基于Winkler地基疊合梁的不均勻沉降作用下的無砟軌道變形研究

顏建偉,熊 明,譚 鑫

(1. 華東交通大學 江西省地下空間技術開發工程研究中心,江西 南昌 330013;2. 華東交通大學 土木建筑學院,江西 南昌 330013)

0 引 言

無砟軌道因耐久性好、維修少和穩定性高等特點成為了高速鐵路軌道廣泛采用的主要結構形式[1]。軌道下土質路基承載能力相對較弱,且受重力、列車動荷載和地下水等各種環境因素的長期循環作用,易發生不均勻累積變形形成局部沉降[2]。雙塊式高速鐵路無砟軌道道床結構和支承結構都是現澆成的混凝土結構層,其整體性較強,在軌下路基局部沉降作用下易發生較大的結構變形,導致軌面不平順,影響軌道的服役性能[3]和列車的安全平穩運行。

眾多學者已開展了大量軌下路基沉降影響上部軌道受力與變形的研究,通常采用疊合梁、梁-板、梁-體等分析模型[4]。肖威等[5]基于軌道路基梁-體有限元模型探究了CRTS Ⅲ 型板式無砟軌道在不同沉降條件下的附加變形;XU Qingyuan等[6]建立了板式無砟軌道的三維非線性梁-體有限元模型,研究了路基不均勻沉降作用下軌道的空間力學特性;JIANG Hongguang等[7]通過軌道路基三維有限元模型,模擬不同沉降條件下無砟軌道結構的變形和附加應力,揭示了路基沉降下路基表面到軌面的傳遞特性;CUI Xuhao等[8]建立考慮路基不均勻沉降的軌道三維有限元模型,分析了路基沉降對CRTS Ⅱ 板式無砟軌道結構層界面力學性能和損傷行為的影響;趙立寧等[9]取單元板式無砟軌道為研究對象,建立路基-軌道有限元模型,探討了地面沉降和軌道結構層間離縫對軌道面平順性的影響;蔡小培等[10]研究了地面不均勻沉降時,沉降范圍和形式對雙塊式無砟軌道變形的影響規律;向俊等[11]建立CRTS Ⅰ 和CRTS Ⅱ 型2種軌道的梁-體有限元模型,分析了路基不均勻沉降對這2種軌道結構變形、層間離縫的演化和軌面局部上拱的影響。

有限元等數值模擬技術[12]的發展,快速推進了路基不均勻沉降下軌道的變形研究[13],驅動形成的規律性研究極大促進了高速鐵路的發展。筆者針對雙塊式無砟軌道結構,建立Winkler地基疊合梁解析模型,來研究路基不均勻沉降下波長和幅值耦合作用上部軌面的變形規律,旨在與數值模擬技術相輔相成,為高速鐵路路基沉降和軌面不平順控制提供快速理論分析方法。

1 雙塊式無砟軌道模型

1.1 Winkler地基疊合梁模型

雙塊式無砟軌道結構主要包括鋼軌、彈性扣件、軌枕、道床板、支承層等,其斷面幾何尺寸如圖1。

圖1中E1I1、E2I2分別為道床板與支承層的抗彎剛度。相對于軌道縱線,路基的橫斷面尺寸小得多,路基橫向范圍內的沉降可按照均勻變形處理,僅考慮其沿軌道縱向沉降變形的作用。基于Winkler彈性地基疊合梁模型,將鋼軌考慮為簡支梁,扣件視作等間距點支撐的線彈簧,支承層和道床板視為緊密聯接的雙層疊合梁,即一整體梁,其等效物理中平面的形心坐標可表示為:

y0=(A1y1n+A2y2)/(A1n+A2)

(1)

式中:y1和y2分別為道床板和支承層的橫向形心坐標;A1和A2分別為道床板和支承層的橫斷面面積;n為道床板與支承層彈性模量比值E1/E2。

疊合梁整體梁的等效抗彎剛度為:

(2)

式中:E0、I0分別為等效疊合梁的彈性模量、截面慣性矩,a1、a2為道床板、支承層形心到等效物理中平面形心距離;h1、h2為道床板、支承層厚度。

高速鐵路土質路基大多屬于彈性地基,符合Winkler彈性地基的假定。對路基不均勻沉降的模擬,國內外的選擇略有不同,有折角型、錯臺型、正弦型、指數型和余弦型。筆者的路基不均勻沉降采用國內常用的下凹全波余弦曲線來模擬[14],如圖2。

