十進(jìn)制：計(jì)數(shù)，還是記數(shù)？

郜舒竹 羅玉曉 王璐佳

【摘? ?要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中兩次出現(xiàn)“十進(jìn)制計(jì)數(shù)法”，而不是“十進(jìn)制記數(shù)法”。像這樣“計(jì)數(shù)”與“記數(shù)”混用的現(xiàn)象極其普遍。考查語義、認(rèn)知、教學(xué)以及權(quán)威文獻(xiàn)等可以發(fā)現(xiàn)，“十進(jìn)制記數(shù)法”的說法更為恰當(dāng)。同時(shí)，由“計(jì)數(shù)”衍生而來的“計(jì)數(shù)單位”，其意義與“數(shù)的單位”的意義存在混淆問題。因此，依據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》進(jìn)行教科書編修以及教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)特別注意理解并區(qū)分計(jì)數(shù)與記數(shù)、計(jì)數(shù)單位與數(shù)的單位、計(jì)數(shù)單位與位值、分?jǐn)?shù)單位與單位分?jǐn)?shù)的意義及其關(guān)系，謹(jǐn)防因?yàn)檎`解而導(dǎo)致教學(xué)與評(píng)價(jià)的混亂。

【關(guān)鍵詞】十進(jìn)制；計(jì)數(shù)；記數(shù)；計(jì)數(shù)單位

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）在第二學(xué)段的“內(nèi)容要求”及“教學(xué)提示”中，兩次出現(xiàn)“十進(jìn)制計(jì)數(shù)法”的表述，將十進(jìn)制視為“計(jì)數(shù)”的方法。2001年頒布的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》在“教材編寫建議”中，類似的表述是“十進(jìn)位制記數(shù)法”，十進(jìn)制或十進(jìn)位制又成為“記數(shù)”的方法。

同樣的十進(jìn)制，既是“計(jì)數(shù)”的方法，又是“記數(shù)”的方法，“計(jì)數(shù)”與“記數(shù)”似乎成為可以相互替代的同義詞。像這樣將“計(jì)數(shù)”與“記數(shù)”混用的現(xiàn)象，還出現(xiàn)在“計(jì)數(shù)單位”和“記數(shù)單位”的表述中。《人民教育》刊載的《數(shù)感，是如何豐滿起來的》一文中，就同時(shí)出現(xiàn)了“計(jì)數(shù)單位”與“記數(shù)單位”兩個(gè)詞［1］，從文中很難分辨二者的意義及其關(guān)系。

凡此表明，“計(jì)數(shù)”與“記數(shù)”兩個(gè)詞的混用，已經(jīng)成為數(shù)學(xué)課程與數(shù)學(xué)教學(xué)中的普遍現(xiàn)象。從音、形、義三個(gè)角度看，“計(jì)數(shù)”與“記數(shù)”具有音同、形近的特點(diǎn)，因此容易混淆二者的意義，導(dǎo)致教學(xué)與評(píng)價(jià)出現(xiàn)似是而非的混亂。因此，有必要對(duì)這兩個(gè)詞匯的意義及其關(guān)系進(jìn)行辨析與澄清。

一、計(jì)數(shù)

從目前查閱到的文獻(xiàn)看，漢語中的“計(jì)數(shù)”一詞始見于我國(guó)春秋時(shí)期的經(jīng)濟(jì)學(xué)家、軍事家、政治家、哲學(xué)家管仲（？—前645）所著的《管子·七法》：“剛?cè)嵋玻p重也，大小也，實(shí)虛也，遠(yuǎn)近也，多少也，謂之計(jì)數(shù)。”這六對(duì)概念都牽涉到客觀世界的“量（quantity）”［2］。“輕重”指的是物體的質(zhì)量或重量，“大小、遠(yuǎn)近”描述的是諸如長(zhǎng)度、面積和體積這種空間意義的幾何量，“多少”應(yīng)當(dāng)是離散量的個(gè)數(shù)，“實(shí)虛”表達(dá)的是容器的容量。排在第一位的“剛?cè)帷毕鄬?duì)復(fù)雜，指的是諸如濃度、速度、密度這種程度變化的量［3］，其意義相當(dāng)于“強(qiáng)度量（intensive quantity）”［4］。

