新高考卷“概率與統計”試題分析及其教學啟示

劉春芳

［摘 要］“概率與統計”模塊蘊含的思想方法比較豐富，題型分布也比較廣，認真研究其高考真題對教師的教學優化和學生的思維拓展有較大的幫助。文章基于《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》，結合2020—2022年新高考Ⅰ卷和Ⅱ卷的6份試卷，從試題特點、典型題等方面對“概率與統計”試題進行研究，并給出一些教學啟示。

［關鍵詞］新高考卷；概率與統計；試題特點；教學啟示

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）08-0035-03

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中指出：“概率的研究對象是隨機現象，為人們從不確定性的角度認識客觀世界提供重要的思維模式和解決問題的方法。統計的研究對象是數據，核心是數據分析。概率為統計的發展提供理論基礎。”在新高考背景下，數學一線教師不斷地探索、深入研究概率與統計的教學。但一些教師對這個主題模塊不是很重視，認為學生能夠看得懂、會做題即可。實際上，該主題模塊蘊含的思想方法比較豐富，題型分布也比較廣，認真研究其高考真題對教師的教學優化和學生的思維拓展有較大的幫助。本文以2020 — 2022年新高考Ⅰ卷和Ⅱ卷的“概率與統計”試題為例，探討如下問題：2020 — 2022年新高考卷“概率與統計”試題具有什么樣的特點，考查的知識點和蘊含的思想有哪些？2020 — 2022年新高考卷“概率與統計”試題分析會給一線教師帶來哪些教學啟示？

一、“概率與統計”試題特點與典型題分析

（一）總體特點

1.從考查總分來看，總體比較穩定

總分基本穩定在17分或22分。如2021年新高考Ⅰ卷和Ⅱ卷單選題1題，多選題1題，解答題1題，共計22分；2022年新高考Ⅰ卷選擇題1題，解答題1題，共計17分；2022年新高考Ⅱ卷填空題1題，解答題1題，共計17分。

2.從考查知識來看，分布比較均勻

在近年的新高考卷中概率和統計均有涉及，重要內容年年考，次要內容輪流考。“概率”考查古典概型、相互獨立事件、離散型隨機變量的分布列、數學期望、條件概率、概率乘法公式、全概率公式及貝葉斯公式、正態分布。“統計”考查平均數、中位數、標準差、極差、[2×2]列聯表、獨立性檢驗等。

3.從考查核心素養來看， 重點比較明顯

2020 — 2022年新高考Ⅰ卷和Ⅱ卷共6份試卷中“概率與統計”試題考查的核心素養比較明顯，主要是數學運算、邏輯推理、數據分析。

（二）考查特點及典型題

2020—2022年新高考Ⅰ卷和Ⅱ卷的試題關注生活實際，旨在檢測學生對高中階段應知、應會知識的掌握情況；重視“四基”，考查基礎知識、基本技能、基本活動經驗、基本思想；注重滲透核心素養。

1.注重對基礎知識、基本概念的考查

對2020 — 2022年新高考Ⅰ卷和Ⅱ卷的選擇題與填空題進行分析，發現考查平均數、中位數、標準差、極差、古典概型、積事件、相互獨立事件等概率與統計的常見概念的試題，雖然屬于中低檔題，但從得分率來看，依然有不少學生對基本概念不清晰，進而失分。具體典型題如下：

［題1］（2021年新高考Ⅰ卷第8題）有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球。甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”，則（）。

A.甲與丙相互獨立B.甲與丁相互獨立

C.乙與丙相互獨立D.丙與丁相互獨立

命題意圖：本題考查的知識點是相互獨立事件，要求考生能夠列舉出所有事件和發生事件的個數，屬中檔題。

［題2］（2021年新高考Ⅰ卷第9題）有一組樣本數據[x1]，[x2]，[…]，[xn]，由這組數據得到新樣本數據[y1]，[y2]，[…]，[yn]，其中[yi=xi+c]（[i=1]，2，[…]，[n]），[c]為非零常數，則（）。

A.兩組樣本數據的樣本平均數相同

B.兩組樣本數據的樣本中位數相同

C.兩組樣本數據的樣本標準差相同

D.兩組樣本數據的樣本極差相同

命題意圖：本題考查命題真假的判斷，以及平均數、中位數、標準差、極差等基礎知識，主要考查學生的“四基”及數學運算、數據分析等素養。

分析2020 — 2022年新高考卷“概率與統計”試題的客觀題可發現，試題考查基礎知識、基本概念，屬于容易題，但個別題屬于易錯題，比如2021年新高考Ⅰ卷第8題考查考生對相互獨立事件的概念和公式的理解程度。

2.題型綜合，考查學生的核心素養

“概率與統計”解答題設置了應用題，與現實生活有緊密的聯系，具有鮮明的時代特征。試題在通性通法的基礎上進行了綜合和創新，不僅計算煩瑣，而且閱讀量大，內容又比較抽象，對學生的數學抽象、邏輯推理、數學建模等素養都有不同程度的考查。

［題3］（2022年新高考Ⅰ卷第20題）一醫療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當地居民的衛生習慣（衛生習慣分為良好和不夠良好兩類）的關系，在已患該疾病的病例中隨機調查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調查了100人（稱為對照組），得到如下數據：

[ 不夠良好 良好 病例組 40 60 對照組 10 90 ]

（1）能否有[99%]的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛生習慣有差異？

（2）從該地的人群中任選一人，[A]表示事件“選到的人衛生習慣不夠良好”， [B]表示事件“選到的人患有該疾病”，[P（B|A）P（B|A）]與[P（B|A）P（B|A）]的比值是衛生習慣不夠良好對患該疾病風險程度的一項度量指標，記該指標為[R]。

