培養學生說理能力 實現數學課堂增值

文/陳翠花

引 言

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》明確指出，教師應注重引導學生“發展質疑問難的批判性思維，形成實事求是的科學態度，初步養成講道理、有條理的思維品質，培養科學態度與理性精神”[1]。顯然，數學“說理”并不只是讓學生簡單地說出正確答案，而應側重于讓學生運用數學語言，把握數學知識的內部聯系，通過信息加工“說”清數學知識的來龍去脈，將數學內隱的思考過程“說”明白，將思維過程加工外化為數學語言表達，從而有效地提升學生的數學思維品質。

一、重情境，讓學生愿說理

心理學研究表明，學生思考的積極性和主動性，往往來自一個讓他們能產生強烈認知沖突的情境。因此，只有讓學生置身于一定的情境之中，讓學生有強烈的說理沖動和想表達的愿望，才能有效地促使學生將自己的思考過程通過語言表達出來。

（一）促使學生有針對性地說理的情境創設

“說理”并非簡單地、盲目地說，教師應該創設一種讓學生能有針對性地說理的情境，引導學生通過一系列的觀察、分析與探究，明確解決的問題是什么，要怎樣分析問題的來龍去脈。很長一段時間以來，數學課堂所采取的是單向性師生“一問一答”式教學，學生參與探究的熱情很難被激發，學生說理的欲望沒有被驅動，他們常常處于“不愿說”“不想說”的狀態。由此，教師應立足學生的實際生活，引入學生熟悉的生活元素，讓學生置身于一種熟悉的生活情境之中，輕松地、有針對性地闡述自己的觀點。

例如，在教學人教版五年級（下冊）“分數與除法”這節課時，為了讓學生能通過自己的語言闡述，借助分數的意義理解“分數與除法的關系”，筆者創設學生最熟悉的生活情境。一是生活問題驅動。筆者這樣啟發道：“如果老師家來了5 位小朋友，現在要把這1升的果汁平均分給他們喝，你覺得每人能喝多少升？為什么？”這種屬于生活實例的問題，一下子就點燃了學生“想表達”的熱情。二是采用延遲評價。當學生“說理”熱情被激發之后，筆者不急著去干涉和評判，而是讓數學之理在學生口中越辯越明。其中一位學生說道：“1 升的果汁平均分給5 個人喝，也就是1÷5，每人喝了0.2 升。”另一位學生說道：“1 升的果汁平均分給5 個人喝，也就是將這1 升果汁看作單位‘1’，平均分成了5 份，每人就喝了1/5 升。”又有一位學生發現：“答案可能是小數，也可能是分數，而用分數表示得數更容易。”還有一位學生說道：“這里的分子就是被除數，分數線是除號，而分母就是除數。”顯然，創設學生熟悉的生活情境，能高品質地誘發學生的探究欲望，且能讓學生依據生活經驗，有目的、有方向感、有針對性地進行數學說理，從生活經驗走向數學經驗，經歷橫向數學化的全過程。

（二）促使學生進行辨析性說理的情境創設

正所謂“話越說越明，理越辯越清”，尤其是數學之理。當前多數教師在引出數學概念、公式、規律時，是單方面給出，這種缺乏思考、質疑、思辨的學習方式會在一定程度上束縛學生思維的發展。由此，教師在教學中應給學生創設讓他們說理表達的空間，當然這種說理表達并非漫無目的，而是創設一種能讓學生展開深度、辨析性說理的教學情境，引導學生在辨析說理中洞悉數學原理，看清問題本質，在幫助學生理解與內化所學內容的同時，有效發展學生良好的思維品質。