圖2 下凹全波余弦型不均勻沉降曲線路基模型Fig. 2 Uneven settlement subgrade model with full concave wave cosine curve

軌下路基表面不均勻沉降數學描述為:

(3)

式中:A為不均勻沉降幅值;s為波長;x為任意沉降點到沉降中心的距離。

雙塊式無砟軌道疊合梁模型如圖3。

圖3 雙塊式無砟軌道疊合梁模型Fig. 3 Composite beam model of double-block ballastless track

由Winkler彈性地基上梁撓曲微分方程可得:

(4)

式中:w(x)為疊合梁撓度;k為地基反力系數;Pi為作用于疊合梁上的第i個扣件力;δ(·)為脈沖函數。

微分方程求解分2個步驟進行,首先考慮地基反力,結合圖3的雙塊式無砟軌道疊合梁模型,根據對稱性考慮右側疊合梁的變形,式(4)可改寫為:

(5)

式中:w1(x)為沉降區疊合梁撓度;w2(x)為非沉降區疊合梁撓度。

當0≤x≤s/2時,式(5)通解為:

w1(x)=eβx(C1cosβx+C2sinβx)+e-βx×(C3cosβx+C4sinβx)+B1cosαx+B2

(6)

根據對稱性,邊界條件有:

(7)

代入(6)式可得,C1=C3,C2=-C4,則式(6)可改寫為:

w1(x)=2C1coshβxcosβx+2C2×sinhβxsinβx+B1cosαx+B2

(8)

當x>s/2時,無窮遠處疊合梁撓度為0,有:

w2(x)=e-βx(D1cosβx+D2sinβx)

(9)

式中:D1、D2均為待定系數。

綜合可得路基不均勻沉降下Winkler彈性路基梁的撓度為:

(10)

根據變形連續條件,有:

(11)

可確定出系數C1、C2、D1、D2。

考慮各節點扣件力作用時,疊合梁總變形為:

wbi=wi+wpi,i=1～N

(12)

式中:wpi表示疊合梁受第i個扣件作用發生的撓曲變形,且有:

(13)

式中:fij為疊合梁在第i個扣件節點處由作用于第j個扣件節點處的單位力而引起的豎向變形;Pj為第j個扣件力;N為扣件總數。由Winkler地基上無限長梁受集中力作用的彎曲變形公式,可得:

(14)

式中:|xi-xj|為扣件節點i和j的間距。

扣件力作用下鋼軌變形為

(15)

式中:wri為鋼軌第i個扣件節點處的撓度;dij為鋼軌第i個扣件節點處受第j個扣件節點單位力引發的變形。基于鋼軌簡支梁模型,有:

(16)

式中:ErIr為鋼軌的抗彎剛度;l為鋼軌長度;xi和xj分別為第i、j個扣件節點與左端支座的距離,xi=i·ls;aj=xj;bj=l-xj;ls為扣件之間的間距。

對于扣件系統,各扣件節點處的扣件力為:

Pi=kp(wri-wbi)

(17)

式中:kp為鋼軌扣件剛度;wbi為疊合梁在第i個扣件節點處的變形。

聯立式(12)、式(13)、式(15)、式(17),可得:

(kP+dN×N+fN×N)PN=-wN

(18)

式中:kp=(1/kp)E,E為單位矩陣;dN×N、fN×N分別為dij、fij組成的矩陣;PN為各個節點處扣件力組成的矩陣;wN為疊合梁在各節點處的變形組成的矩陣。

通過式(18)求得的扣件力PN,代入式(15)可得到鋼軌的垂向變形,代入式(12)可得到疊合梁的垂向變形。需要指出的是,由于在不均勻沉降區域路基結構剛度不均勻,導致軌道與路基的變形不協調,在沉降中心區域易出現局部界面脫粘情況,此時,二者接觸狀態變得復雜。在局部脫粘區域,軌道與路基處于分離狀態,二者間無接觸,在沉降范圍內的非脫粘區軌道與路基保持緊貼,在整個沉降區域內,軌道與路基間的接觸并不連續,此狀態下存在接觸非線性,尤其是在局部脫粘區域,軌道與路基間的接觸非線性明顯。

