基于邊界變化的索結(jié)構(gòu)自振頻率測(cè)試機(jī)理

申成慶，胡迎新，黃方林，李顯方，周德，雒明波，周天睿

(1. 中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙，410075；2. 湖南中大設(shè)計(jì)院有限公司，湖南 長(zhǎng)沙，410018；3. 中鐵第四勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司，湖北 武漢，430063)

索力調(diào)整是懸索橋、斜拉橋和拱橋等含索結(jié)構(gòu)施工過(guò)程中的關(guān)鍵工序，對(duì)橋梁線形和最終成橋狀態(tài)具有重要影響。合理的索力調(diào)整離不開(kāi)精準(zhǔn)的索力測(cè)量，工程中常用測(cè)量方法有2種。第一種為直接測(cè)量法，如壓力表法、磁通量法和壓力傳感器法[1]等，這些方法通過(guò)儀器直接讀出索力，數(shù)據(jù)可靠但布設(shè)繁瑣且造價(jià)高昂，多用于特大橋在運(yùn)營(yíng)期的健康監(jiān)測(cè)。第二種為間接測(cè)量法，即通過(guò)測(cè)試結(jié)構(gòu)頻率、撓度、線形等參數(shù)，經(jīng)理論換算得到索力，所得索力與理論計(jì)算方法密切相關(guān)，常用計(jì)算方法有靜力法和動(dòng)力法2 種。其中，靜力法常見(jiàn)有“三點(diǎn)彎曲法”，即通過(guò)測(cè)量橋梁整體或局部線形，建立索力與線形之間的函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而求得索力，這種方法在實(shí)際操作時(shí)，常受限于現(xiàn)場(chǎng)索結(jié)構(gòu)具體形式而影響適用性[2-3]。動(dòng)力法主要有頻率法、地脈動(dòng)法[4]和模態(tài)識(shí)別法[5]等，即通過(guò)測(cè)量橋梁動(dòng)力特性，根據(jù)索力與動(dòng)力特性間函數(shù)關(guān)系求得索力。其中，頻率法以操作簡(jiǎn)單、快捷且經(jīng)濟(jì)實(shí)用等特點(diǎn)而成為現(xiàn)場(chǎng)索力測(cè)試最常用的方法，而地脈動(dòng)法和模態(tài)識(shí)別法由于使用條件相對(duì)苛刻，在實(shí)際測(cè)量中運(yùn)用不多。

頻率法是一種通過(guò)測(cè)試索結(jié)構(gòu)自振頻率來(lái)確定索力的方法。這種方法由張緊弦理論發(fā)展而來(lái)，前提是需精準(zhǔn)采集索結(jié)構(gòu)自振頻率。但對(duì)于索結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)，其自振頻率受諸多因素如環(huán)境溫度[6-8]、索結(jié)構(gòu)抗彎剛度[9]、邊界條件與額外支撐條件[10-11]、阻尼器設(shè)置[12]和索結(jié)構(gòu)損傷情況[13-14]等因素影響，其中，索結(jié)構(gòu)抗彎剛度和邊界條件的影響最直接，且兩者取值難以確定。在實(shí)際工程中，索結(jié)構(gòu)的邊界條件常常介于固結(jié)與鉸接之間[15]，且與具體施工階段密切相關(guān)，邊界條件存在不確定性。目前對(duì)索結(jié)構(gòu)邊界條件的研究多通過(guò)擬合公式再結(jié)合實(shí)際情況進(jìn)行解釋說(shuō)明[16]，需對(duì)“長(zhǎng)索結(jié)構(gòu)”與“短索結(jié)構(gòu)”進(jìn)行分類(lèi)討論。分析“短索結(jié)構(gòu)”時(shí)，為使擬合值更準(zhǔn)確，需考慮更多因素[17]。盡管如此，采用擬合公式的方法在實(shí)際測(cè)量中的效果仍然較差。

