基于Hilbert變換的高精度測頻研究

何洋炎,王 林

(中國電子科技集團公司第五十一研究所,上海 201802)

0 引 言

20世紀50年代以來,瞬時測頻技術應現代電子戰的需求而誕生,主要分為模擬瞬時測頻和數字瞬時測頻2個方向。前者雖說工程上易于實現,但是穩定性差、易受各類因素的影響以及測頻精度不高,故很少應用于工程設備中;后者則很好地克服了上述缺點。目前其主要有以下幾種數字測頻算法:(1)基于幅值的測頻算法[1];(2)基于相位的測頻算法[2];(3)基于頻率信息的測頻算法[3];(4)基于功率譜的測頻算法[4]。上述各類算法各有優缺點,其中第(2)類相位法以其瞬時性好、測頻精度優等特點而在工程上被廣泛采用;但是在非合作輻射源及少采樣點數時,所測目標頻率精度往往難以滿足目標運動特征提取的要求。基于此,本文提出了利用希爾伯特變換為參考信息,通過相位信息之間的相似性重構目標信息,從而提取出滿足參測需求的超高精度頻率。

1 理論基礎及所提算法

1.1 瞬時頻率[5]

瞬時頻率的確定目前有多種不同的方式,目前比較公認的是Gaber所提出的利用解析信號以確定瞬時頻率的數值。該方法主要是依托于希爾伯特變換,舉例說明,對于信號a(t),構造其復數域的解析信號,其中H(f(t))表示對信號f(t)進行希爾伯特變換,如下式所示:

F(t)=a(t)+jH(a(t))

(1)

當得到信號的虛部后,即獲得了信號的相位信息時,可以將信號寫成如下的解析形式:

F(t)=B(t)ejθ

(2)

信號的瞬時頻率一般被定義為相位對時間的一階導數,這也符合物理意義上關于頻率的概念,如下式所示:

(3)

以上所引出的關于瞬時頻率的解算方式,作為后續所提方法的理論依據。

1.2 Hilbert變換

Hilbert變換具有諸多優良特性,常會利用其來構造解析信號,在此先介紹Hilbert變換,為后續所提方法中利用其相關特性奠定一定的基礎。

對于實值函數a(t),t∈(-∞,∞),它的希爾伯特變換定義為a(t)與1/πt的卷積:

(4)

式中:符號*表示卷積。

利用卷積的特殊性質,即2個函數的卷積傅里葉變換等于2個函數傅里葉變換的乘積,設a(t)為原信號,F(a(t))表示對信號進行傅里葉變換,H[f(t)]為對信號進行希爾伯特變換,于是可得:

(5)

利用歐拉公式ejθ=cosθ+isinθ,可以得到:

(6)

式中:sgn(f)為符號函數,定義為:

(7)

通過上述變化的分析,可以看出,所謂希爾伯特變換就是一個相移轉換器,對于正頻率成分,將相位移動了-π/2; 反之負頻率成分,移動了π/2。同時,可以發現復數域信號在實數域的投影就是時域信號,于是利用Hilbert變換,就可以得到含有信號相位變化信息的復數表達式。

1.3 正交性分析

由前兩節的分析,理論上的Hilbert是基于無限時間長度的,但是此需求在實際工程應用中難以滿足,甚至在絕大多數條件下,只具備少量點數的用于信號相位信息的求取,受限于工程應用的局限,勢必對虛部信號的準確獲得造成一定程度的誤差,主要體現在其與原始實部信號的正交性上,正交度定義如下:

(8)

式中:η表示正交度;M表示量化位數;D(·)表示模數量化;H(·)表示Hilbert變換。

現給出如下仿真條件,分析測頻誤差與正交度之間的關系(具體參數參見表1),分別給出采樣點數與測頻誤差的關系曲線,以及采樣點數與正交度的關系曲線,如圖1所示。

表1 基本參數

圖1 測頻誤差、正交度隨采樣點數的變化

從圖1(a)中可以看出,誤差隨著采樣點數的增加呈現整體下降的趨勢。這是由于隨著采樣點數的增加,在頻率域中對信號處理過程中原始信號的信息保存就越完整,恢復至時域中時,對應的幅相信息就更準確。同樣,觀察圖1(b)中正交度的變化趨勢,可以看出隨著采樣點數的增加,正交度的數值不斷趨于0,意味著信號實部與Hilbert變換所得虛部之間的正交度越高,復原的信號越接近真實信號。對比圖1(a)與(b),可以發現測頻誤差與正交度之間呈現出相同的變化趨勢,基于此,可以考慮利用提高信號的正交度來滿足高要求的測頻需求。

