巧妙設計，以作業助推數學課堂教學

吳 君

布置作業是課堂教學的重要環節，而在傳統的課堂教學中，教師通常依托當天所學的數學知識布置作業，用數量追求質量。這種情況下，作業多而雜，目的性不強，并且教師不能對題目進行一一評講，學生的疑惑得不到及時的回應。長此以往，學生會把作業當成一種負擔，敷衍了事，作業效果大打折扣。

如何在減輕學生課業負擔的前提下，提升課堂效率，完善作業效果，實現“提質減負”學數學，是值得一線教學工作者思考的問題。筆者認為，作業不僅是課堂的延伸和補充，它還可以用來檢驗和鞏固課堂教學效果。通過巧妙的設計實現作業和課堂教學的雙向互動，能夠讓作業成為課堂教學的重要資源，將原本枯燥的課后作業轉變為學生探究、創造的載體，讓學生帶著疑問聽課、帶著興趣做作業，最終促進課堂效率的提高。

一、課堂導入從作業中來

精彩的課堂教學離不開出色的課堂導入。數學知識之間密切相關，環環相扣，上節課的知識為下節課打基礎，今天的作業同樣可以為明天的課堂教學服務。因此，教師可以巧妙設計作業，為第二天的課堂創設問題情境，以調動學生學習的積極性，提高課堂效率。

案例1：學習完蘇科版數學九年級下冊“利用三邊、兩邊及夾角判定兩個三角形相似”后，教師可以這樣設計作業。

1.根據下列條件，判斷△ABC和△A′B′C′是否相似，并說明理由。

（1）∠A=40°、AB=8cm、AC=15cm，∠A′=40°、A′B′=16cm、A′C′=30cm；

（2）AB=10cm、BC=8cm、AC=16cm，A′B′ =16cm、B′C′=12.8cm、A′C′=25.6cm。

2.圖1和圖2中的兩個三角形是否相似？

（圖1）

（圖2）

3.（試一試）如圖3，弦AB和CD相交于⊙O內一點P，求證：△ACP∽△DBP。

（圖3）

以上前兩題來于教材，目的是讓學生復習鞏固三邊、兩邊及夾角兩種判定三角形相似的方法。學生在嘗試做第3 題時，發現這兩種方法都沒辦法解決問題，必引起思考：判定三角形相似必然有第三種方法。這樣，學生對第三種方法的期待助推了下節課教師的成功引入。

上述案例中，用舊知識沒辦法解決新問題，激發了學生的求知欲，帶著這種求知欲學生更容易接受新知識。在課堂引入中利用學生對新知識充滿期待的這種心理，教師即可“引爆”潛伏在作業中的疑問，順理成章地帶著學生進入新課學習。

二、課堂示范從作業中來

課堂示范教學環節是課堂重點知識、主要思想方法的展示窗口，是提高學生分析問題和解決問題能力的重要環節。好的示范離不開好的例題，卓有成效的例題教學，不僅能使學生熟悉數學基本知識在解決問題中的應用，反過來也會加深其對基本知識的領會和理解，更好地掌握解題技能。因此，如何進行例題教學是一個值得教師思考的課題。按照建構主義理論，所有知識要經“同化”和“順應”，反復出現會讓學生印象更加深刻，學生構建起來的知識體系更加牢固、深化。基于這一理論，教師選取的課堂例題完全可以來源于前一天的作業。

案例2：學習完蘇科版數學七年級下冊“平行線的判定”后，教師可設計以下作業。

1.如圖4，CE分別交AB、CD于點A、C，且∠BAE=∠DCE，AF、CG分別平分∠BAE、∠DCE，求證：AF//CG。

2.如圖5，EF分別交AB、CD于點E、F，且∠AEF=∠EFD，EG、FH分別平分∠AEF、∠EFD，求證：EG//FH。

3.如圖6，EF分別交AB、CD于點E、F，EG、FG分別平分∠BEF、∠EFD，且EG⊥FG，求證：AB//CD。

（圖4）

（圖5）

（圖6）

這三道作業題分別用同位角、內錯角和同旁內角證明平行線，這樣設計既可以讓學生復習平行線的三種判定方法，又可以為學習平行線的性質做好鋪墊，只要將題目稍改動即可成為三道平行線性質的典型例題，改動如下。

題1：如圖4，CE分別交AB、CD于點A、C，AF、CG分別平分∠BAE、∠DCE，且AF//CG，求證：AB//CD。

題2：如圖5，EF分別交AB、CD于點E、F，EG、FH分別平分∠AEF、∠EFD，且EG//FH，求證：AB//CD。

題3：如圖6，AB//CD，EG、FG分別平分∠BEF、∠EFD，求證：EG⊥FG。

這三道例題源于作業，從平行線的三種判定方法到平行線的三種對應性質，過渡自然，圖形熟悉，學生興致高，既能熟練掌握平行線的三種性質，又能體會平行線的判定和性質之間的聯系和區別，這種課與課之間、新舊知識之間相關聯的學習比孤立學習更能取得長期的效果。

教育心理學認為，學習的過程就是知識遷移的過程，而遷移又是課堂深度學習發生的重要表現形式。課堂例題從作業中來，讓學生掌握新知識的同時，又能體會新舊知識間的聯系，同時對舊知識的掌握也具有促進作用，使“順向遷移”和“逆向遷移”都是正遷移。

