數學優化思想的培育：實踐展開及可能路徑

劉師妤　劉祖希　周龍虎

特別策劃：新青年數學教師工作室專欄

【摘 要】在數學教學中有效滲透優化思想，培育學生的優化思想一直是教育工作者的重點研究課題。數學的本質是化簡，化簡的方向是優化，優化是重構認知體系、促進深度理解的必然路徑。以培育學生數學優化思想為旨趣的教學活動需要數學問題解決以及數學命題教學的現實觀照，并從中汲取經驗和實踐智慧。通過對優化問題的典例剖析，提出以優化問題為媒介，以素材積累與開發為保障，以轉化和熟悉化為抓手培育學生數學優化思想的可能路徑。

【關鍵詞】優化問題；優化思想；優化路徑

一、引言

優化思想，顧名思義，指通過對可能性方案或決策進行最優化篩選的思想。在當前學生數學學習任務繁重的背景下，優化教學對于服務“雙減”政策實施和提升教育教學質量具有積極的現實意義。為達到用數學眼光觀察現實世界、用數學思維思考現實世界、用數學語言表達現實世界的數學教學目標，切實提高學生的問題分析與解決能力，發展學生的邏輯思維能力、數學應用能力以及數學理性精神，應以優化作為過程導向、策略指引，讓優化思想根植于學生內心。優化思想，既體現在問題解決過程中多樣方案的比較、整合與篩選，又滲透在對數學核心概念、公式定理的深刻理解之中。本文通過解題教學和命題教學兩個層面，透析培育學生數學優化思想的內涵特征及價值意義，并總結概括出切實有效的培育策略。

二、解題教學中的優化思想

桑代克認為，學習實質上是“嘗試—錯誤”的過程。事實上，學生所接受的解題訓練、問題解決大抵如此。由淺層次理解數學概念、公式定理出發，通過解若干數學問題，達到進一步的深化理解，以培植出求簡求真的數學精神，這個過程也必是一個不斷試錯的過程。問題解決過程中試錯的目的不僅在于求得正解，更在于優化思路、促進理解、完善認知。具體來說，解題教學中的優化思想可以分為問題解決策略的優化與問題生成的優化。

（一）問題解決策略的優化

問題解決策略的優化往往需要學習者對問題涉及領域有所洞察并積極地嘗試更簡潔的求解，這一自覺求簡優化意識的獲得還有賴于有目的的“一題多解”訓練。

例1 已知橢圓C：x²/2+y²=1，直線l：y=kx+m與橢圓C交于A、B兩點，若橢圓C上存在點D使得四邊形AODB為平行四邊形，求OD長度的取值范圍。

【分析】若直接聯立直線l與橢圓C的方程，可以表示出弦AB的中點坐標，進而表示出D點坐標，求OD長度的范圍便要依賴于參數k、m滿足的條件（即保證直線與橢圓相交）。但注意到，除直線l要與橢圓相交外，再無其他限定條件（如過定點或定斜率等）了，所以不妨直接對D點作特征分析，將問題變更（轉化）為：對于橢圓C上任意一點D，是否總能作一個平行四邊形AODB，其中另外兩個頂點A、B也落在橢圓C上呢？經驗告訴我們，這可以辦得到。因為橢圓的弦所在直線的斜率與原點到弦中點連線的斜率之積為定值，OD的中點E便是說理的關鍵。這里我們得到的啟示是，問題解決的思路并不一定要遵循問題生發的邏輯順序，要善于剖析條件之間、條件與結論間的邏輯關聯，從而確定新的研究思路。

（二）問題生成的優化

致力于發展學生數學思維的問題教學，應循序漸進地實現“就題論題”向“就題論道”的問題解決層次與境界的躍遷。追求問題解決的優化過程實質上是生成性思考的過程，它一般包括為重構或完善認知結構的經驗性生成，由具體解決策略遷移并升格為一般性觀念的概括性生成，一般性或特殊意義的新問題或方法的創造性生成［1］。