由此看來，《管子·七法》中的“計(jì)數(shù)”所涵蓋的范圍相當(dāng)廣泛，小至柴米油鹽、行車走路，大到治國(guó)理政、排兵布陣，凡指向“量”的認(rèn)知活動(dòng)，都可以視為計(jì)數(shù)。文中對(duì)計(jì)數(shù)的重要性的描述為：“不明于計(jì)數(shù)，而欲舉大事，猶無舟楫而欲經(jīng)于水險(xiǎn)也。”意思是說：想成大事，就要善于計(jì)數(shù)，否則就如同涉水而沒有船只一樣。綜上，可以概括出《管子·七法》中計(jì)數(shù)的意義：

l計(jì)數(shù)是人對(duì)客觀世界的認(rèn)知活動(dòng)。

l計(jì)數(shù)活動(dòng)的對(duì)象是客觀世界中的量。

l計(jì)數(shù)是人類必不可少的認(rèn)知活動(dòng)。

隨著時(shí)代的發(fā)展，“計(jì)數(shù)”這種廣義的意義逐步窄化［5］。我國(guó)近現(xiàn)代數(shù)學(xué)教科書以及相關(guān)文獻(xiàn)中，計(jì)數(shù)一般等同于“數(shù)（shǔ）數(shù)（shù）”。顧汝佐、蔣沖等主編的《算術(shù)辭典》中，“計(jì)數(shù)”的釋義為：“數(shù)物體個(gè)數(shù)的過程，叫作計(jì)數(shù)或稱數(shù)數(shù)。”［6］如果把《管子·七法》中計(jì)數(shù)的意義視為廣義的，那么這種窄化的意義就是狹義的。因此，“計(jì)數(shù)”一詞對(duì)應(yīng)的英文單詞就成為動(dòng)詞“count”或名詞“counting”，相當(dāng)于《管子·七法》中所說的“多少”。

無論是廣義還是狹義的計(jì)數(shù)，如果牽涉的量較多或較大，都會(huì)產(chǎn)生對(duì)計(jì)數(shù)結(jié)果進(jìn)行讀與寫的需要，因此就需要明確語言意義的名稱與符號(hào)，便于計(jì)數(shù)結(jié)果的記錄與交流。這種命名和符號(hào)記錄的過程與方法，在我國(guó)歷史上分別叫作“命數(shù)”和“記數(shù)”，對(duì)應(yīng)的英文單詞為“numeration”和“notation”。

二、命數(shù)與記數(shù)

“命數(shù)”與“記數(shù)”的方法在人類發(fā)展進(jìn)程中經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的過程，原始人類一般通過實(shí)物記數(shù)，最為典型的是“石子”和“小棒”。如今數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中的“點(diǎn)陣”，可以認(rèn)為是從古希臘時(shí)期使用的“石子”記數(shù)演變而來的［7］，人們期望通過石子擺放的形狀就能“一眼便知”所表之?dāng)?shù)。像“3”和“6”這樣能夠擺成三角形的數(shù)，就被稱為“三角形數(shù)”；同樣，像“4”和“9”這樣能擺放為正方形的數(shù)，就叫“正方形數(shù)”（如圖1）。

我國(guó)歷史上的“算籌”實(shí)際上是用小棒表示數(shù)，通過擺放的形狀區(qū)分不同的數(shù)。數(shù)學(xué)史研究的部分觀點(diǎn)認(rèn)為，今天普遍使用的阿拉伯?dāng)?shù)字，是從用小棒擺放的形狀演變而來的。每根小棒表示“一”，通過擺放的不同形狀，可以明顯區(qū)分不同數(shù)之間的關(guān)系［8］（如圖2）。