三、課堂變式從作業中來

變式教學就是對教學中的定理、方法進行不同角度、不同情形、不同背景的變式，以暴露問題的本質，揭示知識之間的內在聯系，使學生能觸類旁通、舉一反三。變式教學使一題多解或一解多題，這樣的教學常常讓學生茅塞頓開，給學生以新鮮感，激發學生積極思考的動力，收到較好的教學效果。變式教學已成為提高數學教學質量的一種重要手段，但變式練習的來源是值得教師深思熟慮的問題。其實，學生的作業就是課堂變式教學的重要來源，筆者認為，比起其他課堂練習而言，作業是學生經過較長時間思考的，在作業的基礎上進行變式，學生更感興趣，也更容易掌握。

案例3：學習完蘇科版數學七年級上冊“一元一次方程的應用——增長率問題”之后，教師可設計以下作業，鞏固當天學習內容的同時，也為下節課學習“一元一次方程的應用——面積問題”埋下伏筆，具體內容如下。

1.青山村種的水稻2021 年平均每公頃產7200kg，2023 年平均每公頃產8450kg，求水稻每公頃產量的年平均增長率。

2.一個長方形的長和寬相差3cm，面積是4cm2，求這個長方形的長和寬。

3.用長40m 的籬笆圍成一個矩形的養雞場，如圖7 所示，如何圍才能使養雞場的面積為75m2？

課堂上學習“一元一次方程的應用——面積問題”時，教師可進行以下變式。

變式1：用長40m 的籬笆靠墻（墻長20m）圍成一個矩形的養雞場，如圖8，如何圍才能使養雞場的面積為150m2？

（圖7）

（圖8）

變式2：用長40m 的籬笆靠墻（墻長20m）圍成一個“日”字形的養雞場，如圖9，如何圍才能使養雞場的面積為100m2？

變式3：用長40m 的籬笆靠墻（墻長20m）圍成一個“日”字形的養雞場，其中邊BC上有兩扇寬分別為1m 的門（門不用籬笆做），如圖10，如何圍才能使養雞場的面積為135m2？

（圖9）

（圖10）

案例3 的變式題組是通過養雞場形狀的變化帶出一系列題目，通過圖形的變化將一類題串在一起，尋找規律，訓練同類方法，從而激活課堂教學，拓展學生的解題思路，培養學生思維的靈活性和深刻性，讓學生體會邊長表示方法的相應變化。圖形變化的層次性及巧妙性挑起了學生的求知欲和興趣，學生產生“窮追不舍”的心理，有這種心理的支撐，必然能取得較好的教學效果。巧妙地設計作業，并以作業題為中心，恰當合理地進行變式作為課堂練習，便可以做到以一道題帶出一類題，擴大練習的輻射面。

四、作業從課堂小結中來

在日常聽課中，筆者常常會見到這樣的情況：教師的導入扣人心弦，合作學習熱烈有序，問題探究深入淺出，而最后卻因為時間的關系草草收場，或是來不及進行課堂小結，或是由教師的幾句話一帶而過，或是讓學生說一說“這節課你學會了什么？有什么新的收獲？還有什么問題？”等套話。這樣的課堂小結千篇一律，流于形式，學生真正掌握了多少是一個疑問，沒有真正起到課堂小結的作用。其實，在課堂小結中，讓學生設計作業就是一種行之有效的方法。

案例4：在學習蘇科版數學八年級上冊“一次函數的圖象和性質”這節課時，學生對一次函數的圖象和性質已有一定的認識。在課堂結束前，教師如果簡單機械地把一次函數的性質重復一遍，則絲毫看不出學生的掌握程度，這些知識點往往就板書在黑板上，學生照搬照讀即可，這種方式呆板乏味，調動不起學生的積極性。其實不妨還課堂小結給學生，讓學生利用剛學的知識設計作業，并給出答案，教師選擇質量高的作為當天的作業，學生一定會興趣高漲。在設計作業的過程中，學生必然會把課堂知識、方法快速復習一遍，這樣課堂小結的目的就達到了。以下是學生設計的作業部分摘錄。

（1）直線y=-5x向上平移2 個單位得到直線______。

（2）一次函數y=2x-1 不經過第______象限，函數值y隨x的增大而______。

（3）已知點（x1，y1）和（x2，y2）是直線上的兩點，且x1＞x2，則y1與y2的大小關系是______。

（4）畫出一次函數y=2x-4 的圖象，并求它與兩坐標軸所圍成的三角形的面積。

（5）已知點（a，b）在第三象限，則一次函數y=ax+b的圖象不經過第______象限。

（6）已知一次函數y=（6-2m）x+m-1，

①若此一次函數的圖象經過原點，求m的值；

②若y隨x的增大而增大，求m的取值范圍；

③若此一次函數的圖象經過第一、二、四象限，求m的取值范圍。

學生設計出作業（1）說明已掌握了一次函數截距的內涵；設計出作業（3）說明理解了一次函數的性質，已經能利用性質解決抽象問題；設計出作業（2）（5）可看出學生對一次函數“y=kx+b”中“k”“b”的性質已掌握牢固，能通過畫示意圖快速解決象限、增減性等問題；設計出作業（6）并給出答案就不用擔心學生這節課沒學好了。

課堂小結是數學課堂教學的一個重要的組成部分。通過設計作業進行課堂小結能充分調動學生的積極性，實現“我的作業我做主”，讓自己設計的作業成為全班的作業就成為學生一節課學習的目的，圍繞這一個目的，學生課堂上必定全神貫注，這樣又能促進課堂其他環節的學習，真正做到“我的課堂我做主”。

隨著新課標的頒布與深入實施，課堂的教學觀念、教學方式都有了質的變化，教師在重視課堂教學有效性的同時，更應當思考如何打通課堂與作業之間的聯系，讓作業真正服務于學生成長，在實現作業“減量增質”的同時促進課堂效果的提升，更好地落實“雙減”政策。