基于混沌系統(tǒng)和RSA算法的圖像加密算法

孫曉鵬,姚鳳麒

(安徽工業(yè)大學 電氣工程學院,安徽 馬鞍山 243032)

0 引 言

數(shù)字圖像作為一種多媒體資源,是新時代人們交流的重要手段,不僅可以承載大量信息,還可以直觀形象地表達信息內容,在商業(yè)、教育、醫(yī)學研究、航空航天、軍事和政治等各個領域中得到了廣泛的應用。一些圖像可能涉及到國家安全和個人隱私,例如軍事基地、衛(wèi)星偵察和生物識別信息,而未經允許的密碼分析對圖像信息的安全傳播構成了巨大的威脅。混沌系統(tǒng)因其天然的復雜性、隨機性和跨學科性,為圖像安全通信提供了良好的加密基礎。因此,如何有效地利用混沌系統(tǒng)保護圖像通信的安全問題引起了各國學者的高度關注[1-5]。

混沌理論是非線性科學中的重要研究方向,構造具有復雜性質的簡單混沌系統(tǒng)仍然是理論研究的主要內容之一。擺玉龍等人提出了一種多渦卷混沌系統(tǒng)[6],并在物理層面實現(xiàn)其特性。臧鴻雁等人提出一種二次多項式混沌系統(tǒng)[7],借此構造了S盒算法。Li等人構造了一種5維多翼的混沌系統(tǒng)[8],具有高維數(shù)高復雜性的特點。Xiong等人首次提出了一種可以在不同參數(shù)下生成單卷、雙卷、三卷和四卷吸引子的三維自治系統(tǒng)[9]。李茹依等人結合了混沌系統(tǒng)和生物神經系統(tǒng),提出了一種高度非線性的混沌神經網絡動力系統(tǒng)[10]。在混沌學的研究發(fā)展過程中,學者們發(fā)現(xiàn)并提出了大量的混沌系統(tǒng),混沌系統(tǒng)的特性、作用與功能也被進一步發(fā)掘。

在早期的圖像加密研究中,人們發(fā)現(xiàn)圖像因其龐大的數(shù)據(jù)量和較強的冗余特性,一般的文本數(shù)據(jù)加密方法并不適合圖像加密。而混沌系統(tǒng)對初值和系統(tǒng)參數(shù)的高度敏感性、優(yōu)良的遍歷性和偽隨機性,使得它成為圖像加密中的研究熱點。因此,一些學者提出了基于混沌系統(tǒng)的DNA編碼[11-12]、置亂擴散[13]、Arnold變換[14]、壓縮感知[15]等技術的圖像加密算法。然而上述算法中密碼僅由唯一密鑰決定,易受已知或選擇明文攻擊,且混沌系統(tǒng)維度較低,結構復雜。該文利用RSA算法的非對稱密鑰加密方法以及構造了一種具有較大李雅普諾夫指數(shù)的四維四翼混沌系統(tǒng),彌補了這一缺陷,并基于構造的混沌系統(tǒng)提出了一種明文相關的圖像加密系統(tǒng),使得加密明文圖像的密碼與RSA算法中的公鑰和密鑰以及明文圖像相關聯(lián)。此加密系統(tǒng)利用明文相關的置亂和擴散將圖像分成塊,對每個塊依次加密,每個塊的密碼流由其前一個塊的密碼塊和密鑰共同生成,即加密系統(tǒng)與明文相關,在一定程度上提高了抵抗選擇或已知明文攻擊,增強了系統(tǒng)安全性,提升了加解密速度。

RSA算法是一種非對稱加密算法,由公鑰、密鑰、明文、密文四部分組成。RSA算法的安全性取決于對極大整數(shù)因數(shù)分解的難度,對一極大整數(shù)做因數(shù)分解愈困難,RSA算法愈可靠。因此,科研學者在圖像加密領域對RSA算法進行了廣泛的研究和應用[16]。Wang等人為了增強密碼系統(tǒng)的安全性能,提出了一種結合RSA算法的混沌同步系統(tǒng)[17],實現(xiàn)了雙重加密。Yosefnezhad提出了一種基于置亂算法和RSA算法的數(shù)字圖像水印模型[18],通過對原圖像進行離散小波變換和奇異值分解將水印嵌入到圖像中,足以保證隱藏數(shù)據(jù)的安全性。該文基于RSA算法數(shù)據(jù)量大、魯棒性強、計算效率高等特點生成混沌系統(tǒng)初始值,加強混沌系統(tǒng)隨機性從而提高加密算法的安全性能。

