世界里的事物和現象的聯系在我們頭腦中的反映。而在數學中，從“事物”到“現象”，即從既定事實到新的結論，要經歷邏輯推理的過程。這樣的模擬方法有利于數學定理、公式等的學習。

數學運算和邏輯推理水乳交融。張景中院士指出邏輯推理是抽象的計算，數學運算是具體的推理。數學中的公式是推理的產物，是邏輯計算化后的產物。三個容器中的細沙體積間的聯系，揭示了圓柱、半球和圓錐體積之間的關系；摸球方法與摸球結果之間的關系，揭示了二項式定理的內涵，更蘊涵著母函數的萌芽；對不等臂天平稱兩次的結果取算術平均或取幾何平均的聯系，是基本不等式反映的恒不等關系。上述三種模擬的共同點是通過實物、模型的模擬，揭示現實世界里的事物和現象聯系中的量化關系，而且這種量化關系竟然是如此的顯然，數學公式無非是用符號把這種顯然表達出來了。通過推理、計算獲得事物之間的數量關系是數學研究的內容，進而可轉化為數學教學的內容和任務。

（三）溝通確定性數學與隨機性數學——數學語言表達多樣化

建立概率模型，進行隨機試驗，估計概率模型的參數；構造離散型隨機變量，借助實物，再現隨機過程，將隨機試驗結果直觀化，模擬隨機變量的分布。以上內容的共同點是通過建立適當的數學模型，經歷隨機過程的模擬，進而幫助學生解決問題或發現規律。這樣的模擬方法有利于概率統計相關內容的學習。

概率統計的教與學是一大難點，其原因在于隨機性數學與確定性數學的特點迥異。教學要想方設法跨越這條鴻溝，溝通兩者之間的關聯。教師應通過一些具體的模型來模擬隨機現象，使學生經歷隨機過程，感受數據變化的隨機性，有利于提高學生對數學建模、統計建模及數據處理的認識和理解。數學通過數學建模、統計建模來表達對現實世界的訴求，體現了隨機性數學與確定性數學的關聯。在教學中，教師通過數學建模、統計建模活動，使學生感受到用數學語言表達現實世界的有效性和多樣性。

四、數學核心素養模擬方法的教育價值

（一）模擬方法發展學生的數學核心素養

數學核心素養是對數學教育所要培養的人的描述，是數學教育目標的具體化。數學教育的目標可以描述為會用數學的眼光觀察世界，會用數學的思維思考世界，會用數學的語言表達世界。數學的眼光，體現為數學抽象，而直觀想象是數學抽象的基礎或進階。數學的思維，體現為邏輯推理，數學運算也屬于邏輯推理。數學的語言，主要是指數學模型，此外，數據分析在大數據時代也逐漸成為一種新的數學語言［4］。用數學“觀察、思考、表達”世界反映的是數學源于現實世界，并指向實際應用的觀點。從現實世界抽象而來的數學對象，最終又可用來解釋現象、表達世界。對現實世界的數學抽象使得研究對象更具一般性，而一般性又使得數學的應用更具有廣泛性。這說明數學核心素養的形成與發展離不開現實世界與數學學習的雙向聯系。孫曉天［5］認為，數學核心素養中“聯系”是關鍵，“聯系”的兩頭，一頭是數學，另一頭是真實的世界和現實生活。沒有了“聯系”，從哪里抽象，拿什么建模，憑什么推理，換言之，人們津津樂道的那些數學素養幾乎全都斷了由頭，差不多可以免談。

模擬方法能化抽象為具象，也能幫助學生借助具象上升到抽象，發展學生的數學眼光；模擬方法把實物、模型中的數量關系具體地呈現出來，發展學生的數學思維；模擬方法本身就是一種建模方法，提供了聯系現實世界與數學學習的一種途徑，發展學生的數學語言。總而言之，模擬方法有助于發展學生的核心素養。

