十字萬向軸多體動力學仿真與嚙合面磨損機理*

張銳堯 葉道輝 朱忠喜 全 兵 肖 平 關勤勤 明瑞卿

(1.中石化石油機械股份有限公司 2.長江大學石油工程學院 3.中石油勘探開發研究院)

0 引 言

近年來，隨著我國油氣資源勘探開發力度日益增大，僅僅對淺部地層油氣資源的開采已經不能滿足現有需求。未來我國油氣勘探開發的重點目標是各類“難動用”的油氣資源，尤其是大量深井、超深井、大位移井等復雜結構井，這使得鉆井提速難題異常凸顯，因此亟需開展相關提速工具的研究[1-4]。

螺桿鉆具作為常用的鉆井提速工具，可以將鉆井液的水力能作為動力源轉化為鉆頭所需要的機械能，由鉆井液驅動馬達轉子旋轉，進而把扭矩和轉速持續不斷地傳遞給鉆頭，再帶動鉆頭旋轉鉆進，從而實現安全、高效鉆井，縮短鉆井時間，降低鉆井綜合成本。特別是螺桿鉆具與PDC鉆頭配合使用時具有恒定的機械轉速，能保持鉆頭高效切削，可以降低扭轉振動、減小鉆頭黏滑卡阻，減緩PDC鉆頭復合片的崩片、磨損，從而提高破巖效率。螺桿鉆具的關鍵傳動結構-萬向軸的使用壽命對工具整體的使用壽命具有決定性影響。然而，現有撓性萬向軸由于長度大，不利于定向鉆井作業，不適用水平井和大位移井[5]；瓣式萬向軸在傳遞運動過程中，瓣齒之間會產生滑動摩擦，運動副的磨損也比較嚴重[6-7]；球形萬向軸為了增加耐磨性，則需要對運動副外表面做特殊強化處理，并且對密封性能的要求較高[8-10]。雖然現有非密封式十字萬向軸既避免了密封失效帶來的不利影響，同時又具有球形萬向軸靈活運動的優勢特點。但是，目前對于該結構所產生的運動磨損機理研究較少。為此，筆者結合十字萬向軸的運動特點與實際工況條件，開展了多體動力學仿真分析，以探究十字萬向軸共軛運動副嚙合面的運動規律以及磨損機理。

1 多體動力學仿真分析

1.1 結構及工作原理

十字萬向軸結構如圖1所示。十字萬向軸主要包括上接頭、中間軸、下接頭、球座與鎖緊軸。萬向軸的上接頭與馬達轉子通過螺紋連接，下接頭與傳動軸總成同心連接。轉子偏心旋轉運動的轉速和輸入扭矩經過上接頭與中間軸以及中間軸與下接頭之間形成的共軛運動副傳遞后，偏心旋轉運動轉變為下接頭的定軸旋轉運動。共軛運動副實現運動的傳遞，一方面主要是通過鎖緊軸的球頭與球座之間同球心配合來實現 “十字”運動，另一方面則通過上接頭與中間軸以及中間軸與下接頭之間形成的嚙合面進行扭矩和轉速的傳遞。

圖1 十字萬向軸結構Fig.1 General structure of the cross cardan shaft

1.2 數學模型

十字萬向軸在運動過程中，上接頭承受載荷后產生一定的轉速，并利用共軛接觸區將扭矩傳遞給中間軸和下接頭，從而實現力和運動的傳遞。假設萬向軸各部件為剛體，因此其運動過程可以用多剛體運動學進行描述。

多體動力學的控制方程建模包括相對坐標的拉格朗日法和絕對坐標的笛卡爾法[11-13]。本文使用笛卡爾法建立動力學控制方程，該建模方法雖然方程數量大，但是其系數矩陣稀疏，建模更簡單且其雅克比矩陣具有線性特征，因此計算效率更高[14-15]。動力學控制方程為：

(1)

式中：m為機械系統慣性矩陣；n為外力向量；L為位置坐標陣；Θq為約束方程的雅克比矩陣；λ為拉格朗日乘子；q為系統位置向量；t為時間。

對笛卡爾法建模所得動力學控制方程，可以根據拉格朗日乘子與位置坐標矩陣的處理差異[16]，將式(1)轉化為：

(2)

基于式(2)對t求導，可以得到：

(3)

給定初始條件：

(4)

對控制方程進行求解。

多體動力學中的碰撞可以視為變結構的動力學問題，與系統發生碰撞前進行對比，可知十字萬向節的碰撞接觸模型應為接觸變形模型[17-18]。該模型以精確的剛體碰撞過程為基礎，通過計入接觸面的彈性和阻尼，實現對運動過程的描述，并進一步建立力和接觸變形之間的本構關系。由于非線性等效彈簧阻尼模型可以更真實地反應運動規律，更準確地計算接觸碰撞過程中的實際能量損耗，所以選擇該模型進行計算。其中，該模型的廣義表達式為：

