控制力矩陀螺微振動(dòng)時(shí)的固有頻率波動(dòng)機(jī)理研究

朱澤昊，周徐斌，劉興天，杜 冬，馮彥軍

（1.上海衛(wèi)星工程研究所；2.上海航天裝備微振動(dòng)環(huán)境模擬工程技術(shù)研究中心：上海 201109）

0 引言

控制力矩陀螺（CMG）是航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)的重要執(zhí)行機(jī)構(gòu)，被廣泛用于以高分辨率衛(wèi)星[1]為代表的高精度航天器的姿態(tài)控制。近年來，在工程研制中常發(fā)生CMG 擾動(dòng)引發(fā)蜂窩板等彈性支撐結(jié)構(gòu)共振的問題，直接影響航天器姿控精度和相機(jī)工作，導(dǎo)致圖像扭曲和模糊，并造成CMG 內(nèi)部機(jī)械部件工作環(huán)境惡化。如何從CMG 的振動(dòng)機(jī)理出發(fā)，指導(dǎo)地面試驗(yàn)進(jìn)行不同工況的共振風(fēng)險(xiǎn)測(cè)試，以確保衛(wèi)星在軌工作的可靠性，成為相關(guān)系統(tǒng)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵問題之一。

為防止發(fā)生共振，設(shè)計(jì)CMG 時(shí)通常會(huì)避免寬頻激勵(lì)的頻帶范圍覆蓋其固有頻率，然而在CMG旋轉(zhuǎn)過程中其固有頻率并非定值，因此存在發(fā)生設(shè)計(jì)外共振的風(fēng)險(xiǎn)。具體而言，CMG 是一個(gè)變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，其內(nèi)轉(zhuǎn)子和框架的轉(zhuǎn)動(dòng)導(dǎo)致其固有頻率存在不可忽視的波動(dòng)范圍，這使得其共振風(fēng)險(xiǎn)較傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)明顯增加。上海航天技術(shù)研究院近幾年對(duì)多個(gè)遙感型號(hào)地面試驗(yàn)和在軌案例的分析也證明了上述情況。

CMG 的動(dòng)力學(xué)研究是基于轉(zhuǎn)子和陀螺的特性展開的。文獻(xiàn)[2-4]通過理論建模深入研究了CMG的微振動(dòng)擾動(dòng)輸出特性，但未對(duì)CMG 的本征特性進(jìn)行具體分析。綜合現(xiàn)有研究可知，CMG 固有頻率波動(dòng)的力學(xué)機(jī)理包括兩方面：一是由于旋轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)帶來的系統(tǒng)慣量變化和陀螺力矩方向的變化；二是由于不同柔性支承結(jié)構(gòu)（如隔振器[4]、蜂窩板[5]、軸承非線性[6]）導(dǎo)致的支承剛度變化。

CMG 的動(dòng)力學(xué)地面試驗(yàn)與飛輪的類似。文獻(xiàn)[7]闡述了剛性邊界下，飛輪靜止時(shí)（未考慮陀螺效應(yīng)）安裝界面處的加速度測(cè)量方法。文獻(xiàn)[8-9]考慮陀螺效應(yīng)的影響，設(shè)計(jì)了飛輪旋轉(zhuǎn)時(shí)安裝界面處的加速度測(cè)量方法。CMG 與飛輪最大的區(qū)別在于其框架角的變化會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)慣量和陀螺力矩方向發(fā)生變化，文獻(xiàn)[10]研究得出在不同框架角下CMG微振動(dòng)的響應(yīng)幅值不同，但并未對(duì)CMG 的局部模態(tài)進(jìn)行分析。文獻(xiàn)[11]發(fā)現(xiàn)添加測(cè)力計(jì)導(dǎo)致CMG的一階固有頻率發(fā)生偏移，同時(shí)影響微振動(dòng)響應(yīng)，但沒有分析框架角對(duì)固有頻率的影響。總體來說，研究人員對(duì)CMG 固有頻率變化與微振動(dòng)特性的影響關(guān)注較少。

本文從CMG-蜂窩板組合體固有頻率波動(dòng)的機(jī)理出發(fā)，建立蜂窩板上CMG 的等效動(dòng)力學(xué)模型，通過等效板理論和薄板理論求解蜂窩板剛度矩陣，結(jié)合CMG 工作時(shí)變化的慣量矩陣和陀螺矩陣，得到柔性界面CMG 系統(tǒng)的固有頻率曲線，并分析其波動(dòng)量的影響因素，提出CMG 設(shè)計(jì)優(yōu)化策略，以期為CMG 地面試驗(yàn)設(shè)計(jì)提供理論指導(dǎo)，解決CMG 與蜂窩板共振問題。