在實(shí)際運(yùn)營(yíng)中，“短索結(jié)構(gòu)”比“長(zhǎng)索結(jié)構(gòu)”更易發(fā)生如斷絲和銹蝕等破損現(xiàn)象[18]。對(duì)“短索結(jié)構(gòu)”自振頻率的精準(zhǔn)測(cè)量是目前工程中亟待解決的問(wèn)題。然而，如何在索結(jié)構(gòu)中區(qū)分“短索結(jié)構(gòu)”目前還尚無(wú)定論。有學(xué)者直接按索結(jié)構(gòu)長(zhǎng)度來(lái)判斷[19]，也有學(xué)者提出采用Irvin 參數(shù)和抗彎剛度影響系數(shù)等[20]對(duì)“短索結(jié)構(gòu)”進(jìn)行判定，其不足之處是難以應(yīng)用于實(shí)際測(cè)量，且無(wú)法解釋在測(cè)量“短索結(jié)構(gòu)”自振頻率時(shí)無(wú)法得到穩(wěn)定值的現(xiàn)象。為此，本文在考慮索結(jié)構(gòu)抗彎剛度前提下，對(duì)索結(jié)構(gòu)在轉(zhuǎn)動(dòng)約束和平動(dòng)約束這2種邊界條件下自振頻率的變化進(jìn)行理論分析。引入?yún)?shù)長(zhǎng)細(xì)比，推導(dǎo)索結(jié)構(gòu)在不同邊界條件下自振頻率與長(zhǎng)細(xì)比之間的函數(shù)關(guān)系，并提出一種通過(guò)長(zhǎng)細(xì)比判斷“短索結(jié)構(gòu)”的方法，對(duì)“短索結(jié)構(gòu)”實(shí)測(cè)頻率不穩(wěn)定的原因進(jìn)行分析。同時(shí)，通過(guò)有限元仿真分析對(duì)本文提出的計(jì)算理論進(jìn)行驗(yàn)證，以浙江舟山新城大橋?yàn)槔?yàn)證長(zhǎng)細(xì)比判定方法在工程中的可行性與適用性。

1 不同邊界條件下頻率法適應(yīng)性理論分析

索結(jié)構(gòu)兩端邊界條件的理想情況為一端固結(jié)而另一端鉸接，在實(shí)際工程中，索結(jié)構(gòu)的邊界條件都只是接近理想情況。已有研究表明，在復(fù)雜邊界條件下，索力與自振頻率之間的關(guān)系符合超越方程，分析索結(jié)構(gòu)的邊界參數(shù)變化對(duì)自振頻率的影響十分困難。為此，考慮索結(jié)構(gòu)兩端受轉(zhuǎn)動(dòng)約束和平動(dòng)約束2種邊界條件，對(duì)索結(jié)構(gòu)的自振頻率與長(zhǎng)細(xì)比、抗彎剛度和邊界條件等參數(shù)的關(guān)系進(jìn)行理論分析。

1.1 索結(jié)構(gòu)兩端受轉(zhuǎn)動(dòng)約束

在對(duì)動(dòng)力特性進(jìn)行分析時(shí)，考慮抗彎剛度的索結(jié)構(gòu)可等效為兩端受拉的梁，如圖1所示。假定索結(jié)構(gòu)采用勻質(zhì)材料，索結(jié)構(gòu)兩端邊界處平動(dòng)剛度無(wú)窮大，則索結(jié)構(gòu)的平衡微分方程可表示為

圖1 兩端轉(zhuǎn)動(dòng)約束時(shí)索結(jié)構(gòu)的計(jì)算模型Fig. 1 Calculation model for cable structures under rotational constraint at both ends

式中：E為彈性模量；I為截面慣性矩；w(x，t)為y方向位移；Tx為索力；m為單位長(zhǎng)度質(zhì)量。邊界條件為

式中：Kr為轉(zhuǎn)動(dòng)剛度；L為計(jì)算長(zhǎng)度。

式(1)中索力通常可表示為

當(dāng)索結(jié)構(gòu)不考慮自身抗彎剛度時(shí)，索力Tx可表示為

式中：a和b為邊界轉(zhuǎn)動(dòng)剛度系數(shù)，參考文獻(xiàn)[20]，a的取值范圍為[3.5, 4.0]，b的取值范圍為[1.0,3.0]；n為自振頻率階次；fsn為索結(jié)構(gòu)考慮抗彎剛度的第n階自振頻率；fn為不考慮抗彎剛度的第n階自振頻率。由式(4)和式(5)可得

式中：η為頻率比，反映由剛度變化引起的頻率變化程度。為更好地考察邊界條件影響，引入索結(jié)構(gòu)長(zhǎng)細(xì)比λ：

式中：A為面積。由式(6)和式(7)可得

當(dāng)a=4，n=1 時(shí)，由式(8)可得：。

圖2 轉(zhuǎn)動(dòng)約束下ηa和ηb隨長(zhǎng)細(xì)比λ的變化曲線Fig.2 Variation curve of ηa and ηb with aspect ratio λ under rotational constraint

