借助問題鏈設(shè)計(jì)，發(fā)展“后建構(gòu)”推理

王琳 薛鶯

一、教學(xué)目標(biāo)

對(duì)“圓”整個(gè)單元知識(shí)進(jìn)行歸納，使學(xué)生在活動(dòng)中形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，通過練習(xí)，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，同時(shí)滲透分類討論、數(shù)形結(jié)合思想；使學(xué)生在課堂活動(dòng)中，勇于探索圖形間的相互關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力。

二、教學(xué)重難點(diǎn)

理解圓及其有關(guān)概念、性質(zhì)定理、判定定理；運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問題；滲透數(shù)形結(jié)合、分類討論思想。

三、教學(xué)片段

1.選好切入點(diǎn)

本節(jié)課以教材中本章開頭引用的“一中同長(zhǎng)”為切入點(diǎn)，復(fù)習(xí)圓的概念。

師：什么是圓？確定一個(gè)圓需要幾個(gè)條件？

生1：圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合。

生2：確定一個(gè)圓需要兩個(gè)條件——圓心和半徑。

師：平面內(nèi)的點(diǎn)和圓有幾種位置關(guān)系？（由此引出“點(diǎn)與圓的位置關(guān)系”。）

生3：有三種位置關(guān)系。當(dāng)點(diǎn)到圓心的距離等于半徑，則點(diǎn)在圓上；當(dāng)點(diǎn)到圓心的距離小于半徑，則點(diǎn)在圓內(nèi)；當(dāng)點(diǎn)到圓心的距離大于半徑，則點(diǎn)在圓外。

探究1：圓內(nèi)一點(diǎn)P到圓上哪個(gè)點(diǎn)距離最小？到哪個(gè)點(diǎn)距離最大？

（學(xué)生直觀感知這兩個(gè)點(diǎn)都在過點(diǎn)P的直徑上。）

探究2：如果點(diǎn)P在圓外呢？

（學(xué)生發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)點(diǎn)仍舊在此直徑上。）

設(shè)計(jì)意圖：選擇合適的知識(shí)點(diǎn)作為切入點(diǎn)。一是注重基礎(chǔ)性，即低起點(diǎn)，課堂剛開始能讓更多的學(xué)生積極參與；二是注重生長(zhǎng)性，即高落點(diǎn)，學(xué)生以此知識(shí)點(diǎn)為起點(diǎn)，結(jié)合已有的基礎(chǔ)和經(jīng)驗(yàn)，在解決問題過程中能夠不斷生長(zhǎng)出其他數(shù)學(xué)知識(shí)。相比新課的教學(xué)，復(fù)習(xí)課不僅要注重知識(shí)的鞏固，還需關(guān)注能力的提升。

2.排好“明暗線”

（1）請(qǐng)學(xué)生動(dòng)手操作探究，嘗試畫出過圓內(nèi)一點(diǎn)的最長(zhǎng)弦與最短弦。此為“明線”，目的是復(fù)習(xí)圓的垂徑定理及有關(guān)圓的一些計(jì)算。

師：過圓內(nèi)的一點(diǎn)P可以畫多少條弦？

生（齊）：無數(shù)條。

師：這無數(shù)條弦中，有最長(zhǎng)的嗎？有最短的嗎？

生（齊）：最長(zhǎng)的弦是過點(diǎn)P的一條直徑。

學(xué)生分小組討論最短的弦是否存在？若存在，如何畫？

學(xué)生經(jīng)討論發(fā)現(xiàn)：最短弦是與過點(diǎn)P的直徑垂直的弦。

設(shè)計(jì)意圖：過圓內(nèi)一點(diǎn)P，畫最長(zhǎng)弦與最短弦，構(gòu)建垂徑定理的基本圖形，然后設(shè)計(jì)圓這一章的計(jì)算類問題。筆者安排了這樣一條“明線”，試圖讓這個(gè)知識(shí)點(diǎn)生長(zhǎng)蔓延，串聯(lián)起章節(jié)中的其他知識(shí)點(diǎn)，以便于學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)體系。

（2）請(qǐng)學(xué)生細(xì)致觀察探究，尋找圖中相等的角。此為“暗線”，目的是復(fù)習(xí)圓周角定理及結(jié)合相似三角形的知識(shí)進(jìn)行綜合應(yīng)用。

例1 在圖1中的[BC]上取一點(diǎn)E，使 [CE]=[AC]，AB⊥CD，連接AE，分別交CD、CB于點(diǎn)F、G。連接AC。

師：由垂徑定理，可以得到相等的弧，再結(jié)合圓周角定理，由相等的弧可以得到相等的角。此圖中你能找出哪些角相等嗎？

小組討論，教師板書，學(xué)生得出結(jié)論：

[CE]=[AC]=[AD]→∠CAE=∠B=∠ACD；

[CB]=[BD]→∠CAB=∠BCD；

AB為直徑→∠ACB=90°=∠APC=∠BPC；

對(duì)頂角相等→∠AFP=∠CFG，∠CGF=∠BGE。

師：通過你所找到的相等的角，能試著說明F為AG的中點(diǎn)嗎？

生4：可以。因?yàn)椤螦CD=∠CAE，所以FA=FC；因?yàn)椤螦CB=90°，所以∠ACD+∠FCG=∠CAE+∠CGF=90°，所以∠FCG=∠FGC，所以FC=FG。又因?yàn)镕A=FC，所以FA=FG，即F為AG的中點(diǎn)。