1 數(shù)學(xué)模型建立

1.1 CMG-蜂窩板固有頻率波動(dòng)機(jī)理分析

CMG 作為典型的陀螺系統(tǒng)，含有兩個(gè)旋轉(zhuǎn)部件——高速轉(zhuǎn)子系統(tǒng)和低速框架系統(tǒng)。在蜂窩板等柔性支承邊界下，框架低速旋轉(zhuǎn)改變CMG 的主慣量方向，轉(zhuǎn)子高速旋轉(zhuǎn)與蜂窩板的形變產(chǎn)生陀螺效應(yīng)，從而改變CMG-蜂窩板組合體的固有頻率。而組合體固有頻率分析需要求解陀螺系統(tǒng)的二次特征值[12]問題，即

式中：M、K為對(duì)稱的慣量矩陣和剛度矩陣，G為反對(duì)稱的陀螺矩陣，皆為六階實(shí)方陣，分別取決于CMG的質(zhì)量特性和蜂窩板的剛度特性；λ和X分別為陀螺系統(tǒng)的特征值和特征向量，分別對(duì)應(yīng)組合體的固有頻率和振型。顯然，M、K、G三者決定了CMG 的固有頻率。下面對(duì)各系統(tǒng)矩陣進(jìn)行詳細(xì)建模。

1.2 CMG-蜂窩板動(dòng)力學(xué)模型建立

1.2.1 相關(guān)假設(shè)與坐標(biāo)系建立

柔性界面CMG 固定坐標(biāo)系Ogxgygzg和蜂窩板面內(nèi)坐標(biāo)系Oxyz如圖1 和圖2 所示，首先假設(shè)：

圖1 柔性界面CMG 坐標(biāo)系Fig.1 Coordinate of flexible interface CMG

圖2 蜂窩板安裝面坐標(biāo)系Fig.2 Coordinate of honeycomb panel installation

1）CMG 的質(zhì)量和慣量集中在其質(zhì)心Og處，基座主慣量的方向不變，框架和轉(zhuǎn)子的主慣量方向隨框架旋轉(zhuǎn)；

2）CMG 內(nèi)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速固定為Ω；

3）CMG 安裝在長×寬×高為a×b×h的蜂窩板上，4 個(gè)固定安裝點(diǎn)（記為Oi,i=1, 2, 3, 4）呈矩形分布（面積m×n），該矩形的中心與板的中心重合，CMG 質(zhì)心Og的高度為d；

4）Og有6 個(gè)自由度，而由蜂窩板的性質(zhì)可知Oi各有3 個(gè)平動(dòng)自由度。

1.2.2 慣量矩陣和陀螺矩陣

在CMG 固定坐標(biāo)系Ogxgygzg下，參考文獻(xiàn)[4]，采用一般形式的拉格朗日方程得到柔性支撐CMG 無阻尼自由振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程

式中：

式(2)～式(6)中：xg為CMG 的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)自由度；m為總質(zhì)量矩陣；Jb為基座主慣量陣；Jg為框架（含轉(zhuǎn)子）初始總主慣量陣；A為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換陣；G0為初始陀螺矩陣；δ為框架角；Jp為轉(zhuǎn)子軸向慣量。

分析式(3)、(4)可知，與轉(zhuǎn)子固有頻率的Cambell圖[12]類似，CMG 的固有頻率受到陀螺效應(yīng)的影響而發(fā)生偏移，區(qū)別在于CMG 的框架繞y軸旋轉(zhuǎn)，導(dǎo)致其主慣量陣和陀螺矩陣隨框架角δ變化，且兩矩陣在x、z方向交替變化，因此引起CMG 固有頻率的周期性波動(dòng)。可見，影響慣量陣的變量為框架角δ以及CMG 在x、z方向的初始主慣量比Jg1/Jg3，影響陀螺矩陣的變量為框架角δ、轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速Ω和轉(zhuǎn)子軸向慣量Jp。

1.2.3 蜂窩板剛度矩陣?yán)碚摻?/p>

CMG-蜂窩板組合體的剛度矩陣K以仿真解為主，未見其數(shù)學(xué)模型以及理論解，而理論解在研究一般規(guī)律時(shí)有更好的效果。為得到組合體的等效剛度矩陣，采用柔度法計(jì)算剛度矩陣，即參考Hoff理論[13]將蜂窩板等效為各向同性板，在板的中心作用單位力（矩）矢量，得到柔度矩陣U，對(duì)其求逆即得剛度矩陣K=U-1。