上述分析表明：隨著長(zhǎng)細(xì)比λ增大，靈敏度系數(shù)ηa和ηb均下降；當(dāng)λ足夠大時(shí)(λ大于)，靈敏度系數(shù)ηb趨于0。在工程實(shí)際中，長(zhǎng)索結(jié)構(gòu)的長(zhǎng)細(xì)比較大，因此，采用頻率法可測(cè)得其穩(wěn)定的自振頻率。當(dāng)長(zhǎng)細(xì)比λ較小時(shí)(如λ＜μ)，靈敏度系數(shù)ηa和ηb隨系數(shù)a和b的變化均較大。在工程實(shí)際中，短索結(jié)構(gòu)的長(zhǎng)細(xì)比λ較小，采用測(cè)量錘敲擊“短索結(jié)構(gòu)”時(shí)，會(huì)造成短索結(jié)構(gòu)的邊界條件發(fā)生隨機(jī)變化，這正是無(wú)法獲得“短索結(jié)構(gòu)”穩(wěn)定自振頻率的原因。

1.2 索結(jié)構(gòu)兩端受平動(dòng)約束

考慮圖3所示索結(jié)構(gòu)，令索結(jié)構(gòu)上、下兩端的平動(dòng)約束剛度分別為K1和K2，平衡微分方程同樣可由式(1)表示。

圖3 兩端平動(dòng)約束時(shí)索結(jié)構(gòu)的計(jì)算模型Fig.3 Calculation model for cable structures under translational constraint at both ends

圖4 頻率比η隨KL和λ的變化(n=1)Fig.4 Variations of frequency ratio η with both KL and λ(n=1)

圖5 頻率比η隨KL的變化Fig.5 Variation of frequency ratio η with KL

圖4(b)與圖5(b)表明：當(dāng)自振頻率階次為奇數(shù)時(shí)，頻率比η在KL小于1時(shí)變化較大；隨著長(zhǎng)細(xì)比λ增大，η變化趨于平緩。

在實(shí)際工程中，索結(jié)構(gòu)KL一般都大于1。當(dāng)KL為[1，10]時(shí)，頻率比η對(duì)KL并不敏感。可見(jiàn)，平動(dòng)約束不是“短索結(jié)構(gòu)”自振頻率測(cè)不準(zhǔn)的主因。

綜合平動(dòng)約束與轉(zhuǎn)動(dòng)約束的分析結(jié)果可知：當(dāng)索結(jié)構(gòu)長(zhǎng)細(xì)比λ小于、采用頻率法測(cè)試索結(jié)構(gòu)自振頻率時(shí)，不能忽略邊界條件尤其是邊界轉(zhuǎn)動(dòng)剛度變化帶來(lái)的影響，因此，可將長(zhǎng)細(xì)比λ作為“短索結(jié)構(gòu)”的一種判據(jù)。

2 有限元模擬驗(yàn)證

采用通用有限元軟件ABAQUS進(jìn)行仿真分析。根據(jù)前述分析可知，索結(jié)構(gòu)兩端邊界的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度變化是其自振頻率測(cè)不準(zhǔn)的主因，因此，在模擬邊界條件時(shí)，只考慮改變邊界的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度，忽略其平動(dòng)剛度。

圖6所示為有限元模型示意圖，材料屬性見(jiàn)表1。考慮5 種不同直徑(分別為10、20、30、40 和50 mm，為方便起見(jiàn)，相應(yīng)索結(jié)構(gòu)名稱(chēng)分別記為S10、S20、S30、S40和S50)的索結(jié)構(gòu)，索結(jié)構(gòu)兩端的邊界條件通過(guò)空間梁?jiǎn)卧M。

圖6 有限元模型示意圖Fig.6 Schematic diagram of finite element model

表1 材料屬性Table 1 Material properties

進(jìn)行有限元分析時(shí)，通過(guò)控制索結(jié)構(gòu)的單元數(shù)量確保計(jì)算的收斂性，收斂性驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2。從表2 可見(jiàn)：隨著單元數(shù)量增加，第1 階自振頻率計(jì)算結(jié)果趨于穩(wěn)定；當(dāng)單元數(shù)量大于100個(gè)時(shí)，計(jì)算結(jié)果收斂性較好，模型滿足分析要求。

表2 不同單元數(shù)量下模型第1階自振頻率收斂性驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果Table 2 The first natural frequency of the model with different number of elements

式中：Dc為直徑判據(jù)，直徑大于Dc的索結(jié)構(gòu)為“短索結(jié)構(gòu)”。

將表1 中材料屬性數(shù)據(jù)代入式(23)可得Dc=29.5 mm，即直徑大于29.5 mm 的索可認(rèn)定為“短索結(jié)構(gòu)”。

在實(shí)際工程中，索結(jié)構(gòu)的邊界條件通常難以確定，本文采用2 種方式來(lái)處理。第一種是以S20和S50為分析對(duì)象，邊界處轉(zhuǎn)動(dòng)剛度取索結(jié)構(gòu)抗彎剛度0.1倍到10倍。第二種是以所有索結(jié)構(gòu)為分析對(duì)象，邊界處轉(zhuǎn)動(dòng)剛度取S50抗彎剛度的0.1 倍到10倍。