三、命題教學中的優化思想

數學命題教學是數學教學的重中之重，其成效直接影響學生的學習效果。命題教學從抽象的數學概念或公式、定理出發，進入其內在邏輯系統和意義領域，概念的內涵和外延得到有效延伸，公式定理的適用條件和應用范圍得到充分拓展，學生的數學理解能力也隨之增強。因此，教師在教學中既要厘清教學內容、教學活動的“明線”（提出問題、分析問題、解決問題、系統化），也要厘清貫穿其中的“暗線”（一般性觀念）［3］，從而為教學結構的優化奠定基礎。

（一）優化教學過程，提升學生核心素養

不同教學觀下的教學過程處理是不一樣的。若主張教學以獲取知識、掌握技能為根本目的，那么教學過程是以知識為中心，背離以學為中心的；若主張教學完全按照學生興趣和需要來開展，那么教學過程是對學生直接經驗的過分關注（忽略了間接經驗的作用）；若主張教學是一種“特殊的認知、互動過程”，那么教學過程則是以發展自我認知為中心的過程，是致力于發展學生學科觀念、學科素養的過程。因此，要以正確的教學觀指導教學過程，優化教學過程的全過程，從而提升學生的學科核心素養。

例3 如何理解三角恒等變換中的和差化積與積化和差公式？

盡管《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》對三角函數的和差化積與積化和差公式的要求并不高，但該組公式能淋漓盡致地凸顯三角恒等變換的精髓，因而人教A版數學教材在“例題”“練習”“拓廣探索”欄目都提到了它的證明及含義。

為突破此教學難點，并檢測學生學習兩角和與差的公式、二倍角公式的效果，在恰當的時機下筆者向學生拋出了“如何理解三角恒等變換中的和差化積與積化和差公式？”這一問題。通過小組合作和師生商討的主題式探究形式，學生普遍達成以下共識：

（1）公式的結構。它是合理選用公式的依據，如為了湊出特定的角或是確定的運算形式。

（2）公式內部間的聯系。通過換元、誘導、方程變換等方式能實現公式體系的快速構建。

（3）公式與外部公式（如二倍角公式）的關聯。通過變量代換等方式可以得到二倍角公式，體會特殊與一般的辯證觀。

（4）公式的幾何詮釋。單位圓這一思維工具不僅能直觀演繹公式，還能體現定義三角函數的優越性。運用數形結合的視角審視數學對象，有利于培養學生的整體性思維。

不難看出，對該問題的多維度探究并不見得優化程度有多高，但教師讓學生親歷完整的自我問題式思考與解決過程，本質上就是對教學過程的優化，當然也包括問題本身。學生在課堂中獨立思考與探索的機會本就不多，教師要合理創設問題情境，將學生引導到“我是問題解決者，學習的主人”的軌道上來，真正掌握研究問題的一般思維方法。

（二）優化教學內容，增強學生主題思考意識

數學嚴密的邏輯性體現在數學知識的關聯性上，數學教學的效率意識［4］則體現在對數學知識的整合上。通過對相近數學知識的發掘與自然整合，不僅能凸顯知識的整體性和本質特征，更能增強學生的主題思考意識。

例4 如何推導等比數列前n項和公式？

筆者與不少教師交流發現，等比數列前n項和公式的推導并非像我們預設的那樣順暢，甚至總有遭受冷場的尷尬，即學生想不到“乘以公比，再錯位相減”。既然學生覺得不自然、難以理解，教師搭設再多的腳手架也只是生硬的預設，其生成也必是不和諧的。何不讓學生按照他們認為自然的思路去探究呢？通過課堂觀察，筆者發現：在一堂課上，只有4名學生直接研究S_n=1+q+q²+…+q^n-1這一方程，甚至根據等差數列依葫蘆畫瓢利用倒序相加法化簡，最后無疾而終；絕大多數學生嘗試對公比q賦值，想從特殊結論中發現一般規律（成功的人數約占一半）；還有幾名學生絲毫沒有進展。結果表明，如此追求自然化的教學沒有讓學生對“錯位相減法”印象深刻，取而代之的是特殊與一般的數學思維方式，這種方法是學生“原創”的，是他們從自己的原有知識經驗中歸納得到的。

實踐表明，呈現不同的問題情境更有利于同一主題觀念的揭示與理解。無論是錯位相減，還是錯位相加，甚至是錯位相乘，都是基于方程組作結構化處理，將無限項求和化簡為有限項的基本思想。類似地，利用交軌法求動點的軌跡方程也不能盲目地求出動點的坐標再實施消參，而要尋求整體消參的辦法；蒙日圓背后的方程思想才是轉化的精髓所在。