(5)

在運動過程中，由于需要考慮動摩擦因數和靜摩擦因數，所以對式(5)進行整理，可以得到由法向碰撞和摩擦力構成的總的接觸力為：

(6)

式中：FN為法向碰撞力，N；Ff為摩擦力，N；C(δ)為考慮動靜摩擦的綜合摩擦因數。

1.3 物理模型

在鉆井過程中，十字萬向軸上接頭與馬達轉子同軸線安裝且做偏心旋轉運動，并承受轉子的軸向載荷和扭矩。為了更好地模擬十字萬向軸在井下的實際工況條件，應設定公轉盤和底座相關參數。其中公轉盤的內腔與外輪廓之間的偏心距設定為9 mm，上接頭與內腔同軸心安裝，使得上接頭可以保持定速偏心旋轉運動，下接頭與底座同軸心安裝且為定軸旋轉，底座保持固定。十字萬向軸多體動力學仿真物理模型如圖2所示。

圖2 十字萬向軸多體動力學仿真物理模型Fig.2 Multi-body dynamics simulation physical model of the cross cardan shaft

設置材料為42CrMo，彈性模量為210 GPa，泊松比為0.33，密度為7 880 kg/m3，抗拉強度1 080 MPa，屈服強度為930 MPa，公轉盤的轉速為100 r/min，上接頭輸入扭矩為20 kN·m，軸向力為10 kN。中間軸與上、下接頭之間的接觸關系采用精確接觸，精度為0.001，3D接觸分辨率設置為最高。設置每秒幀數為100，雅克比驗算調整為最高等級。

由于WSTIFF積分器為變量階序、變量步長大小的剛性積分器，當存在不連續力、不連續運動或者具有3D接觸時，該算法中所使用的系數可以隨步長做動態調整，從而可以在保證計算速度的條件下，提升仿真計算的精度。對應的求解流程如圖3所示。

圖3 十字萬向軸多體動力學模型求解流程Fig.3 Solution process of the multi-body dynamics model of the cross cardan shaft

2 嚙合面磨損機理分析

2.1 仿真結果

對動力學模型進行求解，得到結果如圖4和圖5所示。從圖4a和圖4b中可知，上接頭與中間軸的運動接觸主要包括2個階段。在運動接觸的第1階段，接觸力和摩擦力出現突然增大或減小的無規則分布狀態，總體為增加的趨勢；當進入運動接觸的第2階段，此時接觸力與摩擦力先減小，然后增大，并且呈現周期性變化規律。

圖4 十字萬向軸的中間軸與上接頭的嚙合面接觸力、摩擦力與相對位置分析Fig.4 Contact force，friction and relative position of the mating surfaces between the intermediate shaft and the upper joint of the cross cardan shaft

圖5 十字萬向軸的中間軸與下接頭的嚙合面接觸力、摩擦力與位置分析Fig.5 Contact force，friction and position of the mating surfaces between the intermediate shaft and the lower joint of the cross cardan shaft

將求解所得的同一時間條件下的接觸力和摩擦力(見圖4a和圖4b)與對應該時刻的運動位置(見圖4c)進行同步對比分析可知：圖4a中的第1階段與圖4c左圖對應，此時上接頭在扭矩作用下且以一定的轉速對中間軸的嚙合面產生法向碰撞，此時運動嚙合狀態不穩定，會在2個嚙合面之間產生碰撞、滑動等運動，隨著接觸面積逐漸增大，接觸力也逐漸增加。第2階段與圖4c右圖對應，此時上接頭相對于中間軸沿著嚙合面的切向(與旋轉方向相同)方向擺動，所以2個嚙合面之間出現一定的夾角，隨著接觸面積逐漸減小，兩者之間的接觸力和摩擦力逐漸減小；當上接頭向該運動方向的反方向擺動時，則嚙合接觸面積逐漸增大，此時接觸力和摩擦力又開始逐漸增加；隨著運動繼續傳遞，兩者的嚙合達到穩定狀態?？傊?，接觸力和摩擦力最終呈現周期性波動規律(見圖4a和圖4b)，2個嚙合面之間呈現較小區域的滑動摩擦運動狀態。