第一種方式的計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖7(a)和7(b)。從圖7(a)和7(b)可見(jiàn)：對(duì)于“長(zhǎng)索結(jié)構(gòu)”S20與“短索結(jié)構(gòu)”S50，當(dāng)邊界處轉(zhuǎn)動(dòng)剛度從索結(jié)構(gòu)抗彎剛度0.1倍增加到1 倍時(shí)，2 種索的第1 階自振頻率均有較大幅度增加(S20和S50的第1 階自振頻率分別增加11.59 Hz和49.19 Hz)；當(dāng)邊界處轉(zhuǎn)動(dòng)剛度從索結(jié)構(gòu)抗彎剛度的1倍增加到10倍時(shí)，第1階自振頻率增幅變小(S20和S50第1 階自振頻率分別增加9.23 Hz和15.43 Hz)。

第二種方式的計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖7(c)。從圖7(c)可見(jiàn)：對(duì)于“長(zhǎng)索結(jié)構(gòu)”S10和S20，頻率比η變化極小，增幅均不超過(guò)0.01，說(shuō)明“長(zhǎng)索結(jié)構(gòu)”的自振頻率對(duì)邊界處轉(zhuǎn)動(dòng)剛度的變化不敏感；S30的頻率比η增幅約0.05；“短索結(jié)構(gòu)”S40和S50的頻率比η變化較大，增幅分別為0.15和0.30，說(shuō)明“短索結(jié)構(gòu)”的自振頻率對(duì)邊界處轉(zhuǎn)動(dòng)剛度的改變較敏感。

在上述2種方式下，不同直徑索結(jié)構(gòu)自振頻率和頻率比計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證了本文“短索結(jié)構(gòu)”判定依據(jù)的可行性和有效性。

3 工程實(shí)例驗(yàn)證

舟山新城大橋改擴(kuò)建工程主橋采用(36+148+36) m飛燕式鋼箱系桿提籃拱結(jié)構(gòu)形式，主橋全長(zhǎng)220 m。主跨拱肋矢高37 m，矢跨比為1/4，全橋設(shè)13 對(duì)吊索，吊索沿順橋向垂直布置，標(biāo)準(zhǔn)間距為8 m，吊索編號(hào)見(jiàn)圖8，吊索型號(hào)除HL1 為鍍鋅鋼絲拉索PES(C)7-91 外(其中，PES 指鍍鋅鋼絲吊索，C指黑色內(nèi)層、彩色外層的雙層結(jié)構(gòu)，7-91指吊索含7 股鋼絲束，每股鋼絲束中包含91 根細(xì)鋼絲線，其余依此類(lèi)推)，其余吊索均采用鍍鋅鋼絲拉索PES(C)7-73。本文對(duì)吊索(HL1 至HL7)進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)和分析。

圖8 新城大橋吊索編號(hào)Fig. 8 Xincheng Bridge cable identification number

采用基于頻率法的索力檢測(cè)儀對(duì)吊索自振頻率進(jìn)行測(cè)試，結(jié)果見(jiàn)表3。在測(cè)試過(guò)程中，吊索HL1 與吊索HL2 無(wú)法通過(guò)索力檢測(cè)儀采集到穩(wěn)定的自振頻率，2組吊索的索力通過(guò)千斤頂張拉反算得到。

表3 新城大橋吊索實(shí)測(cè)頻率Table 3 Measured frequency of the suspension cable of Xincheng Bridge

根據(jù)本文提出的“短索結(jié)構(gòu)”判據(jù)，吊索HL1 和HL2 均為“短索結(jié)構(gòu)”，理論上，這2 組吊索無(wú)法獲得穩(wěn)定的自振頻率。這與表3所示結(jié)果一致，從而驗(yàn)證了長(zhǎng)細(xì)比判據(jù)的工程適用性。

4 結(jié)論

1) 引入長(zhǎng)細(xì)比作為“短索結(jié)構(gòu)”的判據(jù)，操作性強(qiáng)，并具備通用性。

2) “短索結(jié)構(gòu)”的邊界條件(尤其是轉(zhuǎn)動(dòng)剛度)受擾動(dòng)影響發(fā)生隨機(jī)變化，這是頻率法無(wú)法測(cè)得穩(wěn)定自振頻率的主要原因。

3) 本文提出了“短索結(jié)構(gòu)”自振頻率測(cè)試機(jī)理，從理論上驗(yàn)證了“短索結(jié)構(gòu)”無(wú)法獲得穩(wěn)定自振頻率，且理論結(jié)果與仿真結(jié)果和現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)結(jié)果均較吻合，驗(yàn)證了長(zhǎng)細(xì)比判據(jù)的工程適用性。