極值指數的分布式矩率估計量①

羅心藝， 彭作祥

西南大學 數學與統計學院，重慶 400715

設{Xn,n≥1}為獨立同分布的隨機變量序列, 其公共分布函數為F(x).若存在常數an>0,bn∈R使得對所有1+γx>0, 有

(1)

(2)

當分布函數F未知時, 對極值指數γ的估計是極值理論的一個重要組成部分, 受到了學者的廣泛關注, 常用于金融、保險、自然災害等領域.在分布函數形式未知的情況下, 文獻[1]提出了著名的Hill估計量, 推斷分布函數的尾部表現; 文獻[2-4]在一定條件下證明了Hill估計量的相合性和漸近正態性; 文獻[5]提出了矩率估計量, 并給出了其分布表示; 文獻[6]提出了一系列基于二階參數的外部估計得到的漸近無偏估計量, 并證明了其漸近性質; 文獻[7]證明了包含Hill估計量和矩率估計量在內的一系列尾指數估計量的漸近正態性.關于尾指數估計量的更多研究, 見文獻[8-10].

在大數據時代, 估計極值指數時, 常常會遇到被分開存儲的數據, 例如分析來自不同保險公司的保險索賠時, 為了保護客戶的隱私, 保險公司不能向外部分享具體的數據, 甚至不能分享任何索賠結果, 此時前文所提的Hill估計量和矩率估計量等都不可用.與大部分尾指數估計量的相關文獻一樣, Hill估計量等只使用了一部分秩序較高的統計量.文獻[11]和文獻[12]基于塊方法提出了DPR估計量.當數據被分組儲存且每組只有少數幾個最大的樣本可用于分析時, DPR方法是可行的, 但是它僅使用了每塊中最大的兩個樣本, 很可能并不是尾指數的充分統計量.

(3)

受文獻[13]啟發, 本文基于矩率估計量提出如下分布式矩率估計量

(4)

(5)

(6)

1 相合性和漸近正態性

其中

(7)

2 定理的證明

定理1的證明由文獻[14]的定理B.1.9知, 對x>1和t≥t0有,

(γ-ε)log((1-ε)x)

(8)

則

(γ-ε)2(log((1-ε)x))2<(logU(tx)-logU(t))2<(γ+ε)2(log((1+ε)x))2

(9)

由(10)式和(11)式可得

(12)

由文獻[15]的引理3.4知

其中{Ej(i),i=1, …,d}服從獨立同分布的標準指數分布,j=1,…,k.因此

(13)

(14)

對定理2的證明, 我們需要下面這個輔助引理.

引理1令Z(1)≥…≥Z(m)表示服從Pareto(1)分布的獨立隨機變量{Z1, …,Zm}的次序統計量, 則對任意ρ≤0, 有

證見文獻[13]的引理S.3.

(15)

(16)

(17)

對ρ<0, 存在δ>0使得ρ+δ<0, 應用不等式

可以得到

對于I2, 記

故

其后的證明方法與ρ<0的情況類似, 此處省略, 定理證畢.

3 模擬研究

本文提出了分布式矩率估計量, 下面將其與分布式Hill估計量進行有限樣本表現的比較.以γ=1,ρ=-1, 機器數量一定時, Burr分布的表現為例, 其分布函數為F(x)=1-(1+x)-1.隨機生成n個來自Burr分布的樣本, 存儲在k個機器中, 每個機器有m個觀測, 對每一個機器, 從m個觀測中選取d個超過數(d為自變量), 分別計算分布式Hill估計量和分布式矩率估計量的估計均值和均方誤差, 每個實驗重復s次并取平均值.

設置n=1 000,k=20,m=50,s=100,d的取值范圍為1,…,30, 模擬結果如圖1所示.

圖1 Burr(1)的分布式Hill估計量和分布式矩率估計量的估計均值及均方誤差