中間軸與下接頭之間的運動接觸過程包括4個階段(見圖5a)。在運動接觸的第1階段，接觸力和摩擦力出現突然增大或減小的無規則分布狀態，但是總體呈現逐漸增大的趨勢；當進入運動的第2階段時，接觸力和摩擦力又由峰值呈現逐漸減小的趨勢；當運動到第3、4階段時，接觸狀態達到相對穩定，接觸力和摩擦力總體呈現先增大又減小的周期性波動規律。

同理，將求解所得的同一時間條件下的接觸力和摩擦力(見圖5a和圖5b)與對應時間的運動狀態(見圖5c)進行同步對比分析可知：圖5a和圖5b中的第1～4階段接觸力與摩擦力的變化與同時刻條件下的圖5c中從左至右呈現的運動位置對應。在第1階段，上接頭在扭矩作用下且以一定的轉速對中間軸的嚙合面產生法向碰撞，隨著接觸面積逐漸增大，接觸力和摩擦力也逐漸增加；第2階段，中間軸沿著與下接頭嚙合面的切向方向擺動，此時2個嚙合面之間呈現滑動摩擦的運動狀態且接觸面積逐漸減小，導致接觸力與摩擦力逐漸減小。當運動到極限位置時，接觸力和摩擦力都減小到極小值，所以該階段為過渡階段；第3階段，當中間軸從極限位置向該運動方向的反方向擺動時，則嚙合接觸面積逐漸增大，此時接觸力和摩擦力又開始逐漸增大；在第4階段，接觸力和摩擦力又隨著接觸面積減小而逐漸減小。隨著運動繼續傳遞，兩者的嚙合狀態達到穩定狀態，中間軸與下接頭保持第3、4階段所示的周期性滑動摩擦運動。

2.2 現場試驗結果

為了進一步研究十字萬向軸在井下實際工況條件下的磨損情況，將其與?244 mm螺桿鉆具在焦頁165-1HF井中進行現場試驗。工況參數：排量為65～70 L/s，泵壓為15～18 MPa，轉速為50～60 r/min。

圖6為不同地層段鉆壓和扭矩變化情況：第一趟鉆位于嘉陵江組-龍潭組，機械鉆速為14.36 m/h，實際鉆進深度為75 m，有效使用時間為82 h；第二趟鉆位于龍潭組-茅口組，實際鉆進深度為197 m，機械鉆速為8.3 m/h，有效使用時間為31 h。

圖6 焦頁165-1 HF井每米鉆時及鉆壓、扭矩曲線Fig.6 Curves of drilling time，WOB and torque for Well Jiaoye 165-1 HF

3 結果對比分析

中間軸與下接頭仿真計算結果與現場測試結果對比如圖7所示。圖7a和圖7b為為十字萬向軸中間軸與下接頭的現場測試結果，嚙合面出現嚴重磨損的部位位于區域1和區域2，沿著區域1的切線方向，內側磨損量大，外側磨損量小；沿著區域2的軸向方向，外側磨損量大，內側磨損量小。圖7c為中間軸與下接頭的接觸力仿真結果，當運動時刻位于圖7a位置時，嚙合面接觸力達到波峰值，嚙合面端面的接觸區正好為區域1；當運動到圖7b位置時，此時接觸力為波谷值，嚙合面側面接觸區為區域2。當十字萬向軸在傳遞扭矩和轉速時，區域1和區域2之間的嚙合面出現周期性往復摩擦運動，接觸力和摩擦力為周期性波動，所以接觸區域產生周期性磨損，最終導致在嚙合面端面內側磨損多，外側磨損少，在嚙合面側面形成內側磨損少，外側磨損多的形態特征。

圖7 中間軸與下接頭仿真計算結果與現場測試結果對比Fig.7 Simulation results and field test results of the intermediate shaft and the lower joint

4 結 論

本文依據多體動力學和接觸變形理論，結合十字萬向軸的運動特點與載荷條件，通過建立多體動力學仿真模型對嚙合面的運動規律、接觸力、摩擦力以及磨損機理進行了研究，并將計算結果和現場試驗結果進行了對比分析，得到如下結論。

(1)十字萬向軸在傳遞扭矩和轉速時，2個嚙合面之間會首先產生法向碰撞后達到相對穩定的嚙合狀態，再沿著軸向與切向的合成方向形成周期性往復滑動摩擦，最終導致其端面(內側)與側面(外側)出現嚴重磨損。

(2)當嚙合面產生碰撞時，由于嚙合狀態不穩定，接觸力與摩擦力呈現無規律分布狀態；當達到相對穩定的嚙合狀態后，接觸力與摩擦力出現峰值，然后呈現先減小后增大的周期性變化規律。

(3)明確了十字萬向軸共軛運動副嚙合面的運動規律和產生運動磨損的機理，可以為嚙合面耐磨性結構優化設計提供理論參考。