圖2中，在表達(dá)“4”的正方形上，分別減少和增加小棒，可以得到“3、2、1”和“5、6”；在表達(dá)“8”的兩個(gè)正方形上分別減少和增加1根小棒，可以得到“7、9”。從這一解釋看，阿拉伯?dāng)?shù)字符號(hào)與漢字類似，也具有象形的特征。因此可以說，作為十進(jìn)制的基礎(chǔ)，數(shù)字符號(hào)是人類在實(shí)物記數(shù)的基礎(chǔ)上所發(fā)明的記數(shù)符號(hào)。

歷史上的算術(shù)教科書中，對(duì)于數(shù)的認(rèn)識(shí)，一般會(huì)區(qū)分“命數(shù)”與“記數(shù)”兩個(gè)概念。我國(guó)20世紀(jì)著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家嚴(yán)濟(jì)慈（1901—1996）先生所著，1923年出版的《現(xiàn)代初中教科書? 算術(shù)（上冊(cè)）》中［9］，分別將“命數(shù)”與“記數(shù)”定義為：

l命數(shù)法：用名稱來表數(shù)，叫作命數(shù)法（numeration）。取一個(gè)單位，從一挨次加一，每數(shù)各命一名，叫作二、三、四、五、六、七、八、九。這九個(gè)數(shù)叫作基數(shù)（simple numbers）。九再加一，叫作十，就是一的十倍。聚十個(gè)十叫作百，聚十個(gè)百叫作千……

l記數(shù)法：用數(shù)字來表數(shù)，叫作記數(shù)法（notation）。數(shù)字雖只十個(gè)，卻可把什么數(shù)都記出來。

書中把“數(shù)字（numeral）”定義為：數(shù)字就是代表數(shù)目的符號(hào)。也就是如今人們熟悉的符號(hào)：1、2、3、4、5、6、7、8、9、0。由此可見，命數(shù)法實(shí)質(zhì)是言語意義的“讀法”，記數(shù)法是符號(hào)意義的“寫法”。十進(jìn)制的智慧體現(xiàn)于“數(shù)字雖只十個(gè)，卻可把什么數(shù)都記出來”，因此，十進(jìn)制實(shí)質(zhì)是命數(shù)與記數(shù)的符號(hào)系統(tǒng)，通過對(duì)“一、十、百、千……”的命名以及不同位置“位值（place value）”的規(guī)定，實(shí)現(xiàn)了用有限表無限的目的。正如民國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)家壽孝天在其所著《共和國(guó)教科書算術(shù)》中所說：命數(shù)法（記數(shù)法）之目的，在于用甚少之名，而能表無限之?dāng)?shù)也［10］。

綜上可知，計(jì)數(shù)活動(dòng)指向的是客觀世界的量，是“發(fā)現(xiàn)（discovery）”的過程。空間的無邊無際，時(shí)間的無始無終，物質(zhì)的無限可分，使得客觀世界的量具有無限的特征。十進(jìn)制的命數(shù)與記數(shù)，是對(duì)計(jì)數(shù)結(jié)果的表達(dá)與記錄，是主體自內(nèi)而外、無中生有的想象與“創(chuàng)造（creation）”［11］，這樣的想象與創(chuàng)造實(shí)現(xiàn)了“計(jì)數(shù)內(nèi)容的無限”與“記數(shù)符號(hào)的有限”的對(duì)立統(tǒng)一。

如果把命數(shù)與記數(shù)的過程統(tǒng)一劃為人類語言的范疇，把現(xiàn)今并不常用的“命數(shù)”也納入“記數(shù)”的過程，那么十進(jìn)制自然應(yīng)當(dāng)叫作“記數(shù)法”，與英文“decimal numeration system”相對(duì)應(yīng)，正如《現(xiàn)代漢語詞典》對(duì)“十進(jìn)制”的釋義：“一種記數(shù)法，采用0、1、2……9十個(gè)數(shù)碼，逢十進(jìn)位。”［12］