（ⅰ）證明：[R=P（B|A）P（A|B）·P（A|B）P（A|B）]；

（ⅱ）利用該調查數據，給出[P（A|B）]、[P（A|B）]的估計值，并利用（ⅰ）的結果給出[R]的估計值。

分析2020 — 2022年新高考卷“概率與統計”試題的主觀題可發現，每年都是考查一道大題，共計12分。其中，有兩次是考查分類變量的獨立性檢驗，一次是考查離散型隨機變量的分布列和數學期望。2020 — 2022年新高考卷不回避原題、陳題，許多題來自教材的例題、練習題及復習參考題。

二、由“概率與統計”試題分析得到的教學啟示

新高考背景下，教師除研究新課標、新教材外，還要關注《中國高考評價體系》，關注高考真題。通過研究2020 — 2022年新高卷“概率與統計”試題，筆者得到了一些教學啟示。

（一）“見微知著”，重視高考卷“概率與統計”試題的解答

1.讀懂條件，提升閱讀能力

“概率與統計”試題尤其是解答題，不僅文字篇幅長，而且經常結合圖表和公式一起考查，對學生的閱讀審題能力有較高的要求。在平時的教學中，教師應教會學生對文字語言、符號語言和圖形語言進行轉化；讀懂試題中的條件和要求；整合題目中的各種信息；掌握泛讀、復讀、精讀等閱讀的技巧。教師不僅要關注教材，還要加強學生的閱讀訓練，比如讓學生閱讀教材中的“閱讀與思考”欄目，提高學生的閱讀速度和閱讀能力。

2.寫清過程，注意規范答題

教師應重視引導學生規范書寫表達，注意表達的邏輯性和嚴謹性。比如，在解答有關[2×2]列聯表和獨立性檢驗的題目時要使用零假設（原假設），若無零假設，則推斷缺少證據，而沒有假設則會導致沒有檢驗，因此在解答獨立性檢驗類題目時表達應力求準確，在表述檢驗結果時要確保符合新教材中的規定。

3.及時檢查，注重培養糾錯意識

在運用隨機變量的分布列計算概率、成對數據分類變量計算卡方時容易出錯，教師要引導學生在平時訓練中每一步都要檢查是否出錯，否則等整道題做完再檢查，往往很難查出錯誤。

（二）“借助外力”，運用信息技術資源輔助教學

數學教師要按照新課標的要求，結合信息技術直觀方便、素材豐富的優點，有效運用信息技術資源輔助教學，發展學生的數學學科核心素養。比如，在“概率與統計”教學中，可運用Excel軟件計算數據的樣本均值、樣本方差，畫散點圖或利用R軟件來擬合線性回歸模型，讓學生更好地體會概率的意義和統計的思想。

（三）“目標多元”，充分體現學科育人

1.重視“四基”，回歸教材的“原點”

在高一、高二的新課教學中，部分教師會忽略概率與統計知識的教學。這是因為對于必修模塊，教師認為學生在小學、初中有過接觸，相對于其他知識，得分比較高，且題型比較固定；對選擇性必修模塊，教師認為學生通過自主閱讀便可掌握相關知識，因此只注重習題講解，不關注概念和基本公式的來龍去脈。教師要加強學生對基本概念的理解和基本性質的掌握，重視方法的總結歸納。高考具有“源于教材，高于教材”的特點，因此關注教材，回歸教材，理解教材，講清概念，以教材的習題為出發點，充分挖掘題根，回到原點進行改編，都是高三復習備考不能缺少的環節。

2.發展“四能”，追求數學的“本質”

新教材之所以比舊教材要厚實很多，其中一個原因就是新教材的探究欄目加大了篇幅。《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》強調提高學生的“四能”，那么教師必須反思：在概率與統計教學中，如何真正落實“發現問題、提出問題、分析問題、解決問題”？數學的“本質”是什么？教師必須要提升自身的研究能力，用“高觀點”去理解概率與統計知識，進而把握高中數學知識的本質。

比如，在“[2×2]列聯表及獨立性檢驗”的教學中，可實施“四環”教學：第一環節，案導先學。讓學生提前自主預習，思考：為什么要進行零假設？第二環節，合作研學。讓學生小組討論研究或師生合作探究：如何進行假設檢驗？第三環節，展示互學。讓學生分析、解決問題：卡方大于臨界值，小概率事件發生，假設不成立，所以兩變量有關系，那么假設犯錯的概率如何體現？第四環節，鞏固拓學。讓學生自主解決問題：借助網絡資料，是否能解決問題？

發展學生的“四能”不是僅靠刷題就可以實現的，而是要通過對問題的深度思考與解決。

3.滲透素養，突出數學的“思想”

隨機思想、統計推斷思想等一直貫穿“概率與統計”的教學。概率中有頻率估計概率的思想，而統計推斷思想分為兩個方面，即根據樣本估計總體，由數據預測未來。數學學科核心素養以數據分析和邏輯推理為主，部分題目還突出了數學運算、數學抽象、數學建模等。

綜上所述，新高考卷“概率與統計”試題背景豐富、特征明顯、分類清晰、形式多樣。在高三數學復習中，教師首先要透過現象看本質，重視對學生基礎知識和基本思想的鞏固和培養；其次要聚焦數學學科核心素養，培養學生的關鍵能力和必備品格；再次要引導學生獨立思考、自主學習、合作交流，把握數學知識的本質；最后要充分借助信息技術資源有效輔助教學。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］

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（責任編輯 黃春香）