具有飽和發生率的急慢性乙肝傳染病模型分析①

王耀哲， 劉賢寧

西南大學 數學與統計學院，重慶 400715

肝臟是人體重要器官之一, 其感染可引起不同的疾病.乙型肝炎是引起肝臟炎癥的傳染病之一.乙型肝炎的感染分為乙型肝炎急性感染和乙型肝炎慢性感染兩個階段.臨床上, 感染持續超過6個月就會診斷為慢性感染者, 所以急性感染者的治療時間窗口相對很短, 并且急性期患者通常是在醫院治療或者通過自我防護, 傳播途徑相對較少從而忽略急性感染者的傳播[1].乙型肝炎慢性感染是指當乙肝病毒在體內停留很長時間, 并發展成嚴重的健康問題時發生的疾病, 可以導致肝瘢痕、肝功能衰竭, 也可能發展為肝癌[1-6].疾病發生率是數學建模鄰域的一個關鍵概念和重要角色.雙線性發生率在各種流行病問題中廣泛使用.文獻[7]首次引入了飽和發生率, 這是雙線性發生率的廣義形式, 這種發生率比雙線性發生率更敏感, 特別是在血液傳播和性傳播疾病的情況下, 因為飽和發生率包含了有毒個體的協同改變和群集影響, 并通過指示適當的參數抑制了相互作用率的無界性, 在許多流行病問題中被廣泛使用[8-13].

(1)

初始條件為

S(0)≥0I1(0)≥0I2(0)≥0R(0)≥0

(2)

其中A代表出生率,β是從易感到感染急性乙型肝炎的轉移率,a是從急性期到感染慢性肝炎的轉移率,γ1是從急性期到恢復期的恢復率,γ2是從慢性期到恢復期的恢復率,d是自然發生的死亡率, 也稱為自然死亡率,d1是由慢性乙型肝炎引起的死亡率,v代表乙型肝炎疫苗接種率.

1 解的耗散性

定理1在滿足初始條件(2)的情況下, 模型(1)的解始終非負, 并最終有界.

證若存在最小時間t1>0, 使得S(t1)=0, 代入系統(1)的第一個方程, 得到

則存在充分小的η>0, 使得在區間(t1-η,t1)上有S(t)<0, 與S(t)在區間(0,t1)上大于0矛盾.接下來證明對t>0, 有I1(t)≥0,I2(t)≥0, 有下面3種情況:

(i)若I1(0)=I2(0)=0, 顯然t>0時, 有I1(t)=I2(t)=0.

(ii)若I1(0)>0,I2(0)>0, 假設存在最小時間t2>0, 使得I1(t2)=0或I2(t2)=0.如果I1(t2)=I2(t2)=0, 有

得出矛盾.所以I1(t2)=I2(t2)=0不成立.不妨設I1(t2)>0且I2(t2)=0, 有

所以存在t2的左鄰域(t2-δ,t2), 使得I2(t)<0,t∈(t2-δ,t2), 矛盾, 因此假設不成立.同理I1(t2)=0,I2(t2)>0的情況也不成立.

(iii)若I1(0),I2(0)中有一個大于0, 另一個等于0.不妨設I1(0)=0,I2(0)>0, 有

所以存在0的鄰域(0,δ1), 使得I1(t)>0,I2(t)>0在(0,δ1)成立, 不妨設t3∈(0,δ1), 則I1(t3)>0,I2(t3)>0.用(ii)的方法可知I1(t)>0,I2(t)>0在t>t3時成立.也可證明當I1(0)>0,I2(0)=0時, 結論也成立.同理可以證明對所有t>0, 有R(t)>0.綜上所述, 系統(1)的解始終非負.

令

N(t)=S(t)+I1(t)+I2(t)+R(t)

得到

所以

定理1得證.

設集合

為模型(1)的一個正不變集, 本文將在Ω上考慮模型(1)的動力學性質.

2 穩態分析

首先, 容易得到模型(1)存在唯一的無病平衡點E0(S0, 0, 0,R0):

利用文獻[13]的方法, 我們得到模型(1)的基本再生數為

接下來, 計算模型(1)的正平衡點, 可得到下列方程組:

定理2當R0<1時, 模型(1)的無病平衡點E0是局部漸進穩定的; 當R0>1時, 模型(1)的正平衡點E*是局部漸進穩定的.

證為了證明結果, 我們計算得到模型(1)的雅可比矩陣為

在E0點處的雅可比矩陣為

對應的特征多項式為

H(ω)=(ω+d+v)(ω+d)(ω-x1)(ω-x2)

x1,x2為矩陣

的特征根.現在只要證明Q的跡是負的, 而Q的行列式是正的就足夠了.

Trac(Q)=-(a+2d+d1+γ1+γ2)

det(Q)=(a+d+γ1)(d+d1+γ2)(1-R0)

根據Routh-Hurwitz準則[14], 我們可以知道當R0<1時, 無病平衡點局部漸進穩定; 當R0>1時, 無病平衡點不穩定.

在E*點處的雅可比矩陣為

對應的特征多項式為

G(ω)=(ω+d)(ω-y1)(ω-y2)(ω-y3)

y1,y2,y3為矩陣

的特征根.矩陣W的特征多項式為

K(ω)=ω3+b1ω2+b2ω+b3

其中

當R0>1時, 有bi>0(i=1,2,3)和b1b2-b3>0.根據Routh-Hurwitz準則[14], 我們可以知道當R0>1時, 正平衡點局部漸進穩定.

定理3當R0≤1時, 模型(1)的無病平衡點E0全局漸進穩定; 當R0>1時, 模型(1)的正平衡點E*全局漸進穩定.

沿著模型(1)軌線的全導數為

為了證明模型(1)在E*處的全局穩定性, 構造Lyapunov函數

沿著模型(1)軌線的全導數為

3 討論

本文主要研究了具有飽和發生率的急慢性乙肝傳染病模型的動力學分析.在模型中加入急性感染類和慢性感染類的基礎上引入飽和發生率, 這種發生率比雙線性發生率更一般化, 更加現實.在建立模型后, 我們找到基本再生數R0.與流行病學模型一樣, 該模型有兩個穩態, 感染穩態和未感染穩態.證明了當R0<1時, 無病平衡點是局部和全局漸進穩定的; 當R0>1時, 正平衡點是局部和全局漸進穩定的.根據本文具體的飽和發病率傳染病模型的計算證明, 我們完全可以將這一類飽和發生率函數拓展成一般疾病發生率函數, 使得模型構建更加合理.另外, 本文只是說明該飽和發生率在這種模型的條件下是理論成立的, 在未來的研究中我們可以根據該模型的部分參數或者條件(例如: 隔離感染者和未感染者, 增加或減少乙肝疫苗的接種率等)制定控制策略來保證可以最大程度減少急性感染者和慢性感染者的數量.