（二）模擬方法豐富學生的認知結構

數學多元表征理論提出可以用言語表征或視覺表征的多種表征形式表征同一個數學對象，言語表征包括文字、符號等，視覺表征包括實物、模型等。多元表征理論的實質就是對信息進行多角度、多視角的解釋，使學生建立新舊知識固著點的同時，便于調用原有認知結構中的信息使其對新信息進行加工從而建構知識。從表征的視角看，數學概念、定理、公式、思想方法的表述是以言語表征的形式，實物、模型等的呈現則是以視覺表征的形式。模擬方法即是從言語表征和視覺表征的不同表征形式來認識數學對象，模擬的過程更是建立起數學對象的言語表征和視覺表征的各種不同表征形式之間聯系的過程。如用單擺簡諧振動模擬正余弦曲線，單擺簡諧振動這一物理情境賦予正余弦曲線更豐富的內涵，使得對它的解讀可以基于物理視角。單擺簡諧振動是一種內涵豐富的視覺表征，它與另一種視覺表征——不加說明的正余弦曲線及言語表征“y=sinx/y=cosx”相互參照、聯系，同時原有認知結構中的生活常識、物理知識、數學知識等與它們發生作用，形成豐富的認知結構，進而理解抽象對象。

模擬方法具有跨學科的性質，調動了學生認知結構中的多種知識儲備，橫向溝通知識間的聯系，豐富了學生的認知結構。認知結構的穩定性、可利用性及有意義性是學生進一步學習的基礎。豐富的情境、多樣化的刺激均有利于獲得穩健的認知結構。在數學內部學習數學，固無不可，但要視野開闊，跨學科地學習更值得提倡。這也正是STEAM所倡導的主張。

（三）模擬方法的信息技術實現支持學習方式多樣化

飛速發展的信息技術為數學教學開啟了新篇章，信息技術與數學教與學的整合成為時代發展的必然要求。包括美國、澳大利亞、新加坡在內的許多國家的數學課程標準都明確提出將信息技術的使用作為數學素養的基本要素。使用信息技術的目的在于揭示數學本質、優化教學過程，進一步讓學生體會使用信息技術工具學習數學、解決問題的可行性和有效性，為學生學會學習提供技術支持。模擬方法中的實物、模型的呈現與變化可通過信息技術來實現，使信息技術融入學習過程，充分發揮信息技術的優勢。模擬方法的信息技術實現使得物理、數學和信息技術綜合與交叉，物理知識、電子信息知識和數學知識相互支持與補充，為學生提供借助信息技術探索客觀對象與數學對象之間聯系的方法。從現實世界中的客觀對象到數學對象的抽象過程，是變具體的存在為抽象的存在，關鍵在于明晰客觀對象的本質屬性。動態、靈活的信息技術環境使得模擬方法中的客觀對象可視化、可操作，為突出客觀對象的本質屬性提供便利，是研究變化中的不變性的有效工具，支持學生在“做中學”，實現學習方式的多樣化和變革。上述物理模擬均可以用信息技術，使物理模擬走向虛擬現實、增強現實，使學生感受到現代科技的樂趣和魅力，同時也感受傳統經典課程承載的深厚內涵。

教材是一種示范，其中隱含的教育價值需要一線教師發揮主觀能動性，創造性地使用教材。數學核心素養是理念，不是口號，需要教師從多角度進行研討，對復雜問題進行分解、模擬、算法化、泛化才是計算思維的體現。隨著信息技術、大數據時代人工智能的興起，在教學中運用多種思維落實數學核心素養是現代數學教育的應用之義。

參考文獻：

［1］王向東，戎海武，文翰.數學實驗［M］.北京：高等教育出版社，2004.

［2］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［3］徐章韜，汪曉勤.從機械圓錐曲線規到電子圓錐曲線規［J］.數學通報，2016（3）：54-57，59.

［4］史寧中，林玉慈，陶劍，等.關于高中數學教育中的數學核心素養：史寧中教授訪談之七［J］.課程·教材·教法，2017（4）：8-14.

［5］孫曉天.研究現實世界的真問題：記第十屆東盟國家中學生數學學科競賽（SSYS）［J］.數學通報，2016（4）：1-3，15.

（責任編輯：陸順演）