1 新型四維四翼混沌系統(tǒng)

在一個三維自治混沌系統(tǒng)中加入了一個非線性狀態(tài)反饋控制器w,從而得到了一個新型四維四翼混沌系統(tǒng),其數(shù)學表達式為:

(1)

當系統(tǒng)參數(shù)a=10,b=2,c=12,d=50,e=5,由四階龍格庫塔計算得到四個Lyapunov指數(shù),分別為LE1=2.80,LE2=0.04,LE3=-5.30,LE4=-50.54,系統(tǒng)存在一個正的Lyapunov指數(shù)且其數(shù)值較大。其相空間映射圖如圖1所示。

圖1 混沌系統(tǒng)相圖

2 動力學特性分析

2.1 平衡點和穩(wěn)定性

(2)

當a=10,b=2,c=12,d=50,e=5時,求解公式(2),解得混沌系統(tǒng)有5個平衡點,S0=[0,0,0,0],S1,3=[±24.494 9,14.494 9,±7.101 0,±71.010 2],S2,4=[±24.494 9,-34.494 9,±16.899 0,±168.989 8]。在平衡點處對公式(1)線性化處理得其Jacobi矩陣:

(3)

令det=(J-λI)=0,其中I為單位矩陣,根據(jù)每個平衡點相對應的Jacobi矩陣可求得相應的特征值。根據(jù)特征值可知平衡點S0是不穩(wěn)定的鞍點,其他四個平衡點S1、S2、S3、S4是不穩(wěn)定的鞍焦點。

2.2 Poincaré映射

觀察混沌系統(tǒng)在不同截面上的Poincaré映射也是一種分析混沌運動的有效方式。圖2為x-y平面上的Poincaré映射,可以觀察到系統(tǒng)運動軌跡在平面上留下的點是成片的密集點,證明系統(tǒng)運動是混沌運動。

圖2 Poincaré截面圖

2.3 Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖

令c∈(0,45),改變參數(shù)c的值,其他參數(shù)固定不變,通過Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖觀察系統(tǒng)的運動狀態(tài)。關于變量c變化的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖分別如圖3、圖4所示。觀察圖中曲線可知,當c在區(qū)間(0,3.5],[4.2,6.3),[10.4,24.5),[24.7,38.1)內,系統(tǒng)存在正的Lyapunov指數(shù)并且出現(xiàn)周期分叉現(xiàn)象,此時處于混沌狀態(tài)。當c在區(qū)間(3.5,4.2),(6.3,10.4),[24.5,24.7),[38.1,45]內,只存在一個Lyapunov指數(shù)等于零,其他三個指數(shù)均小于零,此時系統(tǒng)處于周期態(tài),分岔圖的變化趨勢和Lyapunov指數(shù)譜幾乎一致。

圖3 Lyapunov指數(shù)譜

圖4 隨參數(shù)c變化的分岔圖

3 電路仿真

本節(jié)采用Multisim軟件平臺設計混沌系統(tǒng)的電路,通過分析實驗結果來進一步驗證混沌系統(tǒng)的動力學特性。由理論數(shù)據(jù)分析可知,系統(tǒng)所有狀態(tài)變量都超出了器件動態(tài)范圍,為了避免輸入信號過小造成乘法器輸出誤差過大,需要對系統(tǒng)變量進行適當?shù)谋壤龎嚎s變換。令x=kx,y=ky,z=kz,w=kw,t=τ0t。其中,k是比例變換因子且k=0.025,τ0是時間尺度變換因子,τ0=100。應用上述變換得到:

(4)

根據(jù)電路理論知識,可以得到該電路狀態(tài)方程為:

(5)

根據(jù)狀態(tài)空間方程可得到元件參數(shù)分別為C1=C2=C3=C4=0.1 μF,R1=10 kΩ,R2=R4=R9=R11=250 Ω,R3=50 kΩ,R5=8.3 kΩ,R6=R7=R12=R13=10 kΩ,R8=2 kΩ,R10=20 kΩ。

令uc1=x,uc2=y,uc3=z,uc4=w,則公式(4)和公式(5)是等價的。電路仿真結果如圖5所示。通過比較可以發(fā)現(xiàn)電路仿真結果和數(shù)值分析結果基本一致,證實了該混沌系統(tǒng)存在吸引子,說明了該系統(tǒng)在物理上是可以實現(xiàn)的。