1）薄板彎曲問題：在(xj,yj)作用集中力Zj，該問題有解析解，參考文獻(xiàn)[15]，薄板的撓度為

式中：Cps為滿足力/位移邊界條件的待定常數(shù)；k為撓度函數(shù)的階數(shù)。由文獻(xiàn)[15]得四邊簡支板的待定常數(shù)

式中D為薄板的彎曲剛度，D=Eh3/[12(1-μ2)]，其中E和μ分別為薄板的楊氏模量和泊松比。

2）平面應(yīng)力問題：在(xj,yj)作用集中力Xj、Yj，設(shè)面內(nèi)位移方程為

式中，Aps、Bps為面內(nèi)位移函數(shù)的待定系數(shù)，下面依照其邊界條件進(jìn)行求解。

將集中力用脈沖函數(shù)δ等效為體作用力，則有平面應(yīng)力問題的平衡微分方程組

式(12)中：Fj=[XjYjZj]T，為各安裝點(diǎn)的各向集中力；Uj=(xj,yj,zj)，為各安裝點(diǎn)的位移。

記板中心到安裝點(diǎn)的矢量為Li=(ai,bi, 0)，板中心位移為U0=(x0,y0,z0,α0,β0,γ0)T時(shí)，安裝點(diǎn)位移為

式中Gi為位移傳遞矩陣，

則總位移傳遞矩陣為

其中，U=[U1U2U3U4]T，G=[G1G2G3G4]T。

同理，得到力的傳遞關(guān)系

式中：F0=(Fx0,Fy0,Fz0,Mα0,Mβ0,Mγ0)T，為作用在板中心的外力；F=[F1F2F3F4]T。

綜合式(13)、(16)、(17)及剛度定義式F0=KU0，得總剛度矩陣

式(18)得到了CMG 質(zhì)心與蜂窩板中心重合時(shí)剛度的解析解，并將蜂窩板等效為一個(gè)六階解耦的彈性單元，當(dāng)蜂窩板中心與CMG 質(zhì)心的距離為d時(shí)，平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)剛度存在耦合，最終的剛度矩陣為

其中

根據(jù)上述分析，在蜂窩板材料、尺寸確定的情況下，CMG-蜂窩板組合體的剛度矩陣與CMG 的安裝面積S=m×n、安裝區(qū)域長寬比m/n以及質(zhì)心高度d相關(guān)。

2 CMG 固有頻率波動(dòng)數(shù)值的仿真結(jié)果分析

2.1 模型正確性驗(yàn)證

將式(3)、式(4)與式(19)代入式(1)即可求解CMG-蜂窩板組合體的固有頻率，為驗(yàn)證式(1)所得固有頻率理論解的正確性，采用有限元軟件模態(tài)分析進(jìn)行對(duì)比，仿真參數(shù)的取值見表1。

表1 CMG-蜂窩板組合體仿真參數(shù)Table 1 Simulation parameters for CMG-honeycomb panel assembly

CMG-蜂窩板組合體的等效有限元模型如圖3所示，蜂窩板等效為單層板單元，四邊固支并通過4 個(gè)連接點(diǎn)與CMG 質(zhì)心Og連接。組合體的4 種振型如圖4 所示，其中(a)為繞y軸的彎曲模態(tài)，對(duì)應(yīng)X/RY 模態(tài)；(b)為繞x軸的彎曲模態(tài)，對(duì)應(yīng)Y/RX模態(tài)；(c)為沿z軸的線位移模態(tài)，對(duì)應(yīng)Z 模態(tài)；(d)為繞z軸的扭轉(zhuǎn)模態(tài)，對(duì)應(yīng)RZ 模態(tài)。

圖3 CMG-蜂窩板組合體的有限元模型Fig.3 Finite element model of the CMG-honeycomb panel assembly

圖4 CMG-蜂窩板組合體的振型Fig.4 Vibration mode of the CMG-honeycomb panel assembly

對(duì)比δ=0°、Ω=0 Hz 時(shí)CMG 固有頻率的理論解和有限元解（如表2 所示），隨著位移函數(shù)階數(shù)k的增大，理論解與有限元解之間的偏差減小，當(dāng)k=40時(shí)，最大偏差為RZ 模態(tài)的13.87%，其余模態(tài)的偏差都在10%以下，說明平面應(yīng)力的求解方法收斂較慢，但可以見到其收斂趨勢(shì)，故此理論解的正確性得到驗(yàn)證。