事實(shí)上，“十進(jìn)制記數(shù)法”是我國(guó)數(shù)學(xué)以及數(shù)學(xué)教育專業(yè)領(lǐng)域普遍使用的表述。比如在我國(guó)著名數(shù)學(xué)家吳文俊先生（1919—2017）為李繼閔所著《〈九章算術(shù)〉及其劉徽注研究》一書所作的序言［13］，數(shù)學(xué)史學(xué)家杜石然所著《數(shù)學(xué)·歷史·社會(huì)》一書第4頁［14］，弗賴登塔爾所著、陳昌平等編譯的《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》一書第10頁［15］中，都出現(xiàn)了“十進(jìn)制記數(shù)法”的表述，將十進(jìn)制視為“記數(shù)”的方法，而不是“計(jì)數(shù)”的方法。

三、教學(xué)中的“計(jì)數(shù)”與“記數(shù)”

從教學(xué)的角度看，“計(jì)數(shù)”與“記數(shù)”是不同但又緊密相關(guān)的認(rèn)知活動(dòng)。計(jì)數(shù)活動(dòng)的對(duì)象以具體事物為主，并在活動(dòng)過程中逐步抽象出數(shù)的概念［16］。在數(shù)的概念形成的基礎(chǔ)上，產(chǎn)生了表達(dá)與記錄的需要，進(jìn)而出現(xiàn)方便、實(shí)用的記數(shù)方法，主要以抽象符號(hào)為對(duì)象。從計(jì)數(shù)到記數(shù)，體現(xiàn)的是從具體到抽象、從過程到結(jié)果的認(rèn)知過程。

美國(guó)20世紀(jì)哲學(xué)家、教育家杜威（John Dewey，1859—1952）與人合著的《數(shù)的心理學(xué)》一書中，將數(shù)與運(yùn)算的認(rèn)識(shí)視為具體“事物（thing）”與抽象“符號(hào)（symbol）”兩個(gè)世界活動(dòng)的交互，并特別強(qiáng)調(diào)，將數(shù)與運(yùn)算的認(rèn)識(shí)局限于一個(gè)單一世界的教學(xué)都是錯(cuò)誤的［17］。

計(jì)數(shù)活動(dòng)主要發(fā)生于具體事物的世界，記數(shù)活動(dòng)則傾向于抽象符號(hào)的世界。二者之間的交互，應(yīng)當(dāng)成為數(shù)與運(yùn)算教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)的基本原理。比如面對(duì)抽象的符號(hào)“3-1=2”，離開事物的世界，單一符號(hào)世界中的減法運(yùn)算及其結(jié)果，對(duì)于低齡兒童來說是沒有意義的。

日常生活中，學(xué)生通過飲水、吃飯、出入房間、上下汽車、收拾書包等事物世界的具身活動(dòng)，在思維中逐步形成類似于“容器”的經(jīng)驗(yàn)，包括“內(nèi)—外、出—入、多—少、空—滿”等，這種根據(jù)具身活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)所形成的思維模式也叫“容器圖式（CONTAINER schema）”［18］。教學(xué)中，通過事物世界“從3個(gè)中拿走1個(gè)，還剩2個(gè)”的具身活動(dòng)，就可以喚醒思維中的容器圖式，實(shí)現(xiàn)與抽象符號(hào)“3-1=2”的交互，從而使得抽象符號(hào)“3-1=2”具有了意義。