例如，在教學人教版三年級（上冊）“認識周長”這一課時，當學生建構起“周長”這一數學概念后，筆者便出示了“比一比，下面哪個圖形的周長更長？（如圖1）”的習題。很多學生第一反應就是1 號圖形的周長長，個別學生則認為是2 號圖形的周長更長，還有極少數學生認為兩個圖形的周長一樣長。當學生的意見有分歧之時，筆者并不著急做出“對與錯”的評價，而是啟發學生用自己的方法來說明自己的判斷是對的。于是，認為1 號周長更長的學生這樣辨析道：“把這兩個圖形剪下來，重疊放一起，可以看出1 號圖形的周長更長。”有的學生反對道：“你這樣比的是面積的大小，而不是周長的大小。”還有的學生反駁道：“面積大的圖形，周長當然就更長。”此時，教室里安靜了下來，大家把目光都投向了筆者。筆者這樣啟發道：“面積大的圖形，周長一定會更長嗎？如果不是，理由是什么？”于是學生發散思維，一位學生辨析道：“周長是指圖形外邊一周的長度，面積是指這個圖形面的大小，它們是不一樣的。”另一位學生又爭論道：“現在是比周長，跟面積的大小沒有關系。”接著，又有學生說道：“都別爭論了，這兩個圖形的周長是一樣長的。像這樣，將2 號圖形凹回的橫向邊平移到上面，凹回的豎向邊平移到右邊，其周長與1 號長方形周長就是一樣長了。”由此可見，創設直觀情境，留給學生充分思考和探究說理的空間，并讓學生聚焦于核心問題進行辨析說理，不但能促使學生對面積與周長在本質上的區別有更深刻的認識，而且能讓學生真正實現有話可“說”、有“理”可講。

圖1

（三）促使學生進行梳理性說理的情境創設

數學是一門邏輯性較強的學科，各個數學知識點之間有著千絲萬縷的內部聯系[2]。因此，教師應引導學生對所學的數學知識及時展開梳理，而這種梳理的形式除了借助畫圖表達，還可以用語言進行說理表征，從而使學生通過結構化的梳理，建構完整的數學知識體系。在數學課堂教學中，教師應為學生創設一種能進行梳理性說理的教學情境，促使學生在對話中實現對問題本質與根源的分析與追尋，對數學知識之間的關系進行有序串聯，對零散數學知識點展開深度連接與整合，有效地發展學生數學思維的整體性與邏輯性。

例如，在教學“梯形面積的計算”這一節課時，筆者直接開門見山地啟發道：“前面已經研究過平行四邊形、三角形的面積計算公式的推導方法，那么今天這個梯形的面積計算公式又要進行怎樣的探究呢？”這樣的問題情境創設，促使學生自然而然地對數學學習方法進行聯結。在學生充分動手探究后，筆者組織全班集體交流。最后，筆者讓學生對不同的探究方法進行梳理性總結，具體得出以下三種：一是拼擺法，將兩個完全一樣的梯形拼成一個平行四邊形，再尋找上底、下底、高和平行四邊形的底、高之間的關系，進而推導梯形的面積計算公式；二是割補法，根據三角形可以沿高對剪，然后割補轉化成一個新的平行四邊形的特點，沿梯形的高對剪后也一樣可以割補轉化成一個新的平行四邊形，進而再推導梯形的面積計算公式；三是分割法，直接將梯形分割成兩個三角形，再推導出梯形的面積計算公式。在不同的學生運用不同的方法探究出梯形的面積計算公式之后，筆者再讓學生進行總結，有效地避免細碎而淺層的思維，幫助學生理清數學知識體系的脈絡，讓學生通過語言表征，將不同的數學方法內化于心、梳理成法，有效推動學生數學學科核心素養的落地。

二、重方法，讓學生會說理

一是要認真觀察，讓學生有序說理。要把數學之理說明白，按一定順序表達是最基本的方法。如果前后順序顛倒，學生不僅無法把數學道理說清楚，也無法加深對數學本質的理解。而要讓學生有序地說理，首先應讓學生認真觀察數學現象，對多個信息條件展開觀察、對比與分析，在腦中建構清晰的“數學地圖”，促使學生做到有序表達，做到不遺漏、不重復。因此，認真觀察是培養有序說理能力的首要條件。