表2 固有頻率的有限元解與理論解對(duì)比Table 2 Comparison between finite element solution and theoretical solution of natural frequency

2.2 等效剛度矩陣分析

蜂窩板的等效剛度矩陣與CMG 的安裝面積S=m×n以及安裝區(qū)域長寬比m/n相關(guān)。令S不變，m/n從0.1 到10 變化，板剛度曲線如圖5 所示，當(dāng)m/n→0.1, 10 時(shí)，安裝區(qū)域退化為長梁，剛度顯著增大；而當(dāng)m/n處于0.2～5 的區(qū)間范圍時(shí)，安裝區(qū)域符合板的設(shè)定，剛度沒有變化。

圖5 板剛度與m/n 的關(guān)系Fig.5 Relationship between plate stiffness and m/n

令m/n=1.5 不變，改變S，板剛度曲線如圖6 所示，圖中的橫坐標(biāo)為安裝面積比（S/(a×b)）。可以看出，隨著安裝面積的增大，安裝區(qū)域邊界趨近板的邊界時(shí)，板的剛度迅速增大；當(dāng)安裝區(qū)域邊界無限靠近板邊界時(shí)，板剛度無窮大。

圖6 板剛度與安裝面積比的關(guān)系Fig.6 Relationship between plate stiffness and installation area ratio

上述分析說明，當(dāng)CMG 安裝在蜂窩板的中心，且其安裝面積S固定時(shí)，安裝區(qū)域的長寬比不影響板的剛度；安裝區(qū)域面積越大（越接近邊界），板的等效剛度越大。上述方法同樣可用于計(jì)算載荷未安裝在板的中心以及安裝區(qū)域不規(guī)則的情況。

2.3 CMG 固有頻率分析

CMG 安裝于蜂窩板時(shí)，影響其固有頻率的因素為框架角δ、CMG 質(zhì)心高度d和轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速Ω，最終表現(xiàn)形式為其模態(tài)耦合，如表3 所示：質(zhì)量矩陣使得RZ、RX 慣量耦合，剛度矩陣分別使RX、Y 和RY、X 的平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)剛度耦合，陀螺矩陣使得3 個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度互相耦合。

表3 CMG 的模態(tài)耦合情況Table 3 Modal coupling of CMG

由于 CMG 系統(tǒng)矩陣的耦合情況很復(fù)雜，下面分幾種情況進(jìn)行討論。

1）只考慮剛度耦合，即δ=0,Ω=0,d≠0

如圖7 所示，改變CMG 的安裝高度d，則x、y向的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度與平動(dòng)剛度耦合，使得RY、RX 自由度的固有頻率降低，x、y自由度的固有頻率增加，此時(shí)RX、RY 頻率可能與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速Ω的擾動(dòng)力共振。

圖7 CMG 固有頻率隨其質(zhì)心高度的變化Fig.7 Variation of natural frequency with height of center-ofmass

2）不考慮剛度耦合，即δ≠0,Ω≠0,d=0

當(dāng)d=0 時(shí)剛度矩陣為對(duì)角陣，圖8 為CMG 位于δ=0°位置時(shí)，其固有頻率隨轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速Ω變化的Cambell 圖，其中RX、RY 模態(tài)為正反進(jìn)動(dòng)曲線，由于RX 模態(tài)頻率與Ω在100 Hz 附近有交點(diǎn)，存在共振危險(xiǎn)。圖9 為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為Ω=100 Hz 時(shí)，不同框架角δ下CMG 框架旋轉(zhuǎn)時(shí)六階固有頻率的周期性波動(dòng)情況，可以看到，此時(shí)RX、RY、RZ 模態(tài)頻率都發(fā)生了頻率波動(dòng)，由式(3)、(4)可知RX、RZ 的頻率波動(dòng)來源于x、z方向慣量的交替變化，而RY的波動(dòng)量來源于增加的陀螺矩陣。

圖8 CMG 固有頻率隨轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速Ω 變化的Campbell 圖（δ=0°）Fig.8 Campbell plot of CMG natural frequency varying with rotor speed Ω (δ=0°)

