繩驅動并聯吊裝機器人繩索張力優化

劉將, 王生海, 李建, 何云鵬, 孫玉清, 陳海泉

(大連海事大學輪機工程學院, 大連 116026)

20世紀80年代,繩驅動并聯機器人問世,近幾十年國內外學者不斷對其研究,與傳統的并聯機器人相比,其具有質量輕、易重構等諸多優點[1-2]。目前繩驅動并聯機器人廣泛應用于天文觀測[3]、康復訓練[4]、風洞實驗[5]等諸多領域。起重機作為吊裝領域的重要設備,但其重量較大,載荷復雜[6-7]。將繩驅動并聯機器人用于吊裝領域,吊裝機器人與起重機相比,具有布置靈活,工作空間大等優點。20世紀80年代末,美國國家標準與技術研究院(National Institute of Standards and Technology,NIST)研制了RoboCrane起重機器人,并進行了吊裝、噴涂、搭建等作業;美國August Design公司研制了SkyCam攝像機器人,它的最高速度高達13 m/s,廣泛用于高速攝影。由于繩索具有單向受力的特性,吊裝機器人必須采用冗余驅動[8-9]。對于冗余約束繩驅動并聯機器人,繩索張力不唯一[10]。

為了吊裝機器人的安全平穩運行,優化后的繩索張力需光滑連續變化。Li等[11]采用二次規劃方法求解不完全約束繩驅動并聯機器人的繩索張力。劉嘉韌[12]提出采用力優化迭代算法求解繩索張力,該算法可在一定程度上改善系統剛度,但是迭代次數過多會影響系統性能。何俊波[13]將最小p范數法作為優化目標,求解出繩索張力優化解,但當p值過大時,張力求解算法無法正常使用。現提出改進二次規劃方法,分別運用張緊力方法、非線性規劃方法和改進二次規劃方法求解繩索張力優化解,根據仿真結果確定出最佳的張力優化算法。

關于工作空間的求解,國外研究學者分別提出半代數集合法和空間幾何法,用于判斷力封閉性,但上述方法計算復雜。為此,通過最佳的張力優化算法求出吊裝機器人的繩索張力優化解,在此基礎上判斷是否滿足張力限制條件和秩判斷條件,進而得到吊裝機器人的力可達工作空間。

改進一種繩驅動并聯機器人,并將其應用于吊裝領域,該吊裝機器人由八根繩索驅動,在滿足其布線特點下,能避免繩索間的干涉,且能實現空間三自由度平動。針對該吊裝機器人而言,繩索數遠大于自由度數,該構型屬于冗余約束類型。

1 機器人模型

為開展吊裝作業,吊裝機器人在工作空間內不能有奇異位形,否則奇異位形會影響機器人的工作空間。針對這一問題,采用冗余驅動的方式,不僅能避免吊裝機器人出現奇異位形,還能保障吊裝作業的安全性。然而,冗余驅動也會引入新問題,由于繩索數量的增多,容易導致繩索的互相干涉。

針對冗余驅動可能引入的問題,可通過恰當地布置繩索位置予以避免。如圖1所示為繩驅動并聯吊裝機器人的模型圖,該機器人繩索布置特點如下:八根繩索分為四組,同一組的兩根繩索平行,組內兩根繩索出繩點間的距離等于與動平臺鉸接點間的距離。吊裝機器人在滿足該繩索布置特點時,能在運動過程中避免繩索間的干涉;由于組內兩根繩索的長度變化相同,兩根繩索可由同一驅動裝置來驅動,從而減少了驅動裝置的數量。

圖1 吊裝機器人的模型圖Fig.1 Model diagram of hoisting robot

1.1 運動學模型

如圖2所示為吊裝機器人的運動學圖解,圖3為運動學圖解的俯視圖。點C11、C12、C21、C22、C31、C32、C41、C42為吊裝機器人的八個出繩點,點P11、P12、P21、P22、P31、P32、P41、P42為繩索與動平臺的鉸接點。固定框架長:D2D3=1.2 m,寬:D2D1=1 m,高為1 m。動平臺的上頂面為邊長0.2 m的正方形,動平臺高0.05 m,八根繩索P11C11、P12C12、P21C21、P22C22、P31C31、P32C32、P41C41、P42C42由電機通過卷筒牽引。

圖2 運動學圖解Fig.2 Kinematics illustration

圖3 俯視圖Fig.3 Top view

設固定坐標系{O}的原點O與點D2重合,各個坐標軸方向如圖2所示;局部坐標系{P}的原點與動平臺的質心P點重合,各個坐標軸方向如圖2、圖3所示。

1.1.1 虛擬繩索

1.1.2 運動學逆解

已知P點在{O}中的位置向量P=(x,y,z)T,求繩長Li(i=1,2,3,4),即為吊裝機器人的運動學逆解。

i=1,2,3,4

(1)