應(yīng)當(dāng)注意，對(duì)于負(fù)數(shù)及其運(yùn)算“1-3=-2”的認(rèn)識(shí)，在事物世界中，“從1個(gè)中拿走3個(gè)”是不可能實(shí)現(xiàn)的事情，也即容器圖式對(duì)于數(shù)與運(yùn)算的認(rèn)識(shí)并非萬能的，因此需要更加豐富的具身經(jīng)驗(yàn)。兒童對(duì)身體行走的具身活動(dòng)十分熟悉，行走過程中的“起點(diǎn)—路徑—終點(diǎn)”以及“前進(jìn)—倒退”就成為一種思維模式，也叫“路徑圖式（SOURCE-PATH-GOAL schema）”［19］。利用路徑圖式，如果用“向前走3步，倒退1步，等于向前走2步”對(duì)應(yīng)“3-1=2”，那么“向前走1步，倒退3步，等于倒退2步”，就對(duì)應(yīng)了“1-3=-2”，實(shí)現(xiàn)了事物世界與符號(hào)世界活動(dòng)的交互，使“1-3=-2”這一抽象算式具有了實(shí)際意義（如圖3）。

綜上可知，事物世界的計(jì)數(shù)活動(dòng)與符號(hào)世界的記數(shù)活動(dòng)，并非一一對(duì)應(yīng)的確定性關(guān)系。同樣的記數(shù)符號(hào)，可以對(duì)應(yīng)有差異并且多樣的計(jì)數(shù)活動(dòng)；反之，同樣的計(jì)數(shù)對(duì)象，可以出現(xiàn)各種不同的記數(shù)符號(hào)。比如對(duì)一只手上的手指計(jì)數(shù)，記數(shù)的結(jié)果可以用漢字寫為“五”，英語寫為“five”，阿拉伯?dāng)?shù)字符號(hào)寫為“5”，羅馬數(shù)字符號(hào)寫為“Ⅴ”。即便是在同一種記數(shù)方法中，同樣的計(jì)數(shù)對(duì)象也會(huì)產(chǎn)生不同的記數(shù)符號(hào)，比如“6根”筷子，也可以記為“3雙”。

按照《課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)的表述，計(jì)數(shù)活動(dòng)偏向于數(shù)學(xué)的眼光和數(shù)學(xué)的思維，而記數(shù)的活動(dòng)則偏向于數(shù)學(xué)的語言。十進(jìn)制表達(dá)數(shù)的符號(hào)與方式自然應(yīng)當(dāng)屬于“數(shù)學(xué)的語言”范疇。教學(xué)中，讓計(jì)數(shù)活動(dòng)與記數(shù)活動(dòng)交互開展，有益于學(xué)生核心素養(yǎng)的全面發(fā)展。

四、謹(jǐn)防誤解“計(jì)數(shù)單位”

在澄清“計(jì)數(shù)”與“記數(shù)”的意義及其關(guān)系的基礎(chǔ)上，需要進(jìn)一步明晰“計(jì)數(shù)單位”的意義，謹(jǐn)防因?yàn)檎`解而導(dǎo)致教學(xué)與評(píng)價(jià)中的混亂。《課程標(biāo)準(zhǔn)》中所說的“計(jì)數(shù)單位”，在整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)中分別指的是：

l整數(shù)計(jì)數(shù)單位：1、10、100……

l分?jǐn)?shù)計(jì)數(shù)單位：分子為1的分?jǐn)?shù)。

l小數(shù)計(jì)數(shù)單位：[110]（0.1）、[1102]（0.01）、[1103]（0.001）……

其課程與教學(xué)的意義在于，對(duì)計(jì)數(shù)單位的感悟，可以了解整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)運(yùn)算的一致性。強(qiáng)調(diào)這樣的一致性，被認(rèn)為是《課程標(biāo)準(zhǔn)》的新視角與特色［20］。事實(shí)上，“計(jì)數(shù)單位”一詞早在1980年人民教育出版社出版的《全日制十年制學(xué)校小學(xué)課本數(shù)學(xué)》中就已經(jīng)出現(xiàn)，比如第10冊(cè)第82頁中就有如下的試題：