從例4來看，自然化、本質化、關聯化也應是教學中問題優化的三種方式。自然的思路落在學生的最近發展區內，自然是走向順暢、高效的必經之路。教學適于自然（包括人性的自然和客觀的自然），這是一切教學優化理論總的指導原則［5］。對問題本質的探尋，即對簡潔有效的問題解決模式的探索。發掘知識間的關聯，有助于知識的整合、觀念的聚合以及認知結構的簡化和優化，本質上是深度教學的重要環節［6］。

（三）優化教學設計，提升學生思維品質

基于學情精準分析的教學設計，必然是著眼于提升學生思維品質的精彩設計。合理、有效的教學設計是學生活動的設計，是促使學生認知不斷躍遷的設計。在此過程中，學生能逐步養成獨立探究的習慣，能進一步發展思維的嚴密性、深刻性和批判性。

例5 如何得到“直線與平面垂直的性質定理”？

作業反饋及調研表明，立體幾何線面間的諸多判定和性質定理中，數“直線與平面垂直的性質定理”學生掌握得最差，其次是“線面平行的性質定理”。主要是因為這兩大性質定理都是在引進輔助平面和輔助直線的基礎上實現位置關系的轉化。學生在公理和其他定理的學習中已經形成了思維定式：過分關注已有點、線、面的位置關系而忽略構造輔助元素的作用，且易混淆定義和性質的區別。為了界定某數學對象，我們常會根據其本質特征A給出定義，反過來，也就能判定該數學對象具備性質A，但這樣還不能上升到定理的層面。簡言之，數學性質是為了區別數學對象體現出的屬性，而數學性質定理是基于已有命題的重要性結論或規律。“位置關系的轉化”是各判定定理、性質定理合理給出的指引，因此既要在單獨體系內（“平行體系”或“垂直體系”）考察轉化的方向性，也要在體系間思索轉化的可能性。

在直線與平面垂直前提下，推出直線與平面內任一直線垂直屬于線面垂直的定義，推出過該直線的任一平面與已知平面垂直則成了面面垂直的判定定理，所以必須轉向平行關系的轉化，構造輔助元素成了可能。若引進輔助平面，當輔助平面與已知平面平行時，直線也垂直于輔助平面，即由線面垂直的條件推出了線面垂直的結論，轉化目的沒有達到；當輔助平面與已知平面垂直時，已知直線要么在輔助平面內，要么與它平行，即結論開放，沒有了數學定理的確定美。而引進輔助直線，當且僅當直線也與已知平面垂直時，直線間的平行關系就水到渠成了。通過上述分析，要得到線面垂直的性質定理，不能通過直覺性告知，要通過理性的認識和闡明。

四、培育學生優化思想的有效策略

教學活動一旦存在，對優化教學的探索就一直沒有停歇過。蘇聯教育家巴班斯基為了解決學生普遍存在的留級、學習成績不佳等問題，提出要對教學過程進行最優化處理，即在一定教學條件下尋求合理的教學方案，使教師和學生花更少的時間和精力獲得更好的教學效果，使學生獲得更好的發展。培育學生的優化思想的邏輯起點還應回到“學習”這一核心上來，如學習環境的構建、學習資源的豐富與呈現、學習方式的多樣化與優化等。具體可采取以下策略培育學生的數學優化思想。

（一）以優化問題為媒介，滲透優化思想

優化從始至終都不是數學的特權，任何學科的發展都是不斷優化的結果。從數學課程標準制定到教材編寫再到教師施教，都是為了更有利于教師的“教”和學生的“學”，各個系統與環節都在相互協調、整體優化。每一次有意義的數學思考，或是方法的改進、結論的推廣，抑或是新概念的引進、思想觀念的更新，都是不斷優化所帶來的產物。正如鄭毓信所說：“不斷的優化可以看成數學學習活動的本質所在。”［7］數學學習，表面上是一個知識密度和容量不斷擴大的過程，實際上是伴隨著數學問題不斷優化，優化意識不斷強化，學習者主動建構知識體系，將知識轉化為技能并運用于真實情境中來解決復雜問題，從而促進學習者元認知能力、問題解決能力、批判性思維、創造性思維等高階思維能力的發展的過程。