例如，人教版二年級（上冊）“數學廣角——搭配（一）”這一節課，教材習題中有這么一道題：“4個同學聚會，每兩個人之間握一次手，一共握了幾次手？”學生在這一課時剛剛學過跟位置有關系的“排列”，明白了要按一定的順序才能做到不重復、不遺漏。而這一道題則是跟位置的變換沒有關系的“組合”，這對于剛剛學過的“排列”知識的二年級的學生而言，具有一定的挑戰性。因此，教師可以讓學生先把題目意思分析清楚，再借助畫圖這個直觀手段，在充分的觀察、對比和分析之后進行有序的說理。有的學生這樣說：“可以把這4 個人圍成一圈，每兩個人握一次手，那就每個人都跟其他3 個人連一下（如圖2），可以數出一共握了6 次手。”還有的學生說：“那樣圍一圈容易遺漏，可以將這4 個人用四個點排成一排，也就是畫一條線段（如圖3），這樣就可以數出相鄰的AB、BC、CD 握3 次，中間隔一個的AC、BD 握2 次，中間隔兩個的AD 握1 次，也就是一共握手的次數列式3+2+1=6（次）。”顯然，學生在認真觀察圖形的基礎上，能按照一定的順序進行數學說理，在解決數學問題的同時，促進數學語言表達能力的發展，提高數學思維能力與推理能力。

圖3

二是要啟發思維，讓學生有據說理。猶如陶行知所言“教師不重在教，重在引導學生怎樣去學”，數學說理亦然。讓學生有據說理不是要手把手地教學生應該怎樣進行說理，而是要通過引導、啟發，激發學生的發現意識、探究意識、表達欲望，并讓學生通過提取有效信息，適時地給予加工、處理，從而進行有理、有據地數學說理。

例如，在教學人教版一年級（下冊）“比多比少”內容之后，筆者出示這樣一道題：“冬冬和毛毛各有10本本子，冬冬給毛毛5 本后，毛毛比冬冬多多少本？”大多數學生憑直覺列出算式：10-5=5（本）。筆者并沒有進行直接評價，而是引導學生展開思考，分析其正確與否，并說明理由。有的學生認為是對的，理由是本來兩人是一樣多的，因為“冬冬給毛毛5 本”，所以毛毛就比冬冬多5 本；有的學生卻這樣說道：“這里的10指的是每個人所擁有的本子數，那么10-5 求出的應該是冬冬給毛毛后，冬冬剩下的本子數，而不是毛毛比冬冬多的本子數。”正當學生爭論不休時，筆者繼續引導：“怎樣能解釋得更清楚、更明白呢？”有的學生想到了用擺小棒的方法，繼而有理有據地說道：“原來冬冬和毛毛都各自有10 本本子，現在冬冬給毛毛5 本，只有5 本了，而毛毛在10 本上多了5 本，現在是15 本。要求毛毛比冬冬多多少本，那就是用15 本減去5 本，算出多10 本。”顯然，這時學生能借助小棒進行直觀的動手操作，從條件的變化中分析數量之間的關系，從而有理有據地分析數量關系，并讓問題得以解決。

三、重評價，讓學生愛說理

數學說理能力的培養需要一個長期的、往復的過程。要讓學生喜歡上說理，教師除了運用激勵性的口頭評價，還可以通過“量化”的評價方式。例如，在教室一角張貼諸如“誰的點子多”或是“積分制”等，及時根據學生在課堂上的說理情況進行記錄：沒有說對但積極舉手說理的，加1 分或增添1 個點；說理正確的，加2 分或增添2 個點；把數學之理說得很精彩、很完整的，加3 分或增添3 個點。每周統計一次，對取得高分的學生給予小禮品獎勵或是頒發“說理小能手”獎狀，下周開始大家都又歸零重新開始比賽統計。這樣的過程跟蹤性評價，能有效地激勵學生說理，提升學生說理水平。

結 語

在新課程改革背景下，“知識時代”逐漸地走向“素養時代”，“說理”作為一項重要能力，逐漸得到廣泛重視。因此，教師應關注為學生創設愿意說理的情境，教給學生說理的方法，并運用多元評價，讓學生愛說理，致力于讓學生借助數學說理，讓內隱的數學思維通過數學語言外顯表征，促使思維品質的提升，實現數學課堂教學的增值。