非平坦宇宙中相互作用的鬼場暗能量模型①

袁通全， 張德維

1.河池學院 數理學院，廣西 河池 546300；2.馬來西亞英迪國際大學 工程學系，尼萊 71800，馬來西亞

1 鬼場暗能量模型

2 相互作用鬼場暗能量模型

相互作用鬼場暗能量模型假定冷暗物質和暗能量之間存在非引力相互作用.而且, 假定暗能量來自鬼場的貢獻.由于WMAP 5年的數據[56]在95%的置信度水平下約束現有宇宙的曲率為-0.017 5<Ωk<0.008 5, 并且鬼場暗能量是宇宙物質的一部分, 所以將平坦宇宙推廣到非平坦宇宙.描述4維均勻各向同性宇宙的線元, 被稱為FLRW時空, 可寫成[57]:

(1)

其中:a(t)是以宇宙時t為自變量的尺度因子, 而K=-1, 0, 1分別對應于開放的、平坦的和閉合的宇宙.宇宙動力學是通過解愛因斯坦場方程:

Gμν=8πGTμν

(2)

來得到的.對于度規(1), 愛因斯坦場方程的(00)分量給出[57]:

(3)

(4)

用無量綱能量密度表示, Friedman方程(3)變成:

Ωm+ΩD+Ωk=1

(5)

零壓強冷暗物質和暗能量守恒方程分別被假定為:

(6)

和

(7)

(對應于引入Q項后能量動量張量Tμν的每個分量守恒), 其中ωD=PD/ρD是暗能量壓強與其密度的比值, 即暗能量狀態方程參量,Q(ρm,ρD)表示可以取不同形式的非引力相互作用項.本研究將非引力相互作用函數設為Q=3Hδρm,δ為相互作用因子.值得注意的是, 連續性方程意味著非引力相互作用函數應該是一個以時間倒數為單位的量(第一個自然選擇可以是哈勃因子)乘以能量密度.因此, 非引力相互作用項可以取不同的形式, 例如文獻[45,48]考慮了Q∝H(ρm+ρD), 選擇Q的形式是最簡單的, 物理意義更清晰.從等式(6)可以得出ρm=ρm0a-3(1-δ).為了使冷暗物質的密度隨著a的增加而降低, 相互作用因子δ必須小于1.然而, 觀測到暗能量狀態方程參量的當前值ωD0仍然對相互作用因子δ有更嚴格的限制.利用(4)式中無量綱的能量密度,(6)式變為:

(8)

同時(7)式變成:

(9)

由(5)、(8)和(9)式可得:

(10)

(11)

從而暗能量狀態方程和無量綱暗能量密度分別為:

(12)

和

其中已經令a=a0=1時,H=H0,ΩD=ΩD0.由(3)式可得:

(13)

應該注意的是, 與(13)式一起還有另一個解是E(a= 1)=0, 對應于最后縮小的宇宙, 被省略了.因此:

ΩD=ΩD0E-1,Ωm=Ωm0E-2a-3(1-δ),Ωk=Ωk0a-2E-2

(14)

這些能量密度是解析形式的.圖1顯示了無量綱能量密度隨宇宙尺度因子a的變化, 圖2顯示了無量綱能量密度隨相互作用因子δ的變化, 其中取Ωm0=0.26,ΩD0=0.73和Ωk0=0.01.圖1中相互作用因子δ=0的線對應于冷暗物質與暗能量間不存在相互作用的情況.圖像顯示, 隨著宇宙尺度因子a的增加, 在沒有非引力相互作用的情況下, 冷暗物質的無量綱能量密度從初始最大值逐漸減小, 而無量綱暗能量密度由于鬼場的貢獻而從最小值逐漸增加.非引力相互作用的出現, 使得冷暗物質的能量密度立即降低, 即轉化為暗能量.這是因為ωD0的天文觀測值要求相互作用因子δ為正, 導致非引力函數Q為正值.與文獻[58]不同, 其中Q=3Hδ(1+ωD)ρD, 對于ωD>-1的情況, 能量從冷暗物質到暗能量流動, 而對于ωD<-1, 能量流動方向相反.當宇宙尺度因子在圖2中的4種情況下恒定時, 暗能量和冷暗物質之間的非引力相互作用使Ωm減少,ΩD增加, 即零壓強冷暗物質轉化為暗能量.如果當前的無量綱曲率Ωk0接近0.01(K=-1), 則宇宙是開放的.從方程可以看出, 無量綱曲率密度隨宇宙尺度因子的增大而逐漸減小.在95%置信水平下, 來自WMAP 5年數據和其他觀測數據的暗能量狀態方程的邊界為-1.29<ωD0<-0.790[56].從(12)式可以看出,ωD0和相互作用因子δ之間存在簡單的反線性關系.狀態方程的現值ωD0限制了δ∈(0.004 8, 0.894)的范圍.不同δ值的狀態方程的演變見圖3.相互作用因子δ=0.378的線對應于狀態方程ωD0=-1.相互作用因子δ=0,Ωk0=0時的ωD0=-0.784以及相互作用因子δ=0,Ωk0=0.01時ωD0=-0.787, 兩個ωD0的值顯然都超出了其觀測的取值范圍.因此, 可以得出結論, 宇宙是平坦的, 暗能量和冷暗物質之間的相互作用不存在, 這可能是不允許的.當然, 由于觀測到的Ωk0∈(-0.017 5, 0.008 1)非常小, 可以認為宇宙是近似平坦的, 但暗能量和冷暗物質之間必須存在相互作用, 因此將Ωk0的值取為0.01.

圖1 無量綱能量密度隨宇宙尺度因子a的變化

圖2 無量綱能量密度隨相互作用因子δ的變化

圖3 暗能量狀態方程隨宇宙尺度因子a的變化

還可以計算宇宙減速參數, 其定義為:

(15)

把(11)式代入(15)式后, 可得:

(16)

能量密度Ωm,ΩD和ΩK的表達式已在(14)式給出.相對于宇宙尺度因子的宇宙減速參數見圖4.可以在圖4中看到, 減速參數q0(a=1)∈[-0.91,-0.38]的所有值均為負值, 這與宇宙加速膨脹的天文觀測結果一致.本研究的結果與參考文獻[59]一致, 其中q0=-0.48±0.1來自192顆超新星的樣品數據值,q0=-0.65±0.5來自射電星系數據值.此外, 還看到宇宙減速參數與相互作用因子δ有關.相互作用越強, 減速參數越負, 宇宙加速膨脹越快.

圖4 宇宙減速參數隨宇宙尺度因子a的變化

3 結論

本研究求解了相互作用的鬼場暗能量模型, 其中在總能量密度守恒的條件下, 可以引入冷暗物質和暗能量之間的非引力相互作用函數.該模型的優點是可以解析地給出無量綱能量密度、狀態方程參數和宇宙減速因子.在原始的相互作用暗能量模型中, 非引力相互作用函數可以是正的也可以是負的, 能量轉換可以是從冷暗物質到暗能量, 也可以是逆流.研究發現, 在本文給出的模型中, 冷暗物質與暗能量之間的非引力相互作用函數更傾向于正值, 這導致能量從冷暗物質轉移到暗能量.相互作用因子的值是以暗能量的當前方程狀態為界來選擇的, 并且由相互作用因子值給出的減速因子的當前值與觀測值非常一致.