含有建模和測量誤差的衛星自主定軌系統能觀性分析

周博超,李勇,*,張艾,崔世航

1.中國空間技術研究院 錢學森空間技術實驗室,北京 100094 2.北京空間機電研究所,北京 100094

1 引言

衛星自主軌道確定是指衛星不依賴地面支持,僅利用星載測量設備得到的數據對衛星軌道參數的估計或計算,影響其精度的主要因素包括動力學建模誤差及敏感器測量誤差。

如果對于模型誤差沒有任何先驗信息,可以采用自適應濾波技術或魯棒濾波技術,如強跟蹤濾波器[1]、偏差分離魯棒濾波[2]、基于神經網絡的濾波算法[3]等。但是,這些算法主要是增強算法的自適應能力,對于常值偏差及可以視為分段常值的慢時變誤差這種統計特性比較清楚的情況,采用將偏差擴增為狀態進行估計的方式能夠得到更好的估計效果。如對于動力學模型誤差,可以采用約化動力學的方式對動力學模型誤差進行補償。約化動力學方法會引入一個過程噪聲向量,用來表示施加于用戶衛星上的一個假設的三維力,并將其與狀態同時進行估計[4-5]。對于測量中的系統誤差,處理的一般方法也是將其視為未知偏差擴增為狀態后進行估計,估計的性能取決于其對應的偏差狀態增廣系統是否具有完全的能觀性。張春青等利用了線性時變系統的能觀性理論給出了測量偏差為常值時衛星自主定軌系統擴增狀態后系統的能觀性證明[6-7]。但同時考慮動力學建模及測量中都含有系統誤差的情況更加復雜,能否僅用觀測的衛星位置矢量解算出衛星的位置速度及所有的偏差是一個值得討論的問題。

系統能觀性的概念最初是由Kalman為解決確定線性系統的問題而引入的,如果系統的狀態能被過去的觀測唯一確定,則該系統能觀。能觀性反映了系統利用有限時間的觀測量確定系統狀態的能力[8]。由于衛星自主定軌系統的方程為非線性方程,非線性系統能觀性至今仍是控制理論中一個重要且困難的研究問題。傳統的能觀性分析方法是將其局部線性化、離散化后采用線性時變系統的能觀性理論進行分析。但線性化及離散化會使系統能觀性發生變化,故Hermann等針對非線性系統提出了非線性系統的局部能觀性理論[9]。李勇提出了非線性系統局部k階能觀的概念,對滿足能觀性秩條件的情形,依據其利用的觀測量微分的階次不同進行了更細致的劃分,體現了要唯一確定系統狀態所需要的信息量的多寡程度[10]。

本文采用非線性系統的該局部k階弱能觀性理論對動力學模型及測量模型均存在誤差的情況下衛星自主定軌系統的能觀性進行分析,推導并證明無攝動條件下自主定軌中狀態及偏差都可觀的充要條件,最后采用EKF算法對結論進行仿真驗證。

2 含有模型誤差的自主定軌系統模型

首先定義地心赤道慣性坐標系: 坐標原點為地球質心,基準面為赤道面,X軸指向春分點,Z軸指向北極,Y軸與X軸和Z軸構成右手系統。考慮無攝動項的單個衛星軌道動力學方程為:

(1)

式中:μ=398600.44km3/s2為地球引力常數;r=[xyz]T為地心至衛星質心的矢量;r=|r|,|·|表示矢量范數。

以衛星的位置、速度矢量為系統的狀態變量,則考慮模型誤差的衛星的狀態方程為:

(2)

式中:狀態量X=[r;v];r為衛星位置矢量;v為衛星速度矢量;a為未知動力學模型誤差。

關于測量模型,衛星自主定軌的測量方法主要有:1)基于星光折射的衛星自主定軌[11-12];2)基于星敏+紅外地敏的衛星自主定軌[13];3)天文導航(包括星光角距和星光仰角)[14-15];4)可見光相機導航[16];5)脈沖星導航[17-18]等等。而這些都可以大致歸結為測量衛星的地心矢量在測量坐標系下的坐標,再將其轉換到慣性系下。于是選取采用定位解算得到的慣性系下的衛星位置矢量為觀測量,不考慮測量誤差時的觀測方程為:

y=h(X)=r=

(3)