優化問題是一個比較分析、追根溯源的過程，既要為證實尋求證據并提供辯護，也要為證偽構造反例并進行反駁［8］。優化意識不是從無到有的，它需要生長土壤——優化問題或一般性問題。實際生活中的“費用最省”“利潤最大”等問題往往要從極端情況去探求研究對象的最大（小）值，我們統稱為優化問題，而一般性問題則不具備這些屬性。由于優化問題本身要探討如何優化等問題，自然成為培養優化思想的一大途徑，也能最大限度地發揮問題解決的教學價值。

數學家哈爾莫斯認為問題是數學的心臟。問題或作為思考材料，或作為教學方式，都試圖引發興趣，發展思維，優化思維當屬其中之一。對問題本質的探尋乃至對隱匿其中的“本原性學科問題”［9］的挖掘，是學科理性精神的彰顯，是優化的又一現實價值體現。通過問題情境的創設，問題被有效分解直至被解決，學生的思維品質在這一過程中得到了優化，因而優化問題不會成為培養優化思想的唯一途徑。任何數學活動的開展都遵循著簡化、優化、深刻化的基本原則。概括地說，積累數學基本活動經驗的過程即培養優化思想的過程。從這一意義上講，以優化問題為特質的問題教學為學生的認知發展奠定了堅實的學習環境準備基礎。同時也要認識到，對于不同思維層次的學生，應采取不同的策略優化問題的解決過程［10］，如元認知策略比精細加工策略更適合于思維層次較高的學生。

（二）以素材積累與開發為保障，發展優化思想

優化意識不能也不應僅由解題歸納而得，教學中還要呈現需要優化的直接素材（在這里不妨將教材中或拓展的教學內容稱為直接素材，而通過解題歸納得到的則屬于間接素材），即教師要想方設法為發展學生的思維尤其是優化問題的意識提供條件。如人教版義務教育教科書《數學》四年級上冊的“數學廣角——優化”便滲透了運籌思想。運籌思想包括優化思想和對策論。該部分內容呈現了學生日常生活中的一些簡單事例（討論烙三張餅時怎樣操作最省時間；討論家里來客人需要沏茶時，怎樣安排各項工作能讓客人盡快喝上茶），讓學生嘗試從優化的角度在解決問題的多種方案中尋找最優的方案。又如人教版普通高中課程標準實驗教科書《數學》選修2-2中“導數及其應用”一章中“生活中的優化問題舉例”小節，給出了生活中求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，教學的側重點不是由學生已積累的生活（或數學）經驗通過對比與分析做出優化，而是通過程式化的基本思路（用函數表示數學問題→用導數解決數學問題→優化問題的答案→優化問題）以導數作為工具實施優化。

奧蘇伯爾指出，影響學習的最重要的一個因素是學習者已經知道了什么，教師應當根據學生原有的知識狀況進行教學。這表明，學生的認知基礎是學習的起點，一定程度上決定了學習的效果。教材集眾教育專家智慧之結晶，有很強的示范性和較高的權威性。以優化為旨趣的素材給學生生成的第一印象會產生積極的印刻效應，極利于優化思想的培養。實踐表明，數學家們的思維過程和成果本質上是豐富的優化問題素材，我們應善于從數學家的“廢紙簍”尋找數學思維的自然性和合理性［11］，讓優化自然生發。

此外，考慮到整個數學學習周期的漫長性與優化問題的直接素材過少的不匹配現象，教師還需要積極開發并積累直接素材。數學源于生產實踐，它反映現實世界的規律，又成為理解世界、表達世界的有力武器，因而學生所熟悉的現實世界應是直接素材的重要來源。