師：這位同學(xué)結(jié)合“等角對(duì)等邊”“等角的余角相等”的知識(shí)，證明了F為AG的中點(diǎn)。

師：若已知AC=6，BC=8，你能計(jì)算出圖中哪些線段的長(zhǎng)？

小組進(jìn)行討論，教師板書、總結(jié)。

師：通過相似、勾股定理等知識(shí)的綜合運(yùn)用，同學(xué)們求出了此圖中的每條線段的長(zhǎng)。

設(shè)計(jì)意圖：由尋找圖中相等的角這條“暗線”，圍繞知識(shí)要點(diǎn)，讓學(xué)生發(fā)散思維。再用知識(shí)點(diǎn)編題，設(shè)置開放性問題，讓學(xué)生說緣由，談解法，在探究的過程中逐步形成知識(shí)“明線”。

3.拓展知識(shí)面

例2 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是（2，0）、（12，0）。

（1）若點(diǎn)P在y軸上，且∠APB=45°，滿足條件的點(diǎn)P有幾個(gè)？試求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。

（2）若點(diǎn)Q在y軸上移動(dòng)，當(dāng)∠AQB最大時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)。

師：題目難度有點(diǎn)大，同學(xué)們能否在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)先找一個(gè)點(diǎn)M，滿足∠AMB=45°？

生5：可以作一個(gè)以AB為腰的等腰直角三角形ABM，這樣就可以構(gòu)造出一個(gè)45°角了。

師：此時(shí)的點(diǎn)M并不在y軸上，怎么辦？

生6：可以作△ABM的外接圓， [AB]所對(duì)的圓周角都能滿足45°的條件，所以只要作△ABM的外接圓，優(yōu)弧[AMB]與y軸的交點(diǎn)即為我們所尋找的點(diǎn)P。

師：滿足條件的點(diǎn)P有幾個(gè)？

生7：優(yōu)弧[AMB]與y軸有2個(gè)交點(diǎn)，所以這樣的點(diǎn)P有2個(gè)。

生8：不對(duì)，由對(duì)稱性可知，可以在y軸的正負(fù)半軸上各找到2個(gè)，所以滿足條件的點(diǎn)P有4個(gè)。

師：該同學(xué)考慮問題很全面！請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合數(shù)據(jù)，課后求一下點(diǎn)P的坐標(biāo)。同學(xué)們利用圓周角的性質(zhì)，構(gòu)造圓，來解決“定邊對(duì)定角”問題，那么，同學(xué)們能不能再嘗試?yán)谩巴∷鶎?duì)的圓內(nèi)角、圓周角、圓外角”之間的大小關(guān)系，來解決第（2）小題呢？

生：……

設(shè)計(jì)意圖：通過前面的復(fù)習(xí)鋪墊，題目的難度逐步加大，學(xué)生無法清楚地表達(dá)思路，需要教師給予適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥、啟示。最后，以構(gòu)造圓的問題結(jié)束課堂，大大提高了學(xué)生的逆向思維能力。圓不僅可以作為題目的背景，也可以成為我們解決其他數(shù)學(xué)問題的工具。同時(shí)（2）又在（1）的基礎(chǔ)上增加了角的最值問題，拓展了學(xué)生的知識(shí)面，提升了學(xué)生的思維維度，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)之間是處處關(guān)聯(lián)的。

四、教學(xué)反思

1. 連點(diǎn)成線，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

本節(jié)復(fù)習(xí)課采用2道例題題組，將圓中的相關(guān)知識(shí)容納其中，既幫助學(xué)生復(fù)習(xí)了圓中的基本概念和基本技能，又幫助學(xué)生理清了分散的知識(shí)是如何相互關(guān)聯(lián)的。這種關(guān)聯(lián)的建立有助于學(xué)生在解決復(fù)雜問題時(shí)能夠高效且快速地提取到所需要的信息組，并在已有信息的基礎(chǔ)上開拓出一些創(chuàng)造性的思路。

2. 設(shè)問開放，培養(yǎng)發(fā)散思維

例1屬于開放題，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生已有的知識(shí)儲(chǔ)備。在由淺入深的解決問題的過程中，在相互討論的過程中，學(xué)生吸取思維碰撞中產(chǎn)生出的思維火花，從而生成對(duì)已有知識(shí)新的理解，建立知識(shí)之間更緊密的聯(lián)系，使得思維向著更高階的方向發(fā)展。

3. 變式練習(xí)，破解思維定式

通過一題多變，即數(shù)學(xué)上的變式教學(xué)來幫助學(xué)生理清基本概念。學(xué)生對(duì)基本知識(shí)和技能理解和掌握后，教師再有目的和計(jì)劃地改變題目的非本質(zhì)特征，在“以不變應(yīng)萬變”中，提高課堂的教學(xué)效率，培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)。這里的不變指的是基于教材的基本概念、定理和公式。

（作者單位：1.江蘇省無錫市東林中學(xué)；2.江蘇省無錫市東絳實(shí)驗(yàn)學(xué)校）

本文系江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃重點(diǎn)課題“指向初中生代數(shù)推理能力發(fā)展的問題鏈設(shè)計(jì)研究”（課題編號(hào)：C-b/2021/02/01）；江蘇省現(xiàn)代教育技術(shù)研究2022年立項(xiàng)課題“信息技術(shù)背景下的初中后建構(gòu)課堂教學(xué)策略研究”（課題編號(hào)：2022-R-100847）階段性研究成果。