式中:H為測量矩陣。考慮到測量中存在誤差,相應的帶有測量偏差的觀測方程為:

y=r+b

(4)

式中:b為位置測量誤差。

3 系統能觀性分析

3.1 動力學建模及觀測誤差同時存在時的能觀性

對于自主定軌的非線性系統,Hermann給出了非線性系統的局部能觀性的秩條件。h沿f的k階Lie導數定義為:

如果在某時刻存在正整數p使得Op(X)=n(其中n為狀態維數),則稱系統在此時刻的能觀性秩條件成立,可以得出結論系統在此處局部弱能觀。

在此基礎上李勇提出了非線性系統局部k階能觀的概念,對滿足局部能觀性秩條件的情形,依據其利用的觀測量微分的階次不同進行了更細致的劃分[10]:若對于整數k>1,有Ok-1

不考慮任何誤差時,原系統在某時刻的k階能觀性矩陣可寫為[10]:

由式(3)可知該矩陣需要求r的各階導數,由文獻[10],有下面的引理:

引理1 對于模型(1),存在關于u,p,q的常系數多項式函數序列fn,gn(n≥2),使得在r(t)的線性流形上有下式成立:

其中

(5)

可由數學歸納法證明。

于是有

下面分析同時存在動力學建模誤差和觀測誤差時的系統能觀性,在所考察的瞬時局部可將實際中慢時變的這兩項誤差近似等效為相應的常值向量,將衛星位置、速度和兩項誤差共同構成擴維狀態量:

則擴維的系統方程為:

(6)

(7)

擴維系統(6)(7)中,h沿f的k階Lie導數為:

依次類推,有:

(8)

由此可得增廣系統的k階能觀性秩矩陣為:

(9)

有如下定理。

定理1

a)系統(6)～(7)在t時刻局部4階能觀的充要條件為p≠0;

b)系統(6)～(7)在t時刻局部5階能觀的充要條件為p=0且q≠0;

c)系統(6)～(7)在t時刻不能觀的充要條件為在該時刻有p=0且q=0。

證明:

a)局部4階能觀性矩陣的秩滿足

b)局部5階能觀性矩陣的秩滿足

c)首先證明充分性。如果有p=q=0,有

則

故由[15]中的fk,gk遞推公式可得:

于是有:

故a=r,而r=a(1-ecosE),即此刻有:

ecosE=0

(10)

而由二體問題的公式:

其中P,Q互相正交,由r·v=0可得:

cosE-e-(1-e2)cosE=0

(11)

由(10)(11)兩式可解得e=0,即p=q=0等價于e=0,也就是說系統(6)～(7)局部不能觀的充要條件為e=0,而e=0意味著軌道為圓軌道;由于圓軌道處處都有e=0,即此時系統(6)～(7)每一時刻都是局部不能觀的。

3.2 僅存在部分誤差時的能觀性

當僅存在動力學建模誤差時,系統如(6)～(7)所示,其中b=0,則由(9)可得該系統的能觀性秩矩陣為:

當僅存在測量誤差時,系統同樣如(6)～(7),此時a=0,則此時系統的能觀性秩矩陣為:

4 估計算法

估計算法采用擴展卡爾曼濾波(EKF)算法,假定狀態模型與測量中存在互相獨立的零均值白噪聲,且離散化后對應的方差陣分別為Qt,Rt,則基于標準EKF算法,對于系統(6)～(7)可以建立如下的濾波方程:

(1)計算狀態一步預測值

數值積分(6),得到一步預測的擴維狀態:

(2)預測誤差方差陣

式中:Φt/t-1為狀態轉移矩陣,可由如下微分方程解得。

積分初值為單位陣。

(3)增益矩陣

(4)狀態估值

(5)估計誤差方差陣

5 仿真算例

5.1 系統誤差為常值偏差的情況

仿真場景中,衛星的軌道根數如表1所示的A星,仿真的軌道由二體模型加誤差加速度積分而得,即:

表1 軌道根數

誤差加速度a設置為常值偏差[6×10-5m/s2,5×10-5m/s2,-3×10-5m/s2]T加上標準差為10-5m/s2的高斯白噪聲,仿真時長為12h。

測量數據為衛星的仿真位置加上誤差:

y=r+b+η

式中:b設置為常值偏差[2km,4km,-9km]T;η為標準差為500m的高斯白噪聲。

運動狀態估計初值設置為初始狀態加上10km(位置)、10m/s(速度)的初始誤差,誤差加速度初值設置為1m/s2,測量偏差初值設置為104m。則相應的初值方差陣設置為:

噪聲方差陣設置為:

估計結果如圖1所示。

圖1 常值偏差算例狀態估計結果

穩定后三軸位置均方誤差分別為:10.192m,9.095m,4.968m。速度均方誤差分別為:0.0073m/s,0.0077m/s,0.0043m/s。

模型偏差的估計結果如圖2所示。

圖2 常值偏差算例偏差估計結果

穩定后三軸動力學模型誤差估計精度分別為1.2989×10-7m/s2,7.0742×10-8m/s2,8.0432×10-7m/s2。三軸觀測模型誤差估計精度分別為:7.0540m,9.3863m,2.7461m。

如果對偏差不進行校準,直接采用EKF算法估計衛星的位置速度,濾波結果如圖3所示。

圖3 不考慮偏差估計結果

由圖3可以看出,不校準誤差時估計結果不收斂,依然帶有周期性的誤差,而且估計結果是有偏的。

根據定理1給出的能觀性條件,當軌道為圓軌道時系統不能觀,于是考慮一個圓軌道的衛星B,除了偏心率e=0,其他軌道根數都與A星相同,如表1所示。用同樣的仿真場景、同樣的估計算法進行估計得到的誤差如圖4所示。

圖4 圓軌道估計結果

由圖4可見Z軸估計結果有偏,即偏差估計不準,證實了此時系統確實是不能觀的。

5.2 系統誤差慢時變的情況

仿真衛星依然如表1中的A星,軌道仿真中的動力學模型誤差設置為以軌道周期T為周期的慢時變系統偏差。

測量模型中的誤差也設置為以軌道周期T為周期的慢時變系統偏差。

仿真結果如圖5所示。

圖5 慢時變偏差算例狀態估計結果

穩定后三軸位置均方誤差分別為:6.3376m,129.4290m,7.9928m。速度均方誤差分別為:0.0799m/s,0.0837m/s,0.0063m/s。由結果可見,濾波在一個軌道周期左右即收斂,并且對含有慢時變系統偏差的系統也能夠得到準確的估計。

6 結論

本文針對二體軌道動力學模型,應用非線性系統的局部弱能觀性理論證明了建模和測量誤差均可等效為局部常值向量時衛星自主定軌系統的能觀性。通過分析得出如下結論:

1)動力學建模和測量均存在誤差時,系統對偏差及狀態都能觀是有條件的:當軌道不為圓軌道時處處能觀;當軌道為圓軌道時處處不能觀。

2)當僅存在動力學建模常值誤差,或僅存在測量常值偏差時,擴維系統無條件能觀,即系統具有偏差自校準的特性,可不需要任何輔助信息事先校準,僅利用模型自身信息即可實現偏差的自校準以提高自主定軌的精度。

3)通過仿真驗證了系統能觀的條件,并且驗證了當模型誤差為常值或者慢時變時,采用EKF算法對偏差及狀態同時估計是有效的。