（三）以轉化與熟悉化為抓手，培育優化思想

離開了轉化與熟悉化，優化便無從談起。一般意義上的轉化包含了熟悉化，這里著重強調轉化中由難化易、由繁化簡的過程。教學實踐中，不少教師在課堂中總把“轉化”與“化歸思想”掛在嘴邊，或是引導學生思考問題，或是作為課堂小結的陳述，卻很少談及轉化的目的或是價值所在。轉化是為了優化，不僅是優化解題過程，更是優化思維的習慣，以形成有序的思維表達習慣。關于熟悉化的教學實踐也不容樂觀。將陌生的問題轉化為熟悉的問題就一定更好研究嗎？前提是學生對于熟悉的問題要比陌生的問題掌握得更好，而絕大多數學生數學學力不高的主要癥結便在于對熟悉的數學核心概念、典型的數學方法及思想理解不深刻、落實不到位，這般情形下的熟悉化實際上是誤入了另一個泥淖。

一般來說，有兩種策略致力于方法的改進與優化。

一是轉化問題的情境范疇。問題一般要借助情境承載，我們俗稱為“問題表征形式”。問題表征是指在頭腦中對某一問題信息進行記載、理解和表達的方式。在問題解決的過程中，首先要在工作記憶中對問題涉及的對象、條件、目標和認知操作等進行編碼，建立起適當的問題表征，包括問題的初始狀態、問題的目標狀態、改變問題狀態的操作（算子）以及對算子的約束等四個因素。問題表征的適當性影響問題解決的難易程度。因而適當改變問題的表征形式，新情境下問題的解決往往就容易得多。問題表征形式的改變，還伴隨著更新、更高層次的抽象，往往也包含了觀念的必要更新，即用一種新的觀點去看待一件熟悉的事物，甚至是用完全不相容的觀點去取代原先的認識，因此，改變問題的表征形式理所當然也被看成數學學習中思維優化的又一重要內涵。

二是做問題的要素分析。直譯法是問題解決最為普遍的方法，即試圖通過對問題中的條件和結論做細致的分析，以期挖掘出問題的本質信息。不肆意擴展問題的研究范疇，勢必將問題引入深處，那么往往觸及問題的本質。回歸本質，是對問題核心的凝練，是簡化、優化的手段。我們有必要重新審視數學的本質，才不至于走偏、走遠。林夏水在重新梳理數學的認識過程［先在解決現實問題的實踐基礎上獲得數學的經驗知識；然后上升為演繹性的理論知識（公理系統和形式系統）；再返回到實踐中，通過解決現實問題而證實自身的真理性，完善或發展新的數學知識］的基礎上，將數學概括為“一門演算的科學”，數學兼具算法傾向與演繹傾向，因此回歸數學本質就可理解為回到一定的前提（如基本概念及公理）上，并遵照一定的邏輯規則（如數形的等價轉化等）。如求（x+3/x-2）9的展開式中x5的系數，我們應自然聯想到二項式定理這一基本定理，再思索通過何種代數變形將該問題（實質是三項式）轉化為二項式求展開式的問題。上述做法行不通的情形下，回到更基本的“探究得到二項式定理”的過程［即（a+b）n的展開式相當于從每個括號中任取一個字母作乘積］是必要且合理的。事實表明，這樣處理帶來了運算的優化。

毋庸置疑，兩種策略的共同之處都立足于“比較”，只是思考的范疇不同而已。從優化思維的層面講，將比較的對象顯性化，并從不同的維度實施比較，更能突顯優化的必要性。

五、結束語

適度形式化、合理簡化、必要優化既是數學教學的基本原則，又符合數學教學的本真和愿景。讓學生親歷數學問題解決的全過程，明確優化意識在問題研究中的助推和衍生作用；讓學生具身感受數學概念與公式定理的自然發生發展過程，體悟認知發展邏輯與知識發展邏輯的一致性及其指導下的教學素材的優化呈現；讓學生以轉化和熟悉化作為觀察的視點、抽象的基礎、探索的方向、猜測的依據、論證的前提，是習得數學思維方式的有效路徑。為了保證數學學習的高效，學生還需要在教師的引導下進行數學學科自我監控能力的針對性訓練和培養，以增強自控力、敏感性和遷移能力，實現從局部監控到整體監控的優化改進。［12］要適應未來社會的發展，學生不僅需要學科眼光，更需要優化眼光［13］。數學是關于模式的科學，這一模式需建立在理解之上，并貫穿于問題優化、意識優化、方法優化的整個過程。關于優化教學的模式化研究，我們仍任重而道遠。

參考文獻：

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（責任編輯：潘安）