1.2 考慮接觸非線性的軌道梁-體有限元模型

路基沉降較大時,可能發生軌下離縫空吊現象,使軌道結構層與路基表層間存在接觸非線性。為充分研究軌道結構與路之間的接觸非線性問題,基于有限元方法建立軌道梁-體空間模型,如圖4。

圖4 雙塊式無砟軌道梁-體有限元模型Fig. 4 Beam-body finite element model of double block ballastless track

模型中,鋼軌用BEAM188梁單元模擬,扣件用COMBIN14彈簧阻尼單元模擬,其他軌道結構采用連續實體結構模型,以SOLID185實體單元模擬。道床板與支承層間以及雙塊式軌枕與道床板間均采用共節點方式。考慮到軌道支承層和路基間可能出現離縫、脫空現象,采用TARGE170和CONTA174接觸單元來模擬支承層和路基表面的接觸。彈簧扣件的垂向剛度取3×107N/m,雙塊式無砟軌道其他結構參數取值見表1。

表1 雙塊式無砟軌道及路基相關參數取值Table 1 Relative parameters of double-block ballastless track and subgrade

為考慮沉降的作用范圍并盡量降低邊界效應帶來的影響,軌道模型長度取60 m。路基縱向不均勻沉降通過在路基表面施加位移余弦荷載來實現,同時對上部軌道結構施加自重荷載,使之能夠產生跟隨性變形,最后除去由重力作用引起的軌道變形,可得到完全由路基沉降作用而產生的變形。

2 模型驗證

為了驗證所提方法的準確性,以文獻[15]中蘭新線高速鐵路線路在路基不均勻沉降區域,軌道軌面不平順實測數據來驗證,文獻中路基不均勻沉降工況為10.5 mm/40 m[15]。圖5為筆者解析方法與有限元模擬出的軌面變形結果及實測數據的對比圖。由圖5可知,解析模型預測軌面變形結果與實測結果較吻合,與有限元模擬的結果幾乎一致,證明筆者解析方法具有可靠性與準確性。

圖5 不同求解模型下沿線路縱向的軌面變形Fig. 5 Rail surface deformation along the longitudinal direction of the line under different solution models

3 結果與討論

基于雙塊式無砟軌道Winkler地基疊合梁解析模型和梁-體空間有限元模型,對比分析典型波長下,不同沉降幅值的軌面變形,如圖6。圖6(a)是5mm(沉降幅值)/20 m(波長)工況下,2種模型的軌面變形計算結果對比;圖6(b)是沉降幅值增加到20 mm 時2種模型的軌面變形結果。

圖6 不同沉降幅值下2種模型的軌面變形計算結果對比Fig. 6 Calculation results comparison of rail surface deformation of two kinds of models with different settlement amplitudes

由圖6可知,當路基沉降幅值為5 mm時,2種模型計算的軌面變形結果幾乎一致,當路基沉降幅值為20 mm時,2種模型結果差異較大,有限元模型結果明顯小于解析模型結果。同時,從圖6可以判斷出,沉降波長一定時,隨著沉降幅值的增加,2種模型計算結果從高度吻合變化到有較大差異,在此過程中必然存在一個臨界沉降幅值,使得2種模型的計算結果剛好基本相等,即軌道與路基接觸非線性觸發的臨界條件,超過此臨界沉降幅值,解析模型的計算結果開始出現偏差(相差超過1%)。

圖7(a)是路基沉降20 mm/20 m工況下軌道-路基縱向接觸力有限元模擬結果,圖7(b)是對應的軌道-路基變形云圖。由圖7可知:此工況下軌道結構與路基層之間存在明顯的空隙,此區域軌道和路基間的接觸應力為0,軌道和路基間存在接觸失效行為,因此沉降區域中軌道實際撓度小于Winkler地基疊合梁模型預測結果。

圖7 20 mm/20 m工況下軌道-路基接觸力和變形云圖Fig. 7 Contact force and deformation nephogram of track-subgrade contact force under condition of 20 mm/20 m