圖9 CMG 固有頻率隨框架角δ 的變化Fig.9 Natural frequency varying with frame angle δ

2.4 CMG 共振頻帶分析

由于CMG 框架和轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)導(dǎo)致慣量方向和陀螺力矩方向改變，兩者共同作用使得CMG 的固有頻率發(fā)生復(fù)雜的變化。圖10 為轉(zhuǎn)子升速到100 Hz時(shí)，CMG 固有頻率隨框架角變化的包絡(luò)曲線，陰影區(qū)域即為在固定轉(zhuǎn)角下，轉(zhuǎn)子升速時(shí)CMG 固有頻率的變化量。令df1為陰影區(qū)域的最大長度，df2為該頻率的波動(dòng)寬度，兩者分別表征δ、Ω引起頻率波動(dòng)的頻帶大小。將兩者除以δ=0、Ω=0 時(shí)的基頻f0，得到無量綱參數(shù)分別表征δ、Ω引起i（i=X, Y, Z, RX, RY, RZ）階模態(tài)頻率波動(dòng)的頻帶大小。

圖10 不同角度下CMG 固有頻率包絡(luò)（Ωmax=100 Hz）Fig.10 Natural frequency envelope of CMG at different angles (Ωmax=100 Hz)

當(dāng)轉(zhuǎn)子軸向慣量Jp從0 增加到1 kg·m2時(shí)，如圖11 所示，令縱坐標(biāo)為相對(duì)波動(dòng)量riI，橫坐標(biāo)為轉(zhuǎn)子慣量與CMG 同方向慣量的比值Jp/Jg3。由圖可知，與Jp/Jg3成正比，即轉(zhuǎn)子慣量增加時(shí)陀螺效應(yīng)變強(qiáng)，這是轉(zhuǎn)子系統(tǒng)所共有的特性。

圖11相對(duì)波動(dòng)量riI的變化規(guī)律Fig.11 Changepatternof relativefluctuation variable riI

圖12 相對(duì)波動(dòng)量riII 的變化規(guī)律Fig.12 Change pattern of relative fluctuation variable riII

3 結(jié)論及建議

本文建立了蜂窩板上CMG 的動(dòng)力學(xué)模型，分析了導(dǎo)致CMG 固有頻率波動(dòng)的多方面因素，得到結(jié)論如下：1）CMG 的安裝面積比越大，CMG-蜂窩板組合體的等效剛度越大。2）CMG 的安裝高度越高、轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速越快，由于剛度耦合以及陀螺效應(yīng)引起的固有頻率偏移越大；3）轉(zhuǎn)子軸向慣量相對(duì)框架同方向的慣量越大，陀螺效應(yīng)對(duì)CMG 固有頻率的影響越大；4）框架慣量交替變換引起CMG 固有頻率周期性波動(dòng)，且交替變換的兩個(gè)慣量差值越大，波動(dòng)量越大。

基于上述分析結(jié)果提出對(duì)應(yīng)設(shè)計(jì)建議：1）CMG的安裝區(qū)域應(yīng)接近蜂窩板邊界，以確保達(dá)至盡可能高的界面剛度；2）適當(dāng)降低CMG 的安裝高度和轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速，以確保組合體固有頻率的偏移量在可接受的范圍；3）在保證轉(zhuǎn)子慣量Jp滿足姿軌控的角動(dòng)量需求基礎(chǔ)上，通過適當(dāng)增大框架沿轉(zhuǎn)子軸的慣量Jg3，可以有效減弱陀螺力矩對(duì)CMG 固有頻率的影響。4）令框架慣量Jg3與Jg1（Jg2為電機(jī)軸慣量）接近，可以減小慣量變化引起的固有頻率波動(dòng)。

同時(shí)，上述分析對(duì)CMG 的地面試驗(yàn)也有指導(dǎo)作用，體現(xiàn)在：1）CMG 的固有頻率在其工作過程中是一個(gè)變值，對(duì)其進(jìn)行準(zhǔn)確測(cè)量較為困難，因此先基于理論分析得到CMG 固有頻率再進(jìn)行微振動(dòng)測(cè)試可以簡化試驗(yàn)流程；2）通過CMG 固有頻率的理論分析結(jié)果對(duì)掃頻試驗(yàn)時(shí)的共振頻率進(jìn)行預(yù)測(cè)，有助于對(duì)其結(jié)構(gòu)模態(tài)進(jìn)行充分辨識(shí)，從而制定更有效的振動(dòng)抑制策略。

本文主要基于已有的地面試驗(yàn)和在軌測(cè)試現(xiàn)象進(jìn)行理論分析，條件具備時(shí)將對(duì)文中研究內(nèi)容進(jìn)行專門的驗(yàn)證試驗(yàn)。