1.4 基于信號相似性的頻率測量

從上述分析可以得到,為了提高測頻精度,滿足目標運動特征表達的需求,需得到更加貼合實際信號的復信號形式,即與實部正交性更好的信號虛部信息。但是單純地基于Hilbert變換得到的測頻精度(特別是在少量采樣點時)難以滿足實際測頻的要求,提高信號虛部的準確度主要解決2個方面問題:(1)虛部的符號問題;(2)虛部的絕對值。其中,第1點可以通過Hilbert變換獲得,通過前述分析信號的取值不存在跳變點,則Hilbert變換得到的數值正負是符合實際情況的;第2點,考慮到變換所得信號的幅度會呈現出起伏狀態,即偏離真實幅度,且均值也會因為點數及采樣率的原因,并非與實際幅值相近。現考慮基于分析不同信號的特征,利用相似性原理來確定信號的幅值。

1.4.1 點頻信號

如果是單一頻點的信號,那么在等間隔采樣點之間,理論上信號的相位變化值應該是相同的,如下式所示:

mod(Δφ1,2π)=mod(Δφ2,2π)=…=

mod(ΔφN-1,2π)

(9)

式中:mod()表示取余;Δφi表示相鄰采樣點之間的相位差;N表示采樣點數。

現考慮以一定的步進遍歷幅值變化區間,求取各幅值點處基于相似性原理的相差抖動情況,典型的相似性處理方式(皮爾遜相似系數)如下式所示[6]:

(10)

該處理方式存在相位跳變問題,且工程運算量較大,現擬采用如下相關系數的計算方法:

(11)

1.4.2 線性調頻信號

給出調頻信號的模型如下式所示:

(12)

式中:K表示調頻斜率;φ0表示初相位。

于是可以得到圖2。

圖2 線性調頻信號相位差差值變化

圖2中的灰區塊代表相鄰采樣點相位的差值,通過相位差差值的運算可以得到如圖2所示的結果。相差的差值也呈現出恒值的態勢,因此同樣可以采樣類似上節的分析,利用相同的相關系數計算方法得到不同幅值對應的相位抖動情況,分析過后則可以將2類典型信號采取相同的信號處理方式進行預處理,在保證算法能夠處理不同類型信號的同時,節省了工程應用中的資源消耗。

接著給出了2類信號的相似度曲線,如圖3所示。

圖3 2類信號的相似度曲線

從圖3中可以清楚地看到,2條不規則曲線均存在極小值點(即所需的幅值點),為后續的超精度測頻提供了理論保證。

2 仿真分析

根據實際需求,給出如表1所示的基本參數設置。

基于上述參數給出了基于所提算法與常規瞬時測頻算法的比較,測頻誤差如圖4所示。

圖4 基于所提算法與常規瞬時測頻算法的測頻誤差比較

從圖4中可以清晰地看出,常規方法下即便是能夠連續獲取上萬采樣點,測頻精度也只能達到300 Hz的精度要求,對于測量目標百赫茲量級的測頻需求是難以滿足的;然而采用了基于所提相似算法,僅利用不到10個采樣點,得到測頻精度可以控制在60 Hz以內,平均數值可控制在10 Hz上下,可以很好地滿足實際測頻的需求。接著,基于所提方法給出了線性調頻信號的關鍵參數調頻斜率的測量結果,如表2所示。

表2 參數測量結果

從上述結果可以看出,所提算法不但能夠很好地測得點頻信號的頻率,同時對于線性調頻信號調頻斜率的測量誤差低于千分之一,累計測頻誤差單脈沖小于21 Hz,能滿足實際測量百赫茲量級多普勒頻率的需求。

3 結束語

本文通過分析不同采樣點測頻誤差與信號實部虛部之間正交性的變化趨勢,引出了在低采樣點需提高信號的正交性作為提升測頻精度的基礎;而后通過分析相位信息的相似性,采用了更符合工程實現的相似性處理函數,通過極值點的求取重構目標信號,進而求得相應的精準頻率。仿真結果也證明了所提算法在不同信號類型上的適用性與超精度性能。