軌道與路基接觸非線性觸發的臨界條件是指使軌道與路基在沉降中心區域由原來的一種接觸狀態轉變為另一種接觸狀態的臨界點。圖8為沉降波長20 m條件下,有限元模擬軌道-路基在沉降中心接觸力隨沉降幅值變化的結果。由圖8可知:當沉降波長為20 m且沉降幅值小于10 mm時,軌道與路基在沉降中心的接觸力隨沉降幅值的增大線性減小,當沉降幅值剛好達到10 mm后,軌道與路基在沉降中心的接觸力變為0,隨著沉降幅值繼續增大,二者間的接觸力始終為0,原來的線性接觸狀態轉變為另一種線性接觸狀態,此變化過程就是一種非線性行為,在轉折點處認為是接觸非線性觸發的臨界狀態。

為快速給出路基不均勻沉降工況下軌面變形的預測結果,有必要確定軌道與路基接觸非線性觸發的臨界條件。以波長10 m為例,圖9(a)描述了不同沉降幅值下2種模型計算的鋼軌最大撓度(彎沉)結果。當沉降幅值小于1 mm時,2種模型預測的鋼軌最大撓度吻合得很好,沉降幅值繼續增大,Winkler疊合梁模型預測結果大于有限元模型,并隨沉降幅值增大到1.2 mm時偏差接近5%,當偏差超過5%認為疊合梁解析模型不再適用。圖9(b)是沉降波長10 m沉降幅值1mm時,2種模型沿縱向的軌面變形計算結果對比,由圖9(b)可以看出2種模型的計算結果幾乎完全一致,由此可確定沉降波長為10 m時,Winkler地基疊合梁解析模型應用的臨界沉降幅值為1 mm。同樣可以確定沉降波長為15、20、25 m時,解析模型對應的臨界沉降幅值分別為3、10、30 mm。

圖9 沉降波長分別為10、15、20、25 m時2種模型預測的沉降幅值與鋼軌彎曲變形關系Fig. 9 The relationship between the predicted settlement amplitude and the bending deformation of the steel rail of the two kinds of models with the settlement wavelengths of 10 m, 15 m, 20 m and 25 m respectively

余弦型路基不均勻沉降通常會導致軌道結構在沉降邊緣區域出現微小的局部上拱現象,且局部上拱現象在沉降波長為25 m,沉降幅值在30 mm之后較為顯著[16]。由圖9(h)可知,對于路基沉降范圍為25 m,沉降幅值為30 mm的工況,雖然2種模型的計算出的軌面變形結果吻合度很高,但由于沉降幅值較大,導致鋼軌在沉降邊緣區域局部上拱幅值(1.12 mm)較大、非線性增強,而解析模型不能很好捕捉非線性,在此上拱區域解析模型的結果存在些許偏差。

圖10為臨界沉降幅值隨上述4種典型波長變化的趨勢。由圖10可知,臨界沉降幅值隨著沉降波長的增大呈現增大趨勢,且增長的幅度逐漸變大,整體呈高次函數增長變化。

圖10 Winkler地基疊合梁沉降波長-臨界沉降幅值曲線Fig. 10 Settlement wavelength-critical settlement amplitude curves for Winkler foundation composite beam

4 結 論

筆者建立Winkler彈性地基疊合梁解析模型,求解雙塊式無砟軌道在下凹余弦型路基不均勻沉降下的軌面變形。同時,建立考慮軌道與路基間接觸非線性的軌道梁-體有限元模型對比分析解析模型的適用性及應用范圍:

1)小沉降幅值/波長比時,Winkler彈性地基疊合梁解析模型預測結果與有限元模擬結果一致。隨著沉降幅值/波長比增大,Winkler彈性地基疊合梁模型高估了軌道梁的真實彎曲變形,偏差越來越大。

2)路基不均勻沉降波長為10、15、20、25 m時,疊合梁解析模型應用的臨界沉降幅值分別為1、3、10、30 mm,小于臨界沉降幅值時,解析模型預測軌道變形結果是完全可靠的。

3)在較小沉降波長時,軌道支承層與路基易發生脫空現象,臨界沉降幅值應嚴格限制。

4)隨著沉降波長的增長,臨界沉降幅值呈高次函數增長。