l整數(shù)、小數(shù)每個(gè)數(shù)位上的計(jì)數(shù)單位是什么？每相鄰兩個(gè)單位之間的進(jìn)率是多少？［21］

之后各個(gè)版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中，此類表述普遍存在，由此帶來的教學(xué)問題是：數(shù)與數(shù)的單位出現(xiàn)“一對(duì)多”的不確定性，進(jìn)而導(dǎo)致對(duì)數(shù)與對(duì)應(yīng)的單位之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)混亂，使得教學(xué)與評(píng)價(jià)中相關(guān)試題及其答案似是而非。比如20世紀(jì)80年代，曾經(jīng)流行如下的試題：

l3.07的單位是（? ），有（? ）個(gè)這樣的單位。（標(biāo)準(zhǔn)答案：0.01；307）［22］

這樣的試題與答案令人費(fèi)解，3.07表示的是“3+0.07”，也即整數(shù)“3”與小數(shù)“0.07”的和。如果認(rèn)為整數(shù)“3”的單位是“1”，那么小數(shù)“0.03”的單位是什么呢？當(dāng)然也應(yīng)當(dāng)是1，否則“3+0.07”這樣的加法運(yùn)算就無法實(shí)施。如果認(rèn)為“0.07”的單位是“0.01”，那么整數(shù)“3”的單位又是什么呢？把整數(shù)“3”的單位視為“0.01”似乎讓人難以接受。

此類似是而非的試題與答案，源于“計(jì)數(shù)單位”與“數(shù)的單位”意義的混淆。作為符號(hào)世界的“數(shù)的單位”，需要的是統(tǒng)一性和確定性。任何記數(shù)符號(hào)所表示的數(shù)，只能對(duì)應(yīng)一個(gè)單位，不能出現(xiàn)“一對(duì)多”的情況。“3.07”這一符號(hào)的記法和意義是相對(duì)于這個(gè)數(shù)的單位“1”而言的，如果把“0.01”視為單位“1”，那么“3.07”這一記法就不復(fù)存在，記數(shù)符號(hào)隨之改變?yōu)椤?07”。因此作為一個(gè)符號(hào)意義的數(shù)3.07，對(duì)應(yīng)的單位只能是“1”，單位的確定，才能使3.07的記法和意義隨之確定。

“計(jì)數(shù)單位”的意義與“數(shù)的單位”不同，它是在事物世界“計(jì)數(shù)”活動(dòng)中的主觀建構(gòu)，這樣的單位具有個(gè)體的主觀性和隨意性。如對(duì)一個(gè)長(zhǎng)方形的面積計(jì)數(shù)，主觀建構(gòu)的面積單位可能是差異與多樣的（如圖4）。

從鞏子坤等在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂的新視角：數(shù)的概念與運(yùn)算的一致性》一文中所羅列的中英文關(guān)鍵詞看，“計(jì)數(shù)單位”一詞的英譯為“counting unit”［23］。通過相關(guān)文獻(xiàn)查閱不難發(fā)現(xiàn)，“counting unit”主要指對(duì)連續(xù)量測(cè)量過程中主觀建構(gòu)的單位，將諸如長(zhǎng)度、面積和體積等連續(xù)量的測(cè)量活動(dòng)，與離散量的計(jì)數(shù)活動(dòng)建立起一致性的聯(lián)系［24］。美國(guó)教師聯(lián)合會(huì)2000年發(fā)布的《學(xué)校數(shù)學(xué)原理與標(biāo)準(zhǔn)》中兩次出現(xiàn)“counting unit”，其意義都是指類似于圖4中對(duì)面積單位的建構(gòu)［25］。因此，《課程標(biāo)準(zhǔn)》中所說的“計(jì)數(shù)單位”與英文詞匯“counting unit”的意義并不對(duì)等。