(a)x-y平面 (b)x-z平面圖5 電路仿真

4 圖像加解密方案

4.1 RSA算法

RSA算法是一種非對稱加密算法,是三位數(shù)學家Rivest、Shamir、Adleman在1978年首次提出。與對稱加密算法不同的是,RSA算法有兩個不同的密鑰,一個是公鑰,一個是私鑰。如果數(shù)據(jù)用公鑰加密,則需要對應的私鑰才能解密,相反如果用私鑰加密,需要公鑰解密。由于加密和解密使用兩個不同的密鑰,所以這種算法稱為非對稱加密算法。目前,RSA算法仍然是應用最廣泛的非對稱加密算法,其基于歐拉定理,安全性取決于大數(shù)模冪運算,位數(shù)越高則安全性越高。該文運用RSA加密算法生成混沌系統(tǒng)的初始值,這種算法可以使用接受方的已知公鑰對密文進行加密,接收者收到密文后使用自己的私鑰解密得到明文,在此過程中只有接收方可以獲取到私鑰信息。

加密步驟如下:

步驟1:隨機選取兩個不相等的質數(shù)p和q,計算出n=p*q和n的歐拉函數(shù)φ(n),其中φ(n)=(p-1)*(q-1)。

步驟2:隨機選取一個整數(shù)e,滿足1

步驟4:式(6)通過對加密后的密文和原文進行計算得到混沌系統(tǒng)的初始值。

(6)

4.2 混沌序列

將參數(shù)x0、y0、z0、w0代入混沌系統(tǒng)迭代生成混沌序列,為保證隨機性,舍棄前100次迭代。設明文圖像是大小為M×N的矩陣,令混沌系統(tǒng)迭代M×N次生成四個向量{xi,yi,zi.wi},i=1,2,…,M×N,由這4個向量生成4個大小為M×N的偽隨機序列X1,X2和Y1,Y2,一個偽隨機矩陣Z:

(7)

4.3 加取模擴散

在加取模擴散中,僅進行一次運算無法將明文的像素點信息完全擴散,所以利用偽隨機序列X1和X2對原始圖像矩陣P進行一次正向算法和一次逆向算法得到矩陣C:

(8)

4.4 明文相關置亂

利用偽隨機矩陣Z進行置亂處理以消除明文圖像中相近像素點間的相關性,此過程中需要將得到的圖像矩陣C中的像素點C(i,j)和C(m,n)對換位置,對換步驟如下:

步驟1:將C(i,j)與C(m,n)對換位置,其中C(M,1 toN)和C(1 toM,N)不參與位置置亂,位置(m,n)的計算方式如下:

(9)

步驟2:此時得到的圖像矩陣記為D,分別將D(M,j)和D(i,N)與D(m,n)對換位置:

(10)

(11)

步驟3:對換后的矩陣記為矩陣E,置亂E(M,N)的位置,對換規(guī)則如下:

i=1,2,…,M-1,j=1,2,…,N-1

(12)

按照上述方法,先置亂矩陣C的元素C(1 toM-1,1 toN-1),接著分別置亂矩陣C的第M行C(M,1 toN-1)和第N列C(1 toM-1,N),最后置亂矩陣C的元素(M,N)得到置亂后的圖像矩陣F。

4.5 GF(17)域乘法擴散

將二維圖像矩陣F轉化為一維向量,借助于GF(17)有限域的乘法運算對矩陣F進行擴散處理:

(13)

擴散得到的矩陣G即為加密后的最終圖像,解密過程即上述加密過程的逆過程。

5 安全性分析

5.1 加密效果

在USC-SIPI數(shù)據(jù)集中挑選了一些實驗圖像,觀察算法的加密效果。在實驗過程中,選取極大素數(shù)p=3 259,q=3 821和公鑰e=1 288 367計算出私鑰d=3 385 223。隨機選取的4個極大整數(shù)為m1=178 334,m2=38 628,m3=92 873 897,m4=829 809,經過加密后得到密文c1=11 587 151,c2=1 799 483,c3=12 452 638,c4=4 198 591。由公式(6)得到混沌系統(tǒng)初始值x0=4.034 9,y0=3.797 9,z0=4.298 0,w0=3.928 2。實驗圖像的加密效果如圖6所示,可以看到密文圖像中呈噪聲狀分布,無法解讀出有效信息,證明提出的加密算法是有效的。

(a)明文圖像 (b)密文圖像圖6 加密效果

5.2 圖像直方圖分析

圖像的直方圖是重要的密文統(tǒng)計特性,直方圖是表示數(shù)字圖像中每個灰度出現(xiàn)概率的統(tǒng)計關系。理想的直方圖分布應該均勻分布以抵御統(tǒng)計分析的攻擊。以Lena圖像為例,對圖像直方圖分布進行分析,并使用卡方檢驗來評估圖像直方圖的均勻性,卡方計算公式為:

(14)

其中,i是灰度等級,fi是觀察到的直方圖中每個灰度值的像素點頻數(shù)分布,g是理論頻數(shù)分布,借助公式對圖像進行卡方檢驗。

(a)明文圖像 (b)密文圖像圖7 圖像直方圖

5.3 相關性分析

相關系數(shù)是圖像相鄰像素之間的線性相關性。在明文圖像中水平、垂直和對角方向相關性較強,而在密文圖像中這些方向上的相鄰像素幾乎沒有相關性。相關系數(shù)公式如下:

(15)

其中,rxy是相關系數(shù),x和y是兩個相鄰像素的灰度值,取n對相鄰像素點。該文從原始圖像中隨機取2 000對相鄰像素點進行實驗,對密文圖像在水平、垂直、對角方向上的相關性進行分析,一般而言,相關系數(shù)的值介于-1和1之間,越接近于0加密效果越好。實驗對Lena圖像在水平、垂直、對角方向上的相關系數(shù)進行分析,并對比了不同的加密算法關于Lena圖像的相關系數(shù),分析數(shù)據(jù)列于表1中。

表1 相鄰像素在不同方向上的相關系數(shù)

實驗結果表明,提出的算法得到的密文圖像相鄰像素點在不同方向上的相關性接近于0,打破了明文圖像中像素的相關性,近似無相關性,能夠有效抵抗統(tǒng)計攻擊。

5.4 信息熵

信息熵反映了加密算法的安全強度和圖像像素信息的不確定性,信息熵值越大,則不確定性越大,可視信息越少。信息熵的計算公式為:

(16)

其中,L表示圖像的灰度等級,p(i)表示灰度值i出現(xiàn)的概率。對于灰度等級為256的圖像,其信息熵H的理論值為8。密文圖像的信息熵越高,像素值的分布越均勻。表2給出了明文圖像和相應密文圖像的信息熵,彩色圖像的信息熵為R、G、B三個通道信息熵的平均值。實驗結果顯示,密文圖像的信息熵值非常接近于理論值8,而明文圖像的信息熵與理論值有所差別,表明該算法可以有效防止信息泄露。

表2 不同圖像的信息熵

5.5 抗差分攻擊性能分析

一般來說,通過對比兩張圖像中明文圖像和改變明文圖像中一個像素的新密碼圖像來分析差分攻擊中明文圖像和密文圖像的關系。利用NPCR和UACI來分析所提出的密碼系統(tǒng)對于差分攻擊的抵抗能力是一種有效且普遍的方式。NPCR是像素變化率,它表示原始圖像中一個像素點變化時密文圖像中變化的像素點數(shù)。UACI是統(tǒng)一平均變化強度,它表示原始圖像中一個像素點發(fā)生變化時密文圖像中像素點的差異程度。它們的計算公式如下:

(17)

其中,圖像大小為M×N,T為圖像灰度等級,C1為密文圖像,C2為原始圖像中改變一個像素點后的密文圖像。每一組實驗中,僅隨機改變原始圖像中的一個像素點,變化量的值為1。從200組的實驗結果中計算出NPCR和UACI的平均值。計算得出的平均值列于表3中。從表3中可以看到,NPCR均值和UACI均值分別接近于99.609 4%和33.463 5%,說明提出的加密系統(tǒng)在加密的過程中可以有效地將圖像的微小差異傳播到整個密文中,具有非常好的抗差分攻擊能力。

表3 不同加密圖像的NPCR和UACI均值

6 結束語

該文提出了一種新的四維四翼混沌系統(tǒng),對其平衡點性質、穩(wěn)定性、Poincaré截面圖、Lyapunov指數(shù)譜以及分岔圖做出分析,充分研究了系統(tǒng)的混沌特性。結合RSA算法和新混沌系統(tǒng)設計的圖像加密系統(tǒng)將彩色圖像分為R、G、B三個通道分別進行加密,并在第一階段使用RSA算法生成安全密鑰作為初始值。對密碼系統(tǒng)進行性能分析,實驗數(shù)據(jù)表明新混沌系統(tǒng)和RSA算法的引入使得密碼系統(tǒng)對明文高度敏感,很大程度上增強了抗攻擊性能和安全性,具有廣泛應用于保密通信領域的潛在價值。亦可通過使用更加復雜的混沌系統(tǒng)或憶阻器等產生真隨機序列進一步擴展研究工作。