已知動平臺P點坐標時的繩索長度可由式(1)通過MATLAB進行計算,計算結果如表1所示, 這里的n表示第n次計算。

表1 運動學逆解仿真結果Table 1 Kinematic inverse solution simulation results

1.1.3 運動學正解

已知繩長Li(i=1,2,3,4),求P點在{O}中的位置向量P=(x,y,z)T,即為吊裝機器人的運動學正解。

(2)

(3)

(4)

通過式(3)-式(2),式(4)-式(2)進一步化簡

X21x+Y21y+Z21z=A21

(5)

X31x+Y31y+Z31z=A31

(6)

x=B0+B1z

(7)

y=B2+B3z

(8)

式(7)和式(8)中:B0=(A21Y31-A31Y21)/D,B1=(Y21Z31-Y31Z21)/D,B2=(A31X21-A21X31)/D,B3=(X31Z21-X21Z31)/D,D=X21Y31-Y21X31;將式(7)和式(8)代入式(2),得

Ez2+2Fz+G=0

(9)

(10)

根據框架的尺寸選取合適的z值,將其代入式(7)和式(8)進而求得x、y的值。

通過上述三球交點算法可以求出P點在{O1}中的位置向量P=(x,y,z)T,{O1}中的x對應{O}中的z,{O1}中的y對應{O}中的x,{O1}中的z對應{O}中的y,最終可得到P點在{O}中的位置向量P=(x,y,z)T。

已知三根繩長可由三球交點算法通過MATLAB計算動平臺P點的坐標,計算結果如表2所示,這里的n表示第n次計算,仿真結果驗證了所建立運動學模型的準確性。

表2 運動學正解仿真結果Table 2 Kinematics positive solution simulation results

1.2 動力學分析

動平臺P點所受的外力旋量W1=-[FRMR]T(其中FR、MR分別為外力和外力矩);張力大小為ti(i=1,2,…,m),張力矢量為ti,且ti=tiUi,Ui為單位向量,其方向與繩索張力方向相同。動平臺的靜力學平衡方程為

(11)

將式(11)整理成矩陣形式為

JT=W1

(12)

(13)

將式(13)寫成矩陣形式為

JT=W2

(14)

2 繩索拉力求解分析

2.1 張緊力方法

針對該吊裝機器人,繩索張力的求解為超靜定問題,故繩索張力解包括張力特解和張力通解,即

T=Ts+Th

(15)

式(15)中:Ts為張力特解,Ts=J+W2,其中J+是J的偽逆;Th為張力通解。

國外研究學者通過調節繩索張緊力,從而獲得優化的Th,優化的Th為

Th=(E-J+J)Tdes

(16)

式(16)中:Tdes為張緊力預設值,主要與張力上下限變化和工作空間性能要求有關;E為8階單位矩陣。

因此由式(15)可得

T=Ts+Th=J+W2+(E-J+J)Tdes

(17)

2.2 非線性規劃方法

(18)

2.3 改進二次規劃方法

對于繩驅動并聯吊裝機器人,繩索張力需要滿足動力學平衡方程,且在機器人運動過程中,每根繩索張力需介于下限和上限之間。因為冗余約束繩驅動并聯吊裝機器人要求動平臺平穩運動,所以當動平臺沿預設軌跡運動時,要求繩索張力值連續變化。基于力封閉的思想,通過引入一個調節力tf,改進傳統的二次規劃優化算法,該機器人的繩索張力求解為改進二次規劃問題,改進二次規劃的優化模型為

(19)

tf=k(tmin+tmax)

(20)

式(20)中:k為調節因子。

調節力tf的大小主要與張力下限、張力上限和調節因子有關。

改進二次規劃優化算法相比于傳統二次規劃優化算法,通過引入tf實現繩驅動并聯吊裝機器人在整個工作空間內,繩索張力優化解在張力上下限之間,確保了吊裝機器人的安全運行。

3 工作空間分析

針對繩驅動并聯吊裝機器人,當繩索張力滿足張力條件時,動平臺在系統框架中所能到達的區域,即為吊裝機器人的力可達工作空間。根據動平臺所受的靜力學平衡方程,以及繩索張力需介于下限和上限之間,此時繩索的張力條件描述為

JT=W1,Tmin≤T≤Tmax

(21)

對于該吊裝機器人,動平臺的某個位姿屬于力可達工作空間,還需滿足秩判斷條件,此時秩判斷條件描述為

rank(J)=n

(22)

式(22)中:rank(J)表示力雅可比矩陣J的秩。

綜上所述,求解吊裝機器人力可達工作空間的步驟如下。

(1)以一定的步長,將框架尺寸離散化,形成離散的位姿點。

(2)依次取每個位姿點的位置坐標,求出位姿點對應J的秩,再通過最佳張力優化算法求出繩索張力優化解,驗證是否同時滿足式(21)和式(22)。若同時滿足,則此位姿點屬于力可達工作空間;否則,舍棄此位姿點。

(3)計算完所有位姿點,得到所有滿足條件的位姿點構成的集合,即為所求的力可達工作空間。

4 仿真驗證

圖4為P點沿一條空間螺旋曲線的運動軌跡1。

圖4 空間螺旋曲線的軌跡圖Fig.4 Trajectory diagram of the space helical curve

圖4中P點的運動軌跡1滿足方程

(23)