事實(shí)上，《課程標(biāo)準(zhǔn)》中所說的整數(shù)與小數(shù)的計(jì)數(shù)單位，按照國(guó)際通行的說法，應(yīng)當(dāng)是“位值”，而不是單位。比如“3.07”這個(gè)數(shù)，其中3所在位置的值為1，0所在位置的值為[110]或0.1，7所在位置的值為[1100]或0.01。3.07作為十進(jìn)制記數(shù)符號(hào)的意義就是：

l 3.07=3×100+0×10-1+7×10-2

這樣的表達(dá)方式也叫科學(xué)記數(shù)法，其中的100、10-1、10-2是十進(jìn)制記數(shù)法中的位值。從數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的意義進(jìn)化角度看，隨著學(xué)段的升高，數(shù)的意義逐漸進(jìn)化，數(shù)的范圍逐步擴(kuò)大。如果把3.07的計(jì)數(shù)單位視為0.01，那么諸如0.3=0.333……這樣的無限循環(huán)小數(shù)，以及無限不循環(huán)小數(shù)[π]=3.1415926……，它們的計(jì)數(shù)單位又應(yīng)當(dāng)是什么呢？事實(shí)上，任何數(shù)的單位都是“一”，無限循環(huán)小數(shù)0.3=0.333……與分?jǐn)?shù)[13]等值，表達(dá)的是“一的三分之一”；[π]=3.1415926……表達(dá)的是直徑為1的圓周長(zhǎng)，即“徑一周[π]”。因此，“計(jì)數(shù)單位”真正的意義應(yīng)當(dāng)是計(jì)數(shù)過程中的“一”，而不是記數(shù)過程中的位值。

五、結(jié)語

總之，“計(jì)數(shù)”與“記數(shù)”是兩個(gè)不同但相互關(guān)聯(lián)的概念，從計(jì)數(shù)到記數(shù)體現(xiàn)的是從具體的事物世界到抽象的符號(hào)世界的認(rèn)知過程，同時(shí)也是對(duì)事物世界進(jìn)行感知、推理和想象，然后逐漸發(fā)展出言語、符號(hào)和文化的過程。十進(jìn)制作為這一過程的產(chǎn)物，稱之為“記數(shù)法”應(yīng)當(dāng)比“計(jì)數(shù)法”更為恰當(dāng)，如同《課程標(biāo)準(zhǔn)》第55頁和第59頁兩次出現(xiàn)的“科學(xué)記數(shù)法”一樣，科學(xué)記數(shù)法本質(zhì)上就是十進(jìn)制記數(shù)法，所以不應(yīng)寫為“科學(xué)計(jì)數(shù)法”。

同時(shí)應(yīng)當(dāng)注意，由“計(jì)數(shù)”衍生而來的“計(jì)數(shù)單位”一詞，從字面及其英譯看，其本義應(yīng)當(dāng)是事物世界“計(jì)數(shù)過程中的單位”，是人計(jì)數(shù)過程中“看一的眼光”的產(chǎn)物，具有主觀的差異性和表達(dá)的多樣性。《課程標(biāo)準(zhǔn)》中所說的計(jì)數(shù)單位，對(duì)整數(shù)和小數(shù)而言，實(shí)際上是十進(jìn)制記數(shù)法中的位值，對(duì)分?jǐn)?shù)而言，是分子為1的“單位分?jǐn)?shù)（unit fraction）”［26］，凡此都與計(jì)數(shù)單位的本義不同。

因此，在依據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》進(jìn)行教科書編修以及教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)特別注意理解和區(qū)分計(jì)數(shù)與記數(shù)、計(jì)數(shù)單位與數(shù)的單位、計(jì)數(shù)單位與位值以及分?jǐn)?shù)單位與單位分?jǐn)?shù)這四對(duì)概念的意義及其關(guān)系，謹(jǐn)防因?yàn)檎`解而導(dǎo)致教學(xué)與評(píng)價(jià)中出現(xiàn)似是而非的混亂。

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（1.首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院

2.首都師范大學(xué)教育學(xué)院

3.廣東省珠海市橫琴新區(qū)子期實(shí)驗(yàn)小學(xué)）