圖5表示P點在{O}中的位置變化曲線,圖中以o標記的曲線表示P點沿軌跡1運動時P點到原點的距離隨時間的變化,另外三條曲線表示P點在三個坐標軸的位置隨時間的變化。

圖5 點P位置變化Fig.5 Change of the position of point P

圖6表示P點沿軌跡1運動時,四根繩索的長度隨時間的變化。由圖6可知,繩索長度的變化都是連續的,表明吊裝機器人可在工作中平穩運行。

圖6 各根繩索的長度變化Fig.6 Length variation of each cable

圖7表示P點沿軌跡1運動時,繩速隨時間的變化。由圖7可知,以第三根繩索為例,在0～0.6 s和2.2～4.1 s這兩個時間段內,繩速為正,對應的繩長增大;在0.6～2.2 s和4.1～6.2 s這兩個時間段內,繩速為負,對應的繩長減小。

圖7 各根繩索的繩速變化Fig.7 Cable speed change for each cable

為簡化分析和計算,可假設P點沿軌跡1運動時,動平臺只受重力及質心加速度這兩方面因素的影響,即W2只考慮重力G和Fe這兩項,動平臺質量m=1.5 kg,G=14.7 N,繩索的最小張力和最大張力分別為tmin=0.1 N,tmax=20 N。

分別用式(17)～式(19)所示的方法,通過MATLAB仿真,求得P點沿軌跡1運動時的繩索張力變化曲線,如圖8～圖10所示。

圖8 張緊力方法Fig.8 Tension force method

圖8為采用張緊力方法求解繩索張力,P點沿軌跡1運動,當動平臺運動到工作空間邊緣時,所求解出的部分張力值小于0,表明在動平臺運動過程中,繩索發生虛牽,對吊裝機器人的安全運行產生了影響。

圖9為采用非線性規劃方法求解繩索張力,張力曲線不光滑,在動平臺運動過程中,存在張力突變的現象,影響機器人的平穩運行。

圖9 非線性規劃方法Fig.9 Nonlinear programming method

圖10為采用改進二次規劃方法求解繩索張力,改進二次規劃方法則克服了前兩個優化算法的缺陷,它所求出的張力優化解始終處于0.1～20 N的可行張力值范圍內,繩索張力值隨時間連續變化,從而保證在動平臺運動過程中,不會出現繩索虛牽現象,且能實現繩索張力變化的連續性。

圖10 改進二次規劃方法Fig.10 Improved quadratic programming method

當吊裝機器人沿圓形軌跡運動時,圖11為P點的運動軌跡2。

圖11 圓形曲線的軌跡圖Fig.11 Trajectory diagram of a circular curve

圖11中P點的運動軌跡2滿足方程

(24)

當P點沿軌跡2運動時,通過繩索特解項求得未優化的繩索張力,如圖12所示。

圖12 未優化的繩索張力Fig.12 Unoptimized cable tension

在圖12中,當P點沿軌跡2運動時,存在部分張力值小于0的情況,不滿足繩索單向受力的條件,故需對繩索張力進行優化,采用改進二次規劃方法優化繩索張力,如圖13所示。

圖13 優化的繩索張力Fig.13 Optimized cable tension

由圖12～圖13可知,通過繩索張力優化前后的對比,改進二次規劃求得的繩索張力優化解介于張力上下限之間,張力優化解隨時間連續變化,實現了繩索張力變化的連續性,確保了吊裝機器人的安全平穩運行,驗證了改進二次規劃優化算法求解吊裝機器人繩索張力的合理性。

通過三種繩索張力優化算法的對比,改進二次規劃求解繩索張力的效果最佳,表明改進二次規劃方法求解吊裝機器人繩索張力的連續性。

采用改進二次規劃方法求解繩索張力,驗證是否同時滿足式(21)和式(22)這兩個條件,由MATLAB計算的力可達工作空間如圖14所示。

圖14 力可達工作空間Fig.14 Wrench Feasible Workspace

圖14為吊裝機器人的力可達工作空間,力可達工作空間呈方形,力可達工作空間與系統框架之間構成四個夾角區域,夾角區域方便吊裝機器人的安裝與拆卸;力可達工作空間主要位于系統框架的中心區域,其高度接近系統框架的高度,表明該吊裝機器人符合吊裝工作要求。

5 結論

對吊裝機器人進行研究,得到以下結論。

(1)提出三球交點算法,將運動學正解、逆解仿真結果進行對比,表明三球交點算法求解運動學正解的準確性。

(2)提出改進二次規劃方法,仿真結果表明,改進二次規劃方法求解張力的效果最佳,它所求的繩索張力在張力上下限之間光滑連續變化,表明改進二次規劃方法求解繩索張力的連續性和合理性。

(3)在張力優化解的基礎上求解吊裝機器人的力可達工作空間,仿真結果分析,力可達工作空間主要位于系統框架的中心區域,其高度接近框架的高度,表明該吊裝機器